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山东省青岛一中2013届高三1月调研考试 数学理


山东省青岛一中 2012-2013 学年 1 月调研考试

高三数学(理工科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,选出正确选项填在答题卡相应位置) 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a 2 } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是 A.1 B.0 C.-1 D.1 或-1 )

2. 投掷两颗骰子, 其向上的点数分别为 m 和 n , 则复数 (m ? ni) 2 为纯虚数的概率为 ( A.
1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

3.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是偶函数,则 曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程为( ) A. y ? 3x ? 1 C. y ? ?3x ? 1 B. y ? ?3x D. y ? 3x ? 3 D.55

4.阅读右面的程序框图,则输出的 S = A.14 B.30 C.20

5.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中 程序 A 只能出现在第一或最后一步, 程序 B 和 C 在实施时必 须相邻,则实验顺序的编排方法共有( A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 ) D. 144 种

6.设 a、b、c 表示三条直线, ?、? 表示两个平面,则下列命题中 不正确的是( A. )

c ? ?? ??c ? ? ? // ? ?

? ? B. b ? ? ? ? b?c c是a在?内的射影 ? ?
b // c ? ? C. b ? ? ? ? c // ? c ??? ?

a?b

D.

a // ? ? ??b ?? b ? a?
?

7.已知两点 A(1,0), B(1, 3), O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且 ?AOC ? 120 ,设

???? ??? ? ??? ? OC ? ?2 OA ? ? OB (? ?R ),则 ? 等于 ,
A. ? 1 B.2 C.1 D. ? 2

8.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点,它们到直线 x ? ?2 的距 离之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

9.某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表: 考试次数 x 1 2 3 4 4.5 4 3 2.5 所减分数 y 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为 A. y ? 0.7 x ? 5.25 B. y ? ?0.6 x ? 5.25 C. y ? ?0.7 x ? 6.25 D. y ? ?0.7 x ? 5.25

10. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) ,f (?2) ? ?3 , 数列 ?an ?

3 2

满 足 a1 ? ?1 , 且

Sn a ? 2 ? n ? 1 ,( 其 中 S n 为 ?an ? 的 前 n 项 和 )。 则 n n
) B. ? 2 C. 3 D. 2

f (a5 ) ? f (a6 ) ? (
A. ? 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知把向量 a﹦(1,1)向右平移两个单位,再向下平移一

个单位得到向量 b,则 b 的坐标为
12.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的表 面积是 cm .
2

?x ? y ? 4 ? 13.已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 ?x ? 1 ?

C : x2 ? y 2 ? 14
相交于 A、B 两点,则 AB 的最小值为 .

14.设二次函数 f ( x ) ? ax ? 4 x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ?? ) ,则
2

1 9 ? 的最大值 c ?1 a ? 9

为 15.(1)(2)小题选做一题) ( 、 (1)如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过点 C 作圆的切线 l,过点 A 作直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,则线段 AE 的长为 .

? x ? 2t ? 2a ? x ? 2sin ? (2) 在平面直角坐标系下, 曲线 C1 : ? (t 为参数), , 曲线 C2 : ? (? ? y ? ?t ? y ? 1 ? 2cos?
为参数) ,若曲线 C1、C2 有公共点,则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2 a ,1) ,p=( 2b ? c ,

cos C )且 p // q .求:
(I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

17. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

n ?1 an ?1 (n ? N * ). 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 ABCD-PGFE 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC, ∠ ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1. (Ⅰ )求 PD 与 BC 所成角的大小; (Ⅱ )求证:BC⊥ 平面 PAC; (Ⅲ )求二面角 A-PC-D 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词; 每周五对一周内所学单词 随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)

(Ⅰ英语老师随机抽了 4 个单词进行检测, ) 求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概率; (Ⅱ )某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 每个能默写对的概率为

4 ,对前两天所学过的单词 5

3 .若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测,求 5

该学生能默写对的单词的个数 ξ 的分布列和期望.

20. (本大题满分 13 分)

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半 2 2 a b 径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相
已知椭圆 C : 交于 A、B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

21. (本题满分 14 分) (1)证明不等式: ln(1 ? x) ?

x ( x ? 0) 1? x

ax 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围。 a?x x 1 ? x ? 1 在 [0, ??) 上恒成立,求实数 b 的最大值。 (3)若关于 x 的不等式 1 ? bx e
(2)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

理科参考答案

1.C 2.C

3.B 4.B 5.C 6.D 7 C 13.4

8.B 14.

9.D 10.C

11.(1,1) 12.6+( 13 +2) ?

6 5

15(1)4

(2)[ 1 ? 5 ,

1? 5 ] 16、解: (I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c , 根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C ,

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2 ? 3 又? 0 ? A ? ? ? A ? ;sinA= 3 2
分 (II)原式 ?

………………………6

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC , sin C 1 ? tanC 1? cosC

), 4 2 ? ? 13 2 ? ? ,∴ ? ? sin(2C ? ) ? 1 , ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? 2 4 4 4 12 3 ? ∴ ? 1 ? 2 sin(2C ? ) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] . …………………………… 4
12 分

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?

?

? 1, n ? 1 ? 17. 解: (1) an ? ? 2 n ? 2 ?n ?3 , n ? 2 ?
(2) an ? ? n ? 1? ? ? ? ?

……………… 6 分

an a 2 ? 3n?2 , 由(1)可知当 n ? 2 时, n ? , n ?1 n ? 1 n ? n ? 1?
……………… 8 分

设 f ? n? ?

n ? n ? 1? ? n ? 2, n ? N * ? 2 ? 3n

则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ?

2 ? n ? 1??1 ? n ? 1 1 1 1 ? 及 ? 0,? ? ? n ? 2? 又 n ?1 f ? 2? 3 2?3 f ? n ? 1? f ? n ?
……………… 12 分

a1 1 1 ? ,所以所求实数 ? 的最小值为 2 2 3
所以四边形 BHDC 为平行四边形,所以 BC//DH

18. (Ⅰ)取的 AB 中点 H,连接 DH,易证 BH//CD,且 BD=CD …………………1 分

所以∠PDH 为 PD 与 BC 所成角………………………………………………2 分

因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC=45o, 所以⊥DA⊥AB 又因为 AB=2DC=2,所以 AD=1, 因为 Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH 都为等腰直 角三角形,所以 PD=DH=PH= 2 ,故∠PDH=60o ………………………4 分 (Ⅰ)连接 CH,则四边形 ADCH 为矩形, ∴AH=DC 又 AB=2,∴BH=1 ∴AD=CH=1,AC= 2

在 Rt△BHC 中,∠ABC=45o , ∴CH=BH=1,CB= 2 ∴AC2+BC2=AB2

∴BC⊥AC……6 分 又 PA 平面 ABCD∴PA⊥BC ……7 分 ………………………………………8 分

∵PA∩AC=A∴BC⊥平面 PAC

(Ⅲ)如图,分别以 AD、AB、AP 为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系,则由题设可知: A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),

??? ? ??? ? ∴ AP =(0,0,1), PC =(1,1,-1) ………………………………………… 9 分

??? ? ? m ?AP ? 0 ?c ? 0 ? 设 m=(a,b,c)为平面 PAC 的一个法向量, 则 ? ??? ,即 ? ? ?a ? b ? c ? 0 ? m ?PC ? 0 ?
设 a ? 1 ,则 b ? ?1 ,∴m=(1,-1,0) ………………………………………10 分 同理设 n=(x,y,z) 为平面 PCD 的一个法向量,求得 n=(1,1,1) ………11 分 ∴ cos m, n ?

m ?n 1? 1 ? 1? 0 ? 0 ? 1 1 ? ? m ?n 2 2? 2

所以二面角 A-PC-D 为 60o ………………………………………………… 12 分 19. (Ⅰ)设英语老师抽到的 4 个单词中,至少含有 3 个后两天学过的事件为 A,则由题意 可得 P ( A) ?
4 C3 C1 + C6 3 6 6 ? 4 C12 11

…………………………………………………5 分

(Ⅱ)由题意可得ξ 可取 0,1,2,3,则有 P(ξ =0) ? ( )2 ? P(ξ =1) ? C1 ? ? ? ? ( )2 ? ? 2

1 5

2 2 ? 5 125

………6 分

4 1 2 1 3 19 , 5 5 5 5 5 125 4 2 4 1 3 56 P(ξ =2) ? ( )2 ? + C1 ? ? ? ? ,…………………………………9 分 2 5 5 5 5 5 125 4 3 48 P(ξ =3) ? ( )2 ? ? …………………………………………………10 分 5 5 125
所以ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 3

2 125

19 125

56 125

48 125
…11 分

故 Eξ =0×

2 19 56 48 11 +1× +2× +3× = ……………………………12 分 125 125 125 125 5

20.(1)解:由题意知 e ? 又b ?
6

c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,∴ e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b2 2 a 2 3 4 a a
? 3 ,∴ a 2 ? 4, 2 ? 3 b
y2 x2 ? ?1 4 3

1?1

故椭圆的方程为

2分

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ?1 ? 4 3 ?

4分

1 4 2 32k 64k 2 ? 12 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ? 2 , 1 x2 ? x 4k ? 3 4k 2 ? 3 ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2
由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ?



6分

21、解: (1)令 g ( x) ? ln(1 ? x) ?

x , 1? x

1 1 1 x ?1 1 ? x ? x2 4 1? x ? x ? 2 1? 2 1? 1 1? x ? 1? x ? 1? x 则 g ?( x) ? ? ?0 x ?1 x ?1 1? x 1? x
∴g(x)在 (0, ??) 上单调递减,即 g(x)<g(0),从而 ln(1 ? x ) ? 分 ( 2 ) 由 f ?( x) ?

x 成立 1? x

……………4

1 a(a ? x) ? ax x[ x ? (a 2 ? 2a)] 2 , 当 x=0 或 x ? a ? 2a 时 , ? ? 2 2 1? x (a ? x) ( x ? 1)( x ? a)

f ?( x ) ? 0,由已知得 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,∴ a2 ? 2a ? 0 ,又 f(x)在 (0, ??) 有

意义,∴a≥0,综上: 0 ? a ? 2 ; ………………8 分 (3)由已知

x 1 1 ? 1 ? x 在 [0, ??) 上恒成立,∵ 1 ? x ? 0 ? b ? 0 , 1 ? bx e e

当 x>0 时,易得 b ?

1 1? 1 ex

?

1 ex 1 1 1 ? x ? ? 1? x ? 恒成立,…………10 分 x e ?1 x e ?1 x

令 e ?1 ? t 得 b ? 1 ? ?
x

2x 1 1 由 知: > , (t ? 0) 恒成立, (2) 令 a=2 得:ln(1+x) 2? x t ln(1 ? t )
…………12 分 ) 得 :

∴1 ? ? 由

1 1 1 2?t 1 ? 1? ? ? ; t ln(1 ? t ) t 2t 2
( 1

1 1 1 1? t t ?1 1? t 1? t 1? t 1 1? ? ? 1? ? ? ? ? ( 1 ? t ? 1) ? ? t ln(1 ? t ) t t t t t 1? 1? t 1? 1 1? t

当 t ? 0 时,

?

1 1? 1 1? t

?

1 1 1 1 1 ? ;∴当 t ? 0 时,1 ? ? 不大于 ;∴ 0 ? b ? ; 2 2 2 t ln(1 ? t )

当 x=0 时,b∈R,综上: bmax ?

1 2

………14 分


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