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选修2-1 常用逻辑用语(全章复习专用)


基础典型题归类与解析
------选修 2—1 常用逻辑用语(全章)

对某章节基础题型进行归类解析,并辅之以同类型题目进行巩固练习,不仅是老师的事,学生更 要学会自己做好。 当你会总结题目,对所做的题目会分类,知道自己能够解决哪些题型,掌握了哪些常见的解题方 法,还有哪些类型题不会做时,你才真正的掌握了学数学的窍门,才能真正的做到"任它千变万化,我 自岿然不动"。 这个问题如果解决不好,在进入高二、高三以后会发现,有一部分同学天天做题,可成绩不升反 降。其原因就是,他们天天都在做重复的工作,很多相似的题目反复做,需要解决的问题却不能专心 攻克。 久而久之,不会的题目还是不会,会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握,弄的一团糟。我的 建议是:"归类解析"是将题目越做越少的最好办法。

一、题型一:命题、真命题、假命题的判断 1.例 1:下列语句是命题的是( A.梯形是四边形 C.x 是整数 解:A 2、例 2.下列说法正确的是( ) ) B.作直线 AB D.今天会下雪吗

A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B.语句“最高气温 30 ℃时我就开空调”不是命题 C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D.语句“当 a>4 时,方程 x2-4x+a=0 有实根”是假命题 解析:对于 A,改写成“若 p,则 q”的形式应为“若有两个角是直角,则这两个角 相等”; B 所给语句是命题; C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为 3,腰为 2 的等腰三角形 拼成的四边形不是菱形”来说明. 故选 D.

变式练习:下列命题是真命题的是( ) A.{?}是空集 B.{x∈N||x-1|<3}是无限集 C.π 是有理数 D.x2-5x=0 的根是自然数 2 解析:选 D. x -5x=0 的根为 x1=0,x2=5,均为自然数. 二、题型二:复合命题的结构 例 3 将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假: (1)6 是 12 和 18 的公约数;
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(2)当 a>-1 时,方程 ax2+2x-1=0 有两个不等实根; (3)已知 x、y 为非零自然数,当 y-x=2 时,y=4,x=2. 解析:(1)若一个数是 6,则它是 12 和 18 的公约数,是真命题. (2)若 a>-1,则方程 ax2+2x-1=0 有两个不等实根,是假命题. 1 因为当 a=0 时,方程变为 2x-1=0,此时只有一个实根 x= . 2 (3)已知 x、y 为非零自然数,若 y-x=2,则 y=4,x=2,是假命题. 变式练习:指出下列命题的条件 p 与结论 q,并判断命题的真假: (1)若整数 a 是偶数,则 a 能被 2 整除; (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形; (3)相等的两个角的正切值相等. 解析:(1)条件 p:整数 a 是偶数, 结论 q:a 能被 2 整除,真命题. (2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形” , 即“若一个四边形的对角线相等且互相平分,则该四边形是矩形” . 条件 p:一个四边形的对角线相等且互相平分, 结论 q:该四边形是矩形,真命题. (3)命题“相等的两个角的正切值相等” ,即“若两个角相等,则这两个角的正切 值相等” . 条件 p:两个角相等, 结论 q:这两个角的正切值相等,假命题. 三、题型三:命题真假判断中求参数范围 例 4、已知 p:x2+mx+1=0 有两个不等的负根,q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0(m∈ R)无实根,求使 p 为真命题且 q 也为真命题的 m 的取值范围. 2 ?Δ =m -4>0, 解析:若 p 为真,则? 解得 m>2. ?m>0, 若 q 为真,则 Δ =16(m-2)2-16<0,解得 1<m<3. ?m>2, p 真,q 真,即? ?1<m<3. 故 m 的取值范围是(2,3). 变式练习:已知命题 p:lg(x2-2x-2)≥0;命题 q:0<x<4,若命题 p 是真命题,命 题 q 是假命题,求实数 x 的取值范围. 解:命题 p 是真命题,则 x2-2x-2≥1, ∴x≥3 或 x≤-1, 命题 q 是假命题,则 x≤0 或 x≥4. ∴x≥4 或 x≤-1.

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四、题型四:四种命题的等价关系及真假判断 π 例 5.命题“若△ABC 有一内角为 ,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) 3 A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 解析:选 D. 原命题显然为真, π 原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列,则△ABC 有一内角为 ”, 3 它是真命题. 故选 D. 例 6.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 答案: B )

例 7.若“x>y,则 x2>y2”的逆否命题是( ) 2 2 2 2 A.若 x≤y,则 x ≤y B.若 x>y,则 x <y C.若 x2≤y2,则 x≤y D.若 x<y,则 x2<y2 解析:选 C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题 的结论的否定作为条件即可得逆否命题. 例 8. .给出下列命题: ①命题“若 b2-4ac<0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④“若 m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 解析: ①否命题:若 b2-4ac≥0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,真命题; ②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题; 3 3 ③因为命题“若 a>b>0,则 a> b>0”是真命题,故其逆否命题为真命题; ④逆命题:若 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R,则 m>1,假命题.

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所以应填①②③. 变式练习.若命题 p 的逆命题是 q,命题 q 的否命题是 r,则 p 是 r 的( ) A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 D.以上判断都不对 解析:选 B. 命题 p:若 x,则 y,其逆命题 q:若 y,则 x,那么命题 q 的否命题 r: 若非 y,则非 x,所以 p 是 r 的逆否命题.所以选 B. 五、题型五:问题的逆否证法 例 9.判断命题“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数根”的逆否命题的真假. 解:∵m>0, ∴12m>0,∴12m+4>0. ∴方程 x2+2x-3m=0 的判别式 Δ =12m+4>0. ∴原命题“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数根”为真命题. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数 根”的逆否命题也为真命题. 六、题型六:判断条件关系及求参数范围 π 例 10.“x=2kπ + (k∈Z)”是“tan x=1”成立的( 4 A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:当 x=2kπ + B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 π 时,tan x=1, 4 π , 4

)

而 tan x=1 得 x=kπ + 所以“x=2kπ +

π ”是“tan x=1”成立的充分不必要条件.故选 A. 4

例 11、设 A 是 B 的充分不必要条件,C 是 B 的必要不充分条件,D 是 C 的充要条件, 则 D 是 A 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析:

由题意得: 故 D 是 A 的必要不充分条件

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例 12.已知条件 p:-1≤x≤10,q:x2-4x+4-m2≤0(m>0)不变,若非 p 是非 q 的 必要而不充分条件,如何求实数 m 的取值范围? 解:p:-1≤x≤10. q:x2-4x+4-m2≤0 ?[x-(2-m)][x-(2+m)]≤0(m>0) ?2-m≤x≤2+m(m>0). 因为非 p 是非 q 的必要而不充分条件, 所以 p 是 q 的充分不必要条件, 即{x|-1≤x x|2-m≤x≤2+m}, ?2-m≤-1 ?2-m<-1 故有? 或? , ?2+m>10 ?2+m≥10 解得 m≥8. 所以实数 m 的范围为{m|m≥8}. 变式练习 1:已知条件:p:y=lg(x2+2x-3)的定义域,条件 q:5x-6>x2,则 q 是 p 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 解析:选 A. p:x +2x-3>0,则 x>1 或 x<-3; q:5x-6>x2,即 x2-5x+6<0, 由小集合? 大集合, ∴q? p,但 p q.故选 A. 1 变式练习 2 已知 p: ≤x≤1,q:a≤x≤a+1,若 p 的必要不充分条件是 q,求实数 2 a 的取值范围. 解析:q 是 p 的必要不充分条件, 则 p? q 但 q? /p. 1 ∵p: ≤x≤1,q:a≤x≤a+1. 2 1 1 ∴a+1≥1 且 a≤ ,即 0≤a≤ . 2 2 1? ? ∴满足条件的 a 的取值范围为?0, ?. 2? ?

七、充要条件的论证 4 例 13 求证:0≤a< 是不等式 ax2-ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立的充要条件. 5

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4 证明:充分性:∵0<a< , 5 ∴Δ =a2-4a(1-a)=5a2-4a=a(5a-4)<0, 则 ax2-ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立. 而当 a=0 时,不等式 ax2-ax+1-a>0 可变成 1>0. 显然当 a=0 时,不等式 ax2-ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立. 必要性:∵ax2-ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立, ?a>0, ∴a=0 或? 2 ?Δ =a -4a 4 解得 0≤a< . 5 4 故 0≤a< 是不等式 ax2-ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立的充要条件. 5 八、命题真假值的判断 例 14.如果命题“p∨q”与命题“非 p”都是真命题,那么( ) A.命题 p 不一定是假命题 B.命题 q 一定为真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 与命题 q 的真假相同 解析:选 B.“p∨q”为真,则 p、q 至少有一个为真.非 p 为真,则 p 为假,∴q 是 真命题. 变式练习:判断由下列命题构成的 p∨q,p∧q,非 p 形式的命题的真假: (1)p:负数的平方是正数,q:有理数是实数; (2)p:2≤3,q:3<2; (3)p:35 是 5 的倍数,q:41 是 7 的倍数. 解:(1)p 真,q 真,∴p∨q 为真命题,p∧q 为真命题,非 p 为假命题; (2)p 真,q 假,∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,非 p 为假命题; (3)p 真,q 假,∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,非 p 为假命题. 九、命题的否定与否命题 例 15.命题“若 a<b,则 2a<2b”的否命题为________,命题的否定为________. 解析:命题“若 a<b,则 2a<2b”的否命题为“若 a≥b,则 2a≥2b”, 命题的否定为“若 a<b,则 2a≥2b”. 变式练习 1:“a≥5 且 b≥3”的否定是____________; “a≥5 或 b≤3”的否定是____________. 解:a<5 或 b<3

-a

a<5 且 b>3

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变式练习 2: (2010 年高考安徽卷) 命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定 是________. 解:存在 x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 变式练习 3.写出下列命题的否定,然后判断其真假: (1)p:方程 x2-x+1=0 有实根; (2)p:函数 y=tan x 是周期函数; (3)p:??A; (4)p:不等式 x2+3x+5<0 的解集是?. 解析: 题号 (1) (2) (3) (4)
判断 p 的真假

非 p 的形式 方程 x2-x+1=0 无实数根 函数 y=tan x 不是周期函数 ?
2

判断非 p 的真假

假 真 真 真

真 假 假 假

A

不等式 x +3x+5<0 的解集不是?

十、全称命题与特称命题相关小综合题 例 16.指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假: (1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0. (2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tan x1<tan x2. (3)? T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|. (4)? x0∈R,使 x2 0+1<0. 解析: (1)(2)是全称命题,(3)(4)是特称命题. (1)∵ax>0(a>0 且 a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题. (2)存在 x1=0,x2=π ,x1<x2, 但 tan 0=tan π ,∴命题(2)是假命题. (3)y=|sin x|是周期函数,π 就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题. (4)对任意 x0∈R,x2 0+1>0. ∴命题(4)是假命题.

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例 17.若命题 p:? x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1 是真命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤-3 或 a>2 C.a>-2 B.a≥2 D.-2<a<2

解析:依题意:ax2+4x+a≥-2x2+1 恒成立, 即(a+2)x2+4x+a-1≥0 恒成立, ?a+2>0, 所以有:? a+ ?16- ?a>-2, ?? 2 ?a +a-6≥0 所以选 B 变式练习 1: 已知命题 p:? x0∈R,tan x0= 3;命题 q:? x∈R,x2-x+1>0,则 命题“p 且 q”是________命题.(填“真”或“假”) 解析: 当 x0= π 时,tan x0= 3, 3 ?a≥2.

a-

∴命题 p 为真命题;

x2-x+1=?x- ?2+ >0 恒成立,
∴命题 q 为真命题, ∴“p 且 q”为真命题. 所以填:真 变式练习 2: 已知命题 p:? x∈R,使 tan x=1,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是 {x|1<x<2}, 下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧?q”是假命题; ③命题“?p ∨q”是真命题;④命题“?p∨?q”是假命题,其中正确的是( A.②③ C.①③④ 解析: 当 x= B.①②④ D.①②③④ π 时,tan x=1,∴命题 p 为真命题. 4 )

? ?

1? 2?

3 4

由 x2-3x+2<0 得 1<x<2,∴命题 q 为真命题. ∴p∧q 为真,p∧?q 为假,?p∨q 为真,?p∨?q 为假. 所以选 D

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十一、综合训练典型题 例 18.设命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 2 ?x -x-6≤0, ? 2 ?x +2x-8>0. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 x2-4ax+3a2<0 得 (x-3a)(x-a)<0. 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3, 即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1<x<3. 2 ?x -x-6≤0, 由? 2 ?x +2x-8>0. ?-2≤x≤3, 解得? ?x<-4或x>2. 即 2<x≤3.

所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. ?1<x<3 若 p∧q 为真,则? ?2<x<3, ?2<x≤3 所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)非 p 是非 q 的充分不必要条件, 即非 p? 非 p 且非 q 非 q. 设 A={x|x≤a 或 x≥3a},B={x|x≤2 或 x>3}, 则A B. 所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1,2]. 例 19.若? x∈R,函数 f(x)=mx2+x-m-a 的图象和 x 轴恒有公共点,求实数 a 的 取值范围. 解析: (1)当 m=0 时,f(x)=x-a 与 x 轴恒相交,所以 a∈R; (2)当 m≠0 时, 二次函数 f(x)=mx +x-m-a 的图象和 x 轴恒有公共点的充要条件是 Δ =1+4m(m+a)≥0 恒成立, 即 4m2+4am+1≥0 恒成立. 又 4m2+4am+1≥0 是一个关于 m 的二次不等式,恒成立的充要条件是 Δ =(4a)2- 16≤0,解得-1≤a≤1. 综上所述,当 m=0 时,a∈R; 当 m≠0,a∈[-1,1].
2

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变式练习 1:已知函数 f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数 x0,使不等式 m-f(x0)>0 成立,求实数 m 的取值范围. 解析: (1)不等式 m+f(x)>0 可化为 m>-f(x), 即 m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使 m>-(x-1)2-4 对于任意 x∈R 恒成立, 只需 m>-4 即可. 故存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,此时只需 m>-4. (2)若 m-f(x0)>0, ∴m>f(x0).
2 ∵f(x0)=x2 0-2x0+5=(x0-1) +4≥4.

∴m>4.

变式练习 2: 已知命题 p: 函数 y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3 在[-2, +∞)上单调递增. q: 关于 x 的不等式 ax2-ax+1>0 解集为 R.若 p∧q 假,p∨q 真,求实数 a 的取值范围. 解析: ∵函数 y=x2+2(a2-a)x+a4-2a3 =[x+(a2-a)]2-a2,在[-2,+∞)上单调递增, ∴-(a2-a)≤-2, 即 a2-a-2≥0,解得 a≤-1 或 a≥2. 即 p:a≤-1 或 a≥2 ?a≥0 由不等式 ax2-ax+1>0 的解集为 R 得? ?Δ <0 ?a≥0 即? ? -a ,

2

-4a<0

解得 0≤a<4 ∴q:0≤a<4. ∵p∧q 假,p∨q 真. ∴p 与 q 一真一假. ∴p 真 q 假或 p 假 q 真,

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?a≤-1或a≥2 即? ?a<0或a≥4

?-1≤a<2, 或? ?0≤a<4.

∴a≤-1 或 a≥4 或 0≤a<2. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,2)∪[4,+∞).

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