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一道解析几何试题引发的教学思考_论文


3 2   福建中学数学  2 0 1 5 年 第9 期  一 道解析几何试题 引发 的教 学思考  张 平  江苏 昆 山震 川高 级 中学 ( 2 1 5 3 0 0 )   由以上解 答可见 ,学生在整 个 第 ( 1 ) 问的解 答  过程 中 , 由于 需 要 大量 计算 使 得 大脑 负 荷偏 重 .解  2 0 1 5年 1 月 笔者参 加 昆 山市 2 0 1 4 — 2 0 1 5第 一学  期 高 二期 数 学 期末 考 试 ( 苏 州 大市 统一 命 题 考试 )   阅卷工 作 ,笔者 所在 的小组 负责 第 1 9题 的批 阅 .在  阅卷 过程 学 生的解 答 情 况 引起 了笔 者 的教 学 反 思 ,   撰 写 此文 ,与 同行交 流 ,不妥之 处 ,敬请 指正 .   答完 第 ( 1 ) 问之后 ,显得 精疲 力尽 ,要 么根 本就 不  想 去思 考 第 ( 2 ) 问 的解 答 ,要么 在 第 ( 2 ) 问 的解  1试 题呈现   y 答过程中,思考显得乏力.而且在第 ( 1 )问的解答  过程 中用 (  一 0 ) / [ C 一 ( 一 c ) 】 =3 / 4可 见 学 生对 于 斜 率  的运 用是 依 赖斜 率 的公 式 ,并不 能 熟练 运 用斜 率 的  2   1 , 2   设  ,   分别是椭圆   +   : 1 ( 口 > b > 0 ) 的左  右焦 点 ,   是 C上一 点 , MF 2 与x 轴 垂直 ,且 点  位于 x轴上 方 ,直 线 iF , 与 c的另 一个 交点 为 Ⅳ .   几何 意义 来解 题 . 还 有一 些 同学在解 方程 c   / a  +Y   / b  =1 得到 Y   =   ( 1 一 c   / 口   ) 而 不 知道 去化 筒 .可  见 学 生对 椭 圆的通 径 的概念 一无 所知 .   ( I ) 若直线M N的斜率为{, 求C的离心 率;   ( I I )若 直线 MN交 Y轴 于点 P ( O , m ) , m是 正  常 数 ,且 MN=5 ,N ,求椭 圆 c的方程 . F   本题 改 编于 2 0 1 4年 全 国二卷 的解析 几何 题 .此  题 对于 大 部 分 学 生来 说面 孔 熟悉 ,情 境 自然 ,考 察  的 内容 和 方 法 不偏 不 怪 ,解 决 方法 具 有选 择 性 ,难  = 此 题 如果 学 生 能够 连 环 使 用直 线斜 率 的几何 意  义 与椭 圆 的定义 ,采 用 下面 的解 法 ,可 以不仅 可 以  很 快求 得答 案 ,轻松解 决第 ( 1 ) 问 ,就可 以为 后面  的第 ( 2 )问赢得 更 多思考 的 时间 .   在k E M=  知 R t A MF ,   中t a n Z MF ,  =  ,   a I .   q -   r— ——— ——— —— ——— —— ——— —— ——— 一   度适 中 ,具 有很 好 的 区分 度 .本 题 全 昆 山市 的均 分  大 约 7分 ,很大一 部分 学 生都是在 第 ( 1 )问 中有得  分 ,第 ( 2 ) 问不 得分 .在 阅卷过 程 中 ,发现 学 生 的  解 答 也暴 露 出学 生解 析 几何 学 习存 在 的不 少 问题 ,   这 些 问题很 多都 是与 教 师 的教 有 很大 的关系 ,值 得  = 2 c , 解直角三角形得  = 三 c ,   = √ [ ( 3 / 2 ) c ]   + (   )   1   { c , 于是2 a = i F , + M F 2 = 4 c , 得8 = 亡.   在第 ( 2 )问 中 ,主 要 的思路 是 用待 定系 数法 求  出椭 圆方程 中待 定 的系数 a   与b   ,问题 的关键 是 求  我们一线教师的深思.   2解法探究  在第 ( 1 )问中,学生的解答主要是以下两种思  路:   ( 1 )设 点 M( c , Y   ) ( Y l >0 ),根 据 ‰ = 3 / 4,   出点 Ⅳ 的坐 标 ,学 生主 要 的不 好 的解决 思 路 也有 两  种:   ( 1 ) 有 不少 同学看 到 试题题 面 的表述 中有 “ 直 线  MF ,与 椭 圆 C的 另一 个 交点 为 J v” 就 萌 发 了利 用 直  线 MN 的方程 与椭 圆 方程联 立 , 通 过解 方程 组 ,求点  Ⅳ 的坐标 的想法 . 先利 用点 P ( O , m ) 是线 段 F ,M 的 中  即  M=   3 得  , =   3 求得 点 M( c,   3   c ) , . 然 后  将点   坐标代入椭圆方程得  + ( 妄 c )   / b   = 1 , 即e   / ( 4 — 4   ) = 1 , 进而解出  = 1 / 4 ,e   = 4 舍去 , 故  e=1 / 2.   点, 得到b   7 - 2 a m, 进 而得 到直 线 MN 的斜率 为 m/ c ,   将Y = ( m/ c ) ( x + c ) 代 入椭 圆方 程得 6 2 c  + 口   m Z ( x + c )   =   a 2 b   C ,然 后解 出点 Ⅳ的坐 标为 ( ( a c   m一2 a 。 C   ) / ( 2 c   +  ) , ( a c m一2 a   C ) / ( 2 c   +硎 ) ).详 细 过 程 不 一 一 述  说 ,其复 杂 程 度可 想 而 知 ,即 使能 够 求 出正 确答 案  也要费 九牛 二虎 之力 .   ( 2 )设 点 M( c ,  ) ,( Y   >0 ),代 入椭 圆方程 得  + ( 2 ) 直接设 点 Ⅳ 的坐标 为 (  ,  ) , 由

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