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北京市2013届高三最新文科数学模拟试题分类汇编10:概率与统计


北京 2013 届高三最新文科模拟试题分类汇编 10:概率与统计
一、选择题 1 . (2013 届北京大兴区一模文科)若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 ,则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 无 .
2 2 2

实数根的概率为 A.

( B.



1 4

3 4

C.

3π + 2 4π

D.

π- 2 4π

【答案】D 2 . 2013 北 京 昌 平 二 模 数 学 文 科 试 题 及 答 案 ) 在 区 间 (0, (

?
2

) 上随机取一个数 x ,则事件
( )

“ tan xgcos x ?

2 ”发生的概率为 2
B. C.

A.

3 4

2 3

C.

1 2

D.

1 3

【答案】

3 . (2013 北京海淀二模数学文科试题及答案)如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内

随机撒豆子,若撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为

?
( )

ma A. n
【答案】

na B. m
C.

ma 2 C. n

na 2 D. m

4 . (2013 北京东城高三二模数学文科)如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中

成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中 x 的值等于?

( A. 0.754 C. 0.018
【答案】



B. 0.048 ? D. 0.012 C.

5 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现

的 点 数 为 m, 第 二 次 出 现 的 点 数 为 n, 向 量 p =(m,n), q =(3,6), 则 向 量 p 与 q 共 线 的 概 率 为 ( )

? ?

?

? ?

?

A.

1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

【答案】D 6 . (2013 届房山区一模文科数学)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的统计表如下表所

示,则 环数 频数 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 环数 频数 5 3 乙 6 1 9 1 ( )

甲 A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数 C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差 【答案】C

?3 x ? 4 y ? 19, ? ? x ? 1, ? x, y 的不等式组 ? y ? 1 7 . (2013 北京朝阳二模数学文科试题)将一个质点随机投放在关于 所构成
的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1 的概率是 A. ( )

? 12

B. C.

? 6

C. 1 ?

? 12

D. 1 ?

? 6

【答案】

8 . (2013 北京丰台二模数学文科试题及答案) 在平面区域 ?

?0 ? x ? 2, 内任取一点 P( x, y ) ,若 ( x, y ) 满足 ?0 ? y ? 2
( D. (1, ??) )

x ? y ? b 的概率大于 1 ,则 b 的取值范围是
8
A. (??,1)
【答案】

B. (0,1) D.

C. (1, 4)

9 . (2013 北京顺义二模数学文科试题及答案)从 {1, 2,3, 4,5} 中随机选取一个数 a ,从 {1, 2,3} 中随机选取

一个数 b ,则关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 有两个不相等的实根的概率是
2 2





A.

1 5

B. C.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

【答案】 二、填空题

10. (2013 北京昌平二模数学文科试题及答案) 某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 50 名学生

的 笔 试 成 绩 , 绘 制 成 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 , 由 图 中 数 据 可 知 a =________; 若 要 从 成 绩 在

?85,90? , ?90,95?

,

?95,100? 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 12 人参加面试,则成绩在

?95,100? 内的学生中,学生甲被选取的概率为_________.

频率 组距 0.064 0.060

a

0.020 0.016

O

75

80

85

90

95 100 分数

【答案】0.040 ,

2 ; 5

11. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)用计算机产生随机二元数组成区域 ?

? -1 ? x ? 1 ,对每个二元数组 ?-2 ? y ? 2

( x, y ) ,用计算机计算 x 2 ? y 2 的值,记“ ( x, y ) 满足 x 2 ? y 2 <1”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为
________.
【答案】

π 8

12. (2013 届北京东城区一模数学文科)从 1,3,5,7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的

两位数是 5 的倍数的概率为___.
【答案】

1 4

13. (2013 北京西城高三二模数学文科)右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据的茎叶图.记甲,

乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x乙 , 则 x甲 ______ x乙 . (填入:“ ? ”,“ ? ”,或“ ? ”)

【答案】

?;

14. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)为了解本市的交通状况,某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙

三个组,从下午 13 点到 18 点,分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查,并绘制了频率分布 直方图(如图),记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为 s1 , s2 , s3 ,则它们的大小关系为 _____________.(用“ ? ”连结)

频率 组距

频率 组距

频率 组距

0.3 0.2 0.1 13 14 15 16 17 18 t 甲
【答案】 s1 ? s2 >s3

0.3 0.2 0.1 13 14 15 16 17 18 t 乙

0.3 0.2 0.1 13 14 15 16 17 18 t 丙

15. (2013 届北京西城区一模文科) 某厂对一批元件进行抽样检测.经统计,这批元件的长度数据 (单

位 : mm ) 全 部 介 于 93 至 105 之 间 . 将 长 度 数 据 以 2 为 组 距 分 成 以 下 6

95) 97 99) 101) , [101, 103) , [103,105] ,得到如图所示的频率分布直方 组: [93, , [95, ) , [97, , [99,
图.若长度在 [97,103) 内的元件为合格品,根据频率分布直方图,估计这批产品的合格率是_____.

【答案】 80% ; 16. (2013 届北京东城区一模数学文科)如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩的茎叶图,

则甲 5 次测试成绩的平均数是___,乙 5 次测试成绩的平均数与中位数之差是___.

【答案】 84 2 17. (2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得 ( x, y ) 的一组数据如

? 下: (0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) ,其回归方程为 y ? 1.4 x ? a ,则 a 的值等于_______.
【答案】

0.9;

18. (2013 届北京丰台区一模文科)某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们期中考试的数学成

绩(均为整数)分成六段:[40,50),[50,60),,[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示).则分数在 [70,80)内的人数是________

【答案】

30

;

19. (2013 北京海淀二模数学文科试题及答案) 乙两名运动员在 8 场篮球比赛中得分的数据统计如右图, 甲、

则甲乙两人发挥较为稳定的是_____. 甲 9 9 5 6 3 8
【答案】乙 20. (2013 北京顺义二模数学文科试题及答案)以下茎叶图记录了甲、 乙两组各四名工人 1 天加工的零件数,

乙 0 8 1 6 7

2

2 5 7

3

3

6

3

1

则甲组工人 1 天每人加工零件的平均数为____________;若分别从甲、 乙两组中随机选取一名工人,则 这两名工人加工零件的总数超过了 38 的概率为________ 甲 乙组 组 9 8 2 1 1 2 9 1 1 7





案】

20,

7 16

21 . 2013 北京 西城高 三二模 数学 文科) 设 a , b 随机取自集合 {1, 2,3} ,则直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 (

x2 ? y 2 ? 1有公共点的概率是_____.
【答案】 三、解答题 22. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习文科数学)国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等

5 ; 9

级对应关系如下表:

空气质 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 量指数 空气质 1级 3 级轻度 4 级中度 5 级重度 2 级良 量等级 优 污染 污染 污染 由全国重点城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如下: 甲城市 乙城市

300 以 上 6 级严 重污染

9

2 4 3 1 5 8 8

7 3 5 6

5 7 10

(Ⅰ)试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结 果); (Ⅱ)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率; (Ⅲ)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相同的概率. (注: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,? , xn 的平均数.) n 3 , 5

【答案】解:(Ⅰ)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差

(Ⅱ)根据上面的统计数据,可得在这五天中甲城市空气质量等级为 2 级良的频率为 则估计甲城市某一天的空气质量等级为 2 级良的概率为

3 , 5

(Ⅲ)设事件 A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质量等级相同,由题 意可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有 25 个结果,分别记为: (29,43),(29,41),(29,55),(29,58)(29,78) (53,43),(53,41),(53,55),(53,58),(53,78), (57, 43),(57,41),(57,55),(57,58),(57,78), (75,43),(75,41),(75, 55),(75,58),(75,78), (106,43),(106,41),(106,55),(106,58),(106,78). 其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为 1 级优的为甲 29,乙 41,乙 43,同为 2 级良的为甲 53, 甲 57,甲 75,乙 55,乙 58,乙 78. 则空气质量等级相同的为: (29,41),(29,43), (53,55),(53,58),(53,78), (57,55),(57,58),(57,78), (75,55),(75,58),(75,78).共 11 个结果.

则 P ( A) ?

11 . 25 11 . 25

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为

23. (2013 届房山区一模文科数学) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗

粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级;在 35 微克/立方米 ? 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质 量为超标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 6 天的数据作为样本,监 测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (Ⅰ) 若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天,求至多有一天空气质量超标的概率; (Ⅱ)根据这 6 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算)中平均有多少 天的空气质量达到一级或二级?
PM2.5 日均值(微克/立方米)

3 4 7 9

3 8 9 7

1 3

【答案】解:由茎叶图可知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标

记未超标的 4 天为 w1 , w2 , w3 , w4 ,超标的两天为 c1 , c2 ,则从 6 天抽取 2 天的所有情况为:

w1w2 , w1w3 , w1w4 , w1c1 , w1c2 , w2 w3 , w2 w4 , w2c1 , w2c2 , w3w4 , w3c1 , w3c2 , w4c1 , w4c2 , c1c2 ,
基本事件总数为 15 (Ⅰ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 A ,则“两天都超标”为事件 A , 易得 P ( A) ?

1 , 15 1 14 ? 15 15 4 2 ? 6 3

所以 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

(Ⅱ) 6 天中空气质量达到一级或二级的频率为

365 ?

2 1 ? 243 , 3 3 1 3

所以估计一年中平均有 243 天的空气质量达到一级或二级 (说明:答 243 天,244 天不扣分)
24. (2013 届北京大兴区一模文科)一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成

绩如下表:

学生 数学 物理

A1

A2

A3

A4

A5

89 87

91 89

93 89

95 92

97 93

(Ⅰ)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定; (Ⅱ)从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率.
【答案】解:5 名学生数学成绩的平均分为:

1 (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93 5

5 名学生数学成绩的方差为:

1 [(89 ? 93) 2 ? (91 ? 93) 2 ? (93 ? 93) 2 ? (95 ? 93) 2 ? (97 ? 93) 2 ] ? 8 5 1 5 名学生物理成绩的平均分为: (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5
5 名学生物理成绩的方差为:

1 24 [(87 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 5 5
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. (Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分为事件 A 5 名学生中选 2 人包含基本事件有:

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A5 , A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 ,

共 10 个.

事件 A 包含基本事件有: A1 A4 , A1 A5 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A4 , A3 A5 , A4 A5 , 共 7 个.

则 P ( A) ?

7 10

所以,5 名学生中选 2 人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于 90 分的概率为

7 . 10

25. (2013 届北京丰台区一模文科)在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会.抽奖

规则如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最 后还从这 4 人中随机抽取 1 人获三等奖. (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率.
【答案】在一次抽奖活动中,有 a、b、c、d、e、f 共 6 人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先

从 6 人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获二等奖,最后还从这 4 人中随 机抽取 1 人获三等奖. (Ⅰ)求 a 能获一等奖的概率; (Ⅱ)若 a、b 已获一等奖,求 c 能获奖的概率. 解:(Ⅰ)设“a 能获一等奖”为事件 A, 事件 A 等价于事件“从 6 人中随机取抽两人,能抽到 a”.从 6 人中随机抽取两人的基本事件有(a、 b)、 (a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、

(d、e)、(d、f)、(e、f)15 个, 包含 a 的有 5 个,所以,P(A)= 答: a 能获一等奖的概率为

5 1 ? , 15 3

1 3

(Ⅱ)设“若 a、b 已获一等奖,c 能获奖”为事件 B, a、b 已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d,c)、(d、 d)、(d、e)、(d、f)、(e,c)、(e、d)、(e、e)、(e、f)、(f,c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16 个, 其中含有 c 的有 7 种,所以,P(B)=

7 , 16 7 16

答: 若 a、b 已获一等奖,c 能获奖的概率为

26. (2013 北京朝阳二模数学文科试题)为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男

生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于 6 米为不合格,成绩在 6 至 8 米(含 6 米不含 8 米)的为及格,成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米)为优秀.把获得的所有数据,分成 [2, 4),[4, 6),[6,8),[8,10),[10,12] 组,画出的频率分布直方图 五 如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (Ⅰ)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数; (Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优 秀的概率; (Ⅲ)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的 2 名学 生来自不同组的概率. 频率分布直方图
频率 组距

0.200

0.150

0.075 a 0.025 2 4 6 8 10 12


【答案】解:(Ⅰ)由题意可知

(0.2 ? 0.15 ? 0.075 ? a ? 0.025) ? 2 ? 1 ,解得 a ? 0.05 .

4 ? 40 所以此次测试总人数为 0.05 ? 2 .

答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人 (Ⅱ) 由 图 可 知 , 参 加 此 次 “ 掷 实 心 球 ” 的 项 目 测 试 的 初 二 男 生 , 成 绩 优 秀 的 频 率 为

(0.15 ? 0.05) ? 2 ? 0.4 ,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概
率为 0.4 (Ⅲ)设事件 A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生来自不同组. 由已知,测试成绩在

? 2, 4? 有 2 人,记为 a, b ;在 ? 4, 6? 有 6 人,记为 A, B, C, D, E, F .

从这 8 人中随机抽取 2 人有 ab, aA, aB, aC , aD, aE , aF ,bA,bB ,bC ,bD ,bE ,bF ,

AB, AC, AD, AE, AF , BC, BD, BE, BF , CD, CE, CF , DE, DF , EF 共 28 种情况.
事件 A 包括 aA, aB, aC, aD, aE, aF , bA, bB, bC, bD, bE, bF 共 12 种情况.

P( A) ?
所以

12 3 ? 28 7 .

3 答:随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率为 7
27. (2013 届北京市延庆县一模数学文) 某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样

了 n 人,回答问题统计结果如图表所示.

(Ⅰ)分别求出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.

【答案】解:(Ⅰ)第 1 组人数 5 ? 0.5 ? 10 ,

所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 , 第 2 组人数 100 ? 0.2 ? 20 ,所以 a ? 20 ? 0.9 ? 18 , 第 3 组人数 100 ? 0.3 ? 30 ,所以 x ? 27 ? 30 ? 0.9 , 第 4 组人数 100 ? 0.25 ? 25 ,所以 b ? 25 ? 0.36 ? 9 第 5 组人数 100 ? 0.15 ? 15 ,所以 y ? 3 ? 15 ? 0.2 (Ⅱ)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 18 : 27 : 9 ? 2 : 3 : 1 ,所以第 2,3,4 组每组应各依次抽取 2 人, 3

人,人 (Ⅲ)记抽取的 6 人中,第 2 组的记为 a1 ,a 2 ,第 3 组的记为 b1 , b2 , b3 ,第 4 组的记为 c , 则从 6 名学生中 任取 2 名的所有可能的情况有 15 种,它们是:

(a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , c) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , c) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c) ,
(b2 , b3 ) , (b2 , c) , (b3 , c)
其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种,它们是:

(a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , c) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , c)
故所求概率为

9 3 ? 15 5

28. (2013 届北京海滨一模文)在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与

逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成 绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均 分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的考生中,随 机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

频率

科目:数学与逻辑

频率
0.375

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.150

0.075
0.025

等级
【答案】解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,

等级

所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人

所 以 该 考 场 考 生 中 “ 阅 读 与 表 达 ” 科 目 中 成 绩 等 级 为

A

的 人 数 为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3
(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,一共有 6 个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件

P( B ) ?
有 1 个,则

1 6

29. (2013 届北京西城区一模文科)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不

超过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停 车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲 3 12

【答案】(Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A ,

则 P ( A) ? 1 ? ( ?

1 5 1 )? . 3 12 4 1 4

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:

(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22), (22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共 16 种情形
其中, (6,30),(14, 22),(22,14),(30,6) 这 4 种情形符合题意 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ?

4 1 ? 16 4

30. (2013 北京东城高三二模数学文科)用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研

究小组,有关数据见下表:(单位:人)

年级 高一 (Ⅰ) 求 高二 (Ⅱ) 若 从 高三 2 人,求 率. 【答案】(共 13 分) 解:(Ⅰ)由题意可得

相关人数 99 27 18

抽取人数

x
y
2

x, y ;
高二、 高三年级抽取的人中选 这二人都来自高二年级的概

x y 2 ? ? ,所以 x ? 11 , y ? 3 . 99 27 18

(Ⅱ)记从高二年级抽取的 3 人为 b1 , b2 , b3 ,从高三年级抽取的 2 人为 c1 , c 2 , 则 从 这 两 个 年 级 中 抽 取 的

5







2













有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c1 ) , (b1 , c2 ) , (b2 , b3 ) , (b2 , c1 ) , (b2 , c2 ) , (b3 , c1 ) , (b3 , c2 ) , (c1 , c2 ) 共 10 种 设选中的 2 人都来自高二的事件为 A , 则 A 包含的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) 共 3 种. 因此 P ( A) ?

3 ? 0.3 . 10

故选中的 2 人都来自高二的概率为 0.3 31. (2013 届北京东城区一模数学文科)为了解高三学生综合素质测评情况,对 2000 名高三学生的测评结 果进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表: 优秀 男生 人数 女生 人数 良好 380 370 合格 373 377

x
y

(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这 2000 份综合素质测评结果中随机抽取 80 份进行比较 分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份? (Ⅱ)若 x ? 245 , y ? 245 ,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.
【答案】(共 13 分)

解:(Ⅰ)由表可知,优秀等级的学生人数为:

x ? y ? 2000 ? (380 ? 373 ? 370 ? 377) ? 500 .
因为 500 ?

80 ? 20 , 2000

故在优秀等级的学生中应抽取 20 份. (Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 A . 因为 x ? y ? 500 , x ? 245 , y ? 245 ,且 x , y 为正整数, 所以数组 ( x, y ) 的可能取值为:

(245, 255) , (246, 254) , (247, 253) ,, (255, 245) ,共11 个.

其中满足 x ? y 的数组 ( x, y ) 的所有可能取值为:

(255, 245) , (254, 246) , (253, 247) , (252, 248) , (251, 249) 共 5 个,即事件 A 包含的基本事件数
为5 . 所以 P ( A) ?

5 . 11 5 . 11

故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为

32. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也

称为可入肺颗粒物.PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级:在 35 微克/立方米~75 微克 /立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)计算这 10 天 PM2.5 数据的平均值并判断其是否超标: (Ⅱ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率: (III)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气质 量恰好有一天为一级的概率.

【答案】

33. 2013 北京房山二模数学文科试题及答案) ( 一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字 0,1, 2,3, 4,5 ,

一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字 1, 2,3, 4 .将这个正方体和正四面体同时抛掷一次, 正方体正面向上的数字为 a ,正四面体的三个侧面上的数字之和为 b . (Ⅰ)求事件 b ? 3a 的概率; (Ⅱ)求事件“点 ( a, b) 满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 ”的概率.
【答案】(Ⅰ)由题可知 a 的取值为 0,1, 2,3, 4,5 , b 的取值为 6,7,8,9

基本事件空间:

? ? ?(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),

(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)
共计 24 个基本事件 满足 b ? 3a 的有 (2,6),

?

(3,9) 共 2 个基本事件
2 1 ? 24 12

所以事件 b ? 3a 的概率为

(Ⅱ)设事件 B=“点(a,b)满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 ” 当 b ? 8 时, a ? 0 满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 当 b ? 7 时, b ? 0,1, 2 满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 当 b ? 6 时, b ? 0,1, 2 满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 所以满足 a 2 ? (b ? 5)2 ? 9 的有 (0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7) , 所以 P ( B ) ?

7 24

34. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高

中部推荐了 2 男 1 女三名候选人,初中部也推荐了 1 男 2 女三名候选人. (I)若从初高中各选 1 名同学做代表,求选出的 2 名同学性别相同的概率; (II)若从 6 名同学中任选 2 人做代表,求选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的概率.
【答案】解:设高中部三名候选人为 A1,A2,B.初中部三名候选人为 a,b1,b2

(I)由题意,从初高中各选 1 名同学的基本事件有 (A1,a),(A1,b1),(A1,b2), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2), (B,a),(B,b1),(B,b2), 共9种 设“2 名同学性别相同”为事件 E,则事件 E 包含 4 个基本事件, 概率 P(E)=

4 9 4 9

所以,选出的 2 名同学性别相同的概率是

(II)由题意,从 6 名同学中任选 2 人的基本事件有

(A1 ,A2),(A1,B),(A1,a),(A1,b1),(A1,b2), (A2,B), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2),(B,a), (B,b1),(B,b2),(a,b1),(a,b2),(b1,b2) 共 15 种 设“2 名同学来自同一学部”为事件 F,则事件 F 包含 6 个基本事件, 概率 P(F)=

6 2 ? 15 5
2 5

所以,选出的 2 名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是

35. (2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)高三某班 20 名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一

组和第二组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如 (Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差; (Ⅱ)从身高超过 180cm 的五位同学中随机选出两位 同学参加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率.
【 答 案 】

第一组

第二组

图).

15 9 8 8 16 5 5 1 1 0 17 2 1 18 :

9 69 2347 235



(Ⅰ) x1 ?

1 (168 ? 168 ? 169 ? 170 ? 171 ? 171 ? 175 ? 175 ? 181 ? 182) ? 173cm , 10

S12 ?

1 ? 2 2 2 2 ?168 ? 173? ? ?168 ? 173? ? ?169 ? 1732 ? ? ... ? ?181 ? 173? ? ?182 ? 173? ? ? 23.6cm2 ; ? 10 ?
2

答: 第一组学生身高的平均值为 173cm,方差为 23.6 cm . (Ⅱ)设“甲、乙在同一小组”为事件 A, 身高在 180 以上的学生别记为 a,b,c,d,e,其中 a,b 属于第一组,c,d,e 属于第二组. 从五位同学中随机选出两位的结果是如下 10 种: (a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e). 其中两位同学在同一小组的 4 种结果是:(a,b); (c,d);(c,e);(d,e)

? P( A) ?

4 2 ? . 10 5
2 5

答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为


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