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2013年最新最全高中数学公式大全


2013 年最新最全

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系
x ? A ? x ?CU A , x ?CU A ? x ? A .
2.德摩根公式
CU ( A B) ? CU A CU B;CU ( A B) ? CU A
3.包含关系

CU B .

A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A
? A CU B ? ? ? CU A B ? R
4.容斥原理
card(A B) ? cardA ? cardB ? card(A B)

card(A B C) ? cardA ? cardB ? cardC ? card(A B)

? card(A B) ? card(B C) ? card(C A) ? card(A B C) .

5.集合{a1, a2 , , an} 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1
个;非空的真子集有 2n –2 个.
6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;

(2)顶点式 f (x) ? a(x ? h)2 ? k(a ? 0) ;

(3)零点式 f (x) ? a(x ? x1)(x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f (x) ? M 常有以下转化形式

N ? f (x) ? M ? [ f (x) ? M ][ f (x) ? N] ? 0

? | f (x) ? M ? N |? M ? N ? f (x) ? N ? 0

2

2

M ? f (x)

? 1 ?1. f (x) ? N M ? N

8.方程 f (x) ? 0 在 (k1, k2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k2 ) ? 0 不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在

(k1, k2 ) 内,等价于

f (k1 ) f (k2 ) ? 0 ,或

f (k1 ) ? 0 且 k1

?? b 2a

?

k1 ? k2 2

,或

f (k2 ) ? 0 且

k1 ? k2 2

?? b 2a

? k2 .

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ?p, q? 上的最值只能在 x ? ? b 处及区
2a
间的两端点处取得,具体如下:

(1)当

a>0

时,若

x

?

?

b 2a

? ? p, q?,则

f

x( )

nmi

?f ( ? ,) b(f)x 2a

xma xma

? (f,)p( )?f q

?;

x

?

?

b 2a

? ? p, q?,

f

(x)max

?max

?

f

( p),

f

(q)? ,

f

(x)min

?min

?

f

( p),

f

(q)? .

(2) 当

a<0

时 , 若 x ? ? b ??p,q? , 则
2a

f ( xm) i ?n

m?i nf

p(

)f?, ,q (若 )

x

?

?

b 2a

? ? p, q?,则

f

(x)max

?

max? f

( p),

f

(q)? ,

f

(x)min

?

min?

f

( p),

f

(q)? .

10.一元二次方程的实根分布

依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f (x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 .

设 f (x) ? x2 ? px ? q ,则

? p2 ? 4q ? 0

(1)方程

f

(x)

?

0

在区间 (m,??)

内有根的充要条件为

f

(m)

?

0



? ?

???

p 2

?

m



? f (m) ? 0

(2)方程

f

(x)

?

0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为

f

(m)

f

(n)

?

?

0



?? ?

f (n) ? 0 p2 ? 4q ?

0

? ???m

?

?

p 2

?

n



? f (m) ??af (n)

? ?

0 0



? f (n) ? 0 ??af (m) ? 0



? p2 ? 4q ? 0

(3)方程

f

(x)

?

0

在区间

(??,

n)

内有根的充要条件为

f

(m)

?

0



? ?

p

.

??? 2 ? m

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L(形如??, ? ?,?? ?, ? ?,??,???不同)上含参数

的二次不等式 f (x,t) ? 0( t 为参数)恒成立的充要条件是 f (x, t)min ? 0(x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f (x,t) ? 0( t 为参数)恒成立

的充要条件是 f (x, t)man ? 0(x ? L) .

(3)

f

(x)

?

ax4

?

bx2

?

c

?

?a 0 恒成立的充要条件是 ??b
??c

?0 ?0 ?0

?a ? 0 或 ??b2 ? 4ac

?

.
0

12.真值表

p q 非p p或q p且q

真真假





真假假





假真真





假假真





13.常见结论的否定形式

原结论

反设词

原结论

反设词



不是

至少有一个 一个也没有

都是

不都是

至多有一个 至少有两个

大于 小于
对所有 x ,

不大于

至少有 n 个

不小于

至多有 n 个

存在某 x ,

至多有( n ?1)个 至少有( n ?1)个

成立
对任何 x ,
不成立

不成立
存在某 x ,
成立

p或q p且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

14.四种命题的相互关系

原命题 若p则q
互 否
否命题 若非p则非q

互逆

逆命题

若q则p





















逆否命题

互逆

若非q则非p

15.充要条件
(1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件.

注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设 x1 ? x2 ??a,b?, x1 ? x2 那么

(x1 ? x2)? f (x1) ? f (x2)? ? 0 ?

f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ? x1 ? x2

f (x)在?a,b?上是增函数;

(x1 ? x2)? f (x1) ? f (x2)? ? 0 ?

f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ? x1 ? x2

f (x)在?a,b?上是减函数.

(2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?(x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果

f ?(x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数.

17.如果函数 f (x) 和 g(x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f (x) ? g(x) 也是减

函 数 ; 如 果函 数 y ? f (u) 和 u ? g(x) 在 其对 应 的 定 义域 上 都 是减函 数 , 则 复 合函 数

y ? f [g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图

象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函

数是偶函数.

19.若函数 y ? f (x) 是偶函数,则 f (x ? a) ? f (?x ? a) ;若函数 y ? f (x ? a) 是偶函

数,则 f (x ? a) ? f (?x ? a) .

20.对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f (x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是

函数 x ? a ? b ;两个函数 y ? f (x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? a ? b 对称.

2

2

21. 若 f (x) ? ? f (?x ? a) , 则 函 数 y ? f (x) 的 图 象 关 于 点 ( a ,0) 对 称 ; 若 2
f (x) ? ? f (x ? a) ,则函数 y ? f (x) 为周期为 2a 的周期函数.

22.多项式函数 P(x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ? a0 的奇偶性

多项式函数 P(x) 是奇函数 ? P(x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数 P(x) 是偶函数 ? P(x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数 y ? f (x) 的图象的对称性

(1)函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

? f (2a ? x) ? f (x) .

(2)函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a ? b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) 2
? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

24.两个函数图象的对称性
(1)函数 y ? f (x) 与函数 y ? f (?x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称.

(2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? a ? b 对称. 2m
(3)函数 y ? f (x) 和 y ? f ?1 (x) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f (x ? a) ? b 的图

象;若将曲线 f (x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f (x ? a, y ? b) ? 0 的图

象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1(b) ? a .

27. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ? 1 [ f ?1(x) ? b] , 并 不 是 k
y ? [ f ?1(kx ? b) ,而函数 y ? [ f ?1(kx ? b) 是 y ? 1 [ f (x) ? b] 的反函数. k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 f (x) ? cx , f (x ? y) ? f (x) ? f ( y), f (1) ? c .

(2)指数函数 f (x) ? ax , f (x ? y) ? f (x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

(3)对数函数 f (x) ? loga x , f (xy) ? f (x) ? f ( y), f (a) ?1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f (x) ? x? , f (xy) ? f (x) f ( y), f '(1) ? ? .

(5)余弦函数 f (x) ? cos x ,正弦函数 g(x) ? sin x , f (x ? y) ? f (x) f (y) ? g(x)g( y) ,

f (0) ? 1, lim g(x) ? 1 . x?0 x
29.几个函数方程的周期(约定 a>0)
(1) f (x) ? f (x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a;

(2) f (x) ? f (x ? a) ? 0 ,

或 f (x ? a) ? 1 ( f (x) ? 0) , f (x)

或 f (x ? a) ? ? 1 ( f (x) ? 0) , f (x)

或 1 ? f (x) ? f 2 (x) ? f (x ? a), ( f (x) ??0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a;
2 (3) f (x) ? 1 ? 1 ( f (x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a;
f (x ? a)

(4)

f (x1 ?

x2 )

? f (x1) ? f (x2 ) 1 ? f (x1) f (x2 )



f (a) ? 1( f (x1) ?

f (x2 ) ? 1, 0 ?|

x1 ? x2

|? 2a) , 则

f (x) 的周期 T=4a;

(5) f (x) ? f (x ? a) ? f (x ? 2a) f (x ?3a) ? f (x ? 4a)

? f (x) f (x ? a) f (x ? 2a) f (x ? 3a) f (x ? 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a;

(6) f (x ? a) ? f (x) ? f (x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a.

30.分数指数幂

m
(1) a n ?

1

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ?1).

n am

?m
(2) a n ?

1
m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ?1).

an

31.根式的性质

(1) ( n a )n ? a .

(2)当 n 为奇数时, n an ? a ;

当 n 为偶数时, n

an

?|

a

|?

?a, a ???a,

?0 a?

0

.

32.有理指数幂的运算性质

(1) ar ? as ? ar?s (a ? 0, r, s ?Q) .

(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) .

(3) (ab)r ? arbr (a ? 0,b ? 0, r ?Q) .

注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性

质,对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

loga

N

?

logm logm

N a

( a ? 0 ,且 a ?1, m ? 0,且 m ? 1, N ? 0).

推论

logam

bn

?

n m

loga

b

(a

?

0 ,且 a

?1, m, n

?

0

,且 m

? 1, n

?1,

N ? 0).

35.对数的四则运算法则

若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

(2)

loga

M N

? loga M ? loga N ;

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) .

36.设函数 f (x) ? log m (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b2 ? 4ac .若 f (x) 的定义域为

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要

单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广

若a

?

0,b

?

0,

x

?

0,

x

?

1 a

,则函数

y

?

logax (bx)

(1)当

a

?

b

时,在

(0,

1 a

)



(

1 a

,

??)



y

?

log ax

(bx)

为增函数.



(2)当

a

?

b

时,在

(0,

1 a

)



(

1 a

,

??)



y

?

log

ax

(bx)

为减函数.

推论:设 n ? m ?1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ?1,则

(1) logm? p (n ? p) ? logm n .

(2)

loga

m loga

n

?

loga2

m? 2

n

.

38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有

y ? N(1? p)x .

39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

an

?

???ss1n,?

n? sn?1, n

1 ?

2

(

数列{an} 的前 n 项的和为 sn

?

a1 ? a2

?

? an ).

40.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N *) ;

其前 n 项和公式为

sn

?

n(a1 ? an ) 2

? na1 ?

n(n ?1) d 2

?

d 2

n2

?

(a1

?

1 2

d

)n

.

41.等比数列的通项公式

an

?

a1qn?1

?

a1 q

? qn (n ? N*)



其前 n 项的和公式为

sn

?

? ? ?

a1

(1? q 1? q

n

)

,q

?1

??na1, q ? 1



sn

?

? ? ?

a1 ? an 1? q

q

,q

?1
.

??na1, q ? 1

42.等比差数列 ?an?: an?1 ? qan ? d, a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ?1)d, q ? 1

an

?

? ?

bqn

??

?

(d ? b)qn?1 q ?1

?

d

,

q


?1

其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ?1)d, (q ? 1)

sn

?

? ???(b

d 1? qn ?)
1? q q ?1

?d 1? q

n, (q

.
? 1)

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款

x

?

ab(1? b)n (1? b)n ?1

元(贷款

a

元,

n

次还清,每期利率为 b

).

44.常见三角不等式

(1)若 x ? (0, ? ) ,则 sin x ? x ? tan x . 2

(2) 若 x ? (0, ? ) ,则1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2

(3) | sin x | ? | cos x |?1.

45.同角三角函数的基本关系式

sin2 ? ? cos2 ? ?1, tan? = sin? , tan? ?cot? ?1. c os?
46.正弦、余弦的诱导公式

?n

sin( n? 2

??)

?

?(?1)2 sin?,

?

n?1

??(?1) 2 co s?,

(n 为偶数) (n 为奇数)

?n

co s (n? ?? 2

)?

?(? ?

1

2) co
n?1

?s

,

??(? 1 )2 s i?n

,

(n 为偶数) (n 为奇数)

47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin? sin ? ;

tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? . 1 tan? tan ?

sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? sin2 ? ? sin2 ? (平方正弦公式);

cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin2 ? .

asin? ? bcos? = a2 ? b2 sin(? ??) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

定, tan? ? b ). a

48.二倍角公式

sin 2? ? sin? cos? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ?1? 2sin2 ? .

tan

2?

?

2 tan? 1? tan2 ?

.

49. 三倍角公式

sin 3? ? 3sin? ? 4sin3? ? 4sin? sin(? ?? )sin(? ?? ) .

3

3

cos 3? ? 4cos3 ? ? 3cos? ? 4cos? cos(? ?? ) cos(? ?? )

.

3

3

tan 3?

?

3 tan? ? tan3 ? 1? 3 tan2 ?

? tan?

tan(? 3

?? ) tan(? 3

?? ) .

50.三角函数的周期公式

函数 y ? sin(? x ??) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ??) ,x∈R(A,ω ,? 为常数,且 A≠0,

ω >0)的周期T ? 2? ;函数 y ? tan(? x ??) , x ? k? ? ? , k ? Z (A,ω ,? 为常数,且 A

?

2

≠0,ω >0)的周期T ? ? . ?

51.正弦定理

a ? b ? c ? 2R. sin A sin B sin C
52.余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A;

b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ;

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

(1) S

?

1 2

aha

?

1 2

bhb

?

1 2

chc ( ha、hb、hc 分别表示

a、b、c

边上的高).

(2) S ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B .

2

2

2

(3) S?OAB

?

1 2

(| OA | ? | OB |)2 ? (OA?OB)2 .

54.三角形内角和定理

在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? (A ? B)

? C ? ? ? A ? B ? 2C ? 2? ? 2(A ? B) . 22 2
55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z,| a |? 1) .

cos x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z,| a |?1) .

tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z, a ? R) .

特别地,有

sin? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) .

cos? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z) .

tan? ? tan ? ?? ? k? ? ? (k ? Z) .

56.最简单的三角不等式及其解集

sin x ? a(| a |?1) ? x ?(2k? ? arcsin a, 2k? ?? ? arcsin a), k ? Z .

sin x ? a(| a |?1) ? x ?(2k? ?? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z .

cos x ? a(| a |?1) ? x ?(2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z .

cos x ? a(| a |?1) ? x ?(2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .

tan x ? a(a ? R) ? x ?(k? ? arctan a, k? ? ? ), k ? Z . 2
tan x ? a(a ? R) ? x ?(k? ? ? , k? ? arctan a), k ? Z . 2
57.实数与向量的积的运算律

设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b.

58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律);
(2)( ? a)·b= ? (a·b)= ? a·b= a·( ? b);
(3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示

设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a b(b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ .
61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算

(1)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,则 a+b= (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,则 a-b= (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

(3)设 A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? (x2 ? x1, y2 ? y1). (4)设 a= (x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) .

(5)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,则 a·b= (x1x2 ? y1 y2 ) .
63.两向量的夹角公式

cos? ?

x1x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x22 ? y22

(a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

d A,B = | AB |? AB ? AB

? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 (A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直
设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
66.线段的定比分公式

设 P1(x1, y1) , P2 (x2 , y2 ) , P(x, y) 是线段 P1P2 的分点, ? 是实数,且 P1P ? ?PP2 ,则

? ??

x

?

x1 ? ? x2 1? ?

? ?y

?

y1

? ? y2

? OP ? OP1 ? ?OP2 1? ?

?? 1? ?

?

OP

?

tOP1

?

(1?

t)OP2



t

?

1

1 ??

).

67.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1)、 B(x2,y2 )、 C(x3,y3 ),则△ABC 的重心的坐

标是 G( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y2 ? y3 ) .

3

3

68.点的平移公式

?? x '

? ??

y'

? ?

x?h y?k

?

??x ? ?? y

? ?

x' ? h y' ? k

?

OP'

?

OP

?

PP'

.

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P' (x', y' ) ,且 PP' 的 坐标为 (h, k) .
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点 P(x, y) 按向量 a= (h, k) 平移后得到点 P' (x ? h, y ? k ) .

(2) 函数 y ? f (x) 的图象 C 按向量 a= (h, k) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的函数解析式 为 y ? f (x ? h) ? k .

(3) 图象 C ' 按向量 a= (h, k) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f (x) ,则 C ' 的函数 解析式为 y ? f (x ? h) ? k .

(4) 曲 线 C : f (x, y) ? 0 按 向 量 a= (h, k) 平 移 后 得 到 图 象 C ' , 则 C ' 的 方 程 为 f ( x? h, y? k) ? 0.
(5) 向量 m= (x, y) 按向量 a= (h, k) 平移后得到的向量仍然为 m= (x, y) .
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B,C 所对边长分别为 a,b, c ,则

(1) O 为 ?ABC 的外心 ?

2
OA

?

2
OB

?

2
OC

.

(2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 .

(3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA?OB ? OB ?OC ? OC ?OA.

(4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 .

(5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
71.常用不等式:
(1) a,b ? R ? a2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

(2) a, b ? R? ? a ? b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2
(3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0,b ? 0, c ? 0).
(4)柯西不等式
(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2, a,b, c, d ? R.

(5) a ? b ? a ? b ? a ? b .

72.极值定理
已知 x, y 都是正数,则有

(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

(2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 1 s 2 . 4
推广 已知 x, y ? R ,则有 (x ? y)2 ? (x ? y)2 ? 2xy (1)若积 xy 是定值,则当| x ? y | 最大时,| x ? y | 最大; 当| x ? y | 最小时,| x ? y | 最小. (2)若和| x ? y | 是定值,则当| x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当| x ? y | 最小时, | xy | 最大.

73. 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与

ax2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? (x ? x1)(x ? x2 ) ? 0(x1 ? x2 ) ; x ? x1,或x ? x2 ? (x ? x1)(x ? x2 ) ? 0(x1 ? x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x2 ? a 2 ? ?a ? x ? a .

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .

75.无理不等式

(1)

f (x) ?

? f (x) ? 0

g(x)

?

? ?

g(

x)

?

0

.

?? f (x) ? g(x)

(2)

? f (x) ? 0

f

(x)

?

g(x)

?

? ? ??

g(x) f (x)

? ?

0 [ g ( x)]2



? ? ?

f (x) g(x)

? ?

0 0

.

? f (x) ? 0

(3)

f

(x)

?

g(x)

?

? ?

g(x)

?

0

.

?? f (x) ? [g(x)]2

76.指数不等式与对数不等式

(1)当 a ?1时,

a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ;

? f (x) ? 0 loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0 .
?? f (x) ? g(x)
(2)当 0 ? a ?1时,
a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ;

? f (x) ? 0 loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0
?? f (x) ? g(x)

77.斜率公式

k

?

y2 x2

? y1 ? x1

( P1(x1, y1) 、 P2 (x2 , y2 ) ).

78.直线的五种方程

(1)点斜式 y ? y1 ? k(x ? x1) (直线 l 过点 P1(x1, y1) ,且斜率为 k ).

(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

(3)两点式

y ? y1 y2 ? y1

?

x ? x1 x2 ? x1

(

y1

?

y2 )( P1(x1,

y1) 、 P2 (x2 , y2 )

( x1 ? x2 )).

(4)截距式 x ? y ? 1( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) ab

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

79.两条直线的平行和垂直

(1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;

② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1. (2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

① l1 || l2

?

A1 A2

?

B1 B2

?

C1 C2



② l1 ? l2 ? A1A2 ? B1B2 ? 0 ;

80.夹角公式

(1) tan? ?| k2 ? k1 | . 1? k2k1

( l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) (2) tan ? ?| A1B2 ? A2B1 | .
A1 A2 ? B1B2

( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1A2 ? B1B2 ? 0 ).

直线 l1

?

l2

时,直线

l1 与

l2

的夹角是

? 2

.

81. l1 到 l2 的角公式

(1) tan ? ? k2 ? k1 . 1? k2k1

( l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) (2) tan ? ? A1B2 ? A2B1 .
A1 A2 ? B1B2

( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1A2 ? B1B2 ? 0 ).

直线 l1

?

l2

时,直线

l1 到

l2

的角是

? 2

.

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程:经过定点 P0 (x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k(x ? x0 ) (除直线

x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P0 (x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为

A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数.

(2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点

的直线系方程为 ( A1x ? B1 y ? C1) ? ?( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线

系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是

参变量.

(4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.

83.点到直线的距离

d

?

|

Ax0

? By0 ? A2 ? B2

C

|

(点

P(x0 ,

y0 ) ,直线 l



Ax ?

By

?C

?

0

).

84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域

设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是:

若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C

异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C

异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A1x ? B1 y ? C1)( A2x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1x ? B1 y ? C1)( A2x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1A2B1B2 ? 0 ),则 ( A1x ? B1 y ? C1)( A2x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1x ? B1 y ? C1)( A2x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1)( A2x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 .

(2)圆的一般方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E2 ? 4F >0).

(3)圆的参数方程

?x

? ?

y

? ?

a b

? ?

r r

cos? sin?

.

( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 (x ? x1 ) (x? x2 )? ( y ? y1 ) ( y? y2 )? (0圆 的 直 径 的 端 点 是

A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 ) ).
87. 圆系方程

(1)过点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) 的圆系方程是

(x ? x1)(x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? ?[(x ? x1)( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1)(x1 ? x2 )] ? 0

? (x ? x1)(x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 a x? b y? c?0 是 直 线 AB 的方程,λ 是待定的系数.

(2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程

是 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ?( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数.

(3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交 点的圆系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ?(x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的
系数. 88.点与圆的位置关系
点 P(x0 , y0 ) 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系有三种

若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系有三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

Aa ? Bb? C

其中 d ?

.

A2 ? B2

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;
d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;

0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
91.圆的切线方程

(1)已知圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

x0 x

?

y0 y

?

D(x0 ? 2

x)

?

E( y0 ? 2

y)

?

F

?

0.

当 (x0 , y0 ) 圆外时,

x0 x

?

y0

y

?

D(x0 ? 2

x)

?

E(

y0 ? 2

y)

?

F

?

0

表示过两个切点

的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k(x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必
有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线.
③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线.

(2)已知圆 x2 ? y2 ? r 2 .

①过圆上的 P0 (x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1? k2 .

92.椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0)

的参数方程是

? ? ?

x y

? ?

a b

cos? sin?

.

93.椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 焦半径公式

PF1

? e(x ? a 2 ) , c

PF2

? e( a 2 c

? x) .

94.椭圆的的内外部

(1)点 P(x0 ,

y0 ) 在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的内部 ?

x02 a2

?

y02 b2

?1.

(2)点 P(x0 ,

y0 ) 在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的外部 ?

x02 a2

?

y02 b2

?1.

95. 椭圆的切线方程

(1)椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 上一点 P(x0 ,

y0 ) 处的切线方程是

x0 x a2

?

y0 y b2

? 1.

(2)过椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 外一点 P(x0 ,

y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是

x0 x a2

?

y0 y b2

? 1.

(3)椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

与直线

Ax ? By ? C ? 0

相切的条件是

A2a2 ? B2b2 ? c2 .

96.双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

? 0) 的焦半径公式

PF1

?| e(x ? a2 ) | , c

PF2

?| e( a2 c

? x) | .

97.双曲线的内外部

(1)点 P(x0 ,

y0 ) 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) 的内部 ?

x02 a2

?

y02 b2

?1.

(2)点 P(x0 ,

y0 ) 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) 的外部 ?

x02 a2

?

y02 b2

?1.

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为 x 2 a2

?

y2 b2

?

1

?

渐近线方程:

x a

2 2

y2 ? b2

?0?

y??b x. a

(2)若渐近线方程为 y ? ? b x a

?

x a

?

y b

?

0

? 双曲线可设为

x a

2 2

?

y2 b2

??.

(3)若双曲线与 x 2 a2

?

y2 b2

?

1

有公共渐近线,可设为

x a

2 2

?

y2 b2

? ? ( ? ? 0 ,焦点在

x

轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).

99. 双曲线的切线方程

(1)双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) 上一点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程是

x0 x a2

?

y0 y b2

? 1.

(2)过双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) 外一点 P(x0 ,

y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是

x0 x ? y0 y ? 1. a2 b2

(3)双曲线

x2 ? y2 a2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0)

与直线

A x?

B y?

C?0 相 切 的 条 件 是

A2a2 ? B2b2 ? c2 .

100. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式

抛物线 y2

? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF

? x0 ?

p. 2

过焦点弦长

CD

?

x1

?

p 2

?

x2

?

p 2

?

x1

?

x2

?

p.

101.抛物线

y2

?

2 px

上的动点可设为

P ( y?2 2p

,

y? ) 或

P(2 pt 2 ,2 pt)或

P (x , y ) ,其中

y2 ? 2 px .

102.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a(x ? b )2 ? 4ac ? b2 (a ? 0) 的图象是抛物线:(1)顶

2a

4a

点坐标为 (? b , 4ac ? b2 ) ;(2)焦点的坐标为 (? b , 4ac ? b2 ?1) ;(3)准线方程是

2a 4a

2a 4a

y ? 4ac ? b2 ?1 . 4a
103.抛物线的内外部

(1)点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y2 ? 2 px( p ? 0) .

点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y2 ? 2 px( p ? 0) .

(2)点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y2 ? ?2 px( p ? 0) .

点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 y2 ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y2 ? ?2 px( p ? 0) .

(3)点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) .

点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) .

(4) 点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) .

点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) .
104. 抛物线的切线方程

(1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p(x ? x0 ) .

(2)过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P(x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p(x ? x0 ) .

(3)抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC .

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线 f1(x, y) ? 0 , f2 (x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1(x, y) ? ? f2 (x, y) ? 0 ( ? 为参数).

(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程

x2 a2 ? k

?

y2 b2 ? k

?1,其中

k

?

max{a2 ,b2}

.当

k ? min{a2 , b2}时,表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2, b2} 时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或

AB ? (1? k 2 )(x2 ? x1)2 ?| x1 ? x2 | 1? tan2 ? ?| y1 ? y2 | 1? co t2 ? ( 弦 端 点

A

(

x1

,

y1

),

B(

x2

,

y2

)

,由方程

?y ? kx ??F(x, y)

? ?

b 0

消去 y 得到 ax2 ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 ,? 为直线

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).

107.圆锥曲线的两类对称问题

(1)曲线 F(x, y) ? 0 关于点 P(x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F(x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F

(

x

?

2

A(

Ax A2

? By ? B2

?

C)

,

y

?

2B(

Ax A2

? By ? B2

?

C

)

)

?

0

.

108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x0 x 代 x2 ,用 y0 y 代 y2 ,

用 x0 y ? xy0 代 xy ,用 x0 ? x 代 x ,用 y0 ? y 代 y 即得方程

2

2

2

Ax0x ?

B?

x0 y

? 2

xy0

? Cy0 y

?

D?

x0 ? 2

x

?

E

?

y0 ? 2

y

?

F

?

0 ,曲线的切线,切点弦,中点

弦,弦中点方程均是此方程得到.

109.证明直线与直线的平行的思考途径

(1)转化为判定共面二直线无交点;

(2)转化为二直线同与第三条直线平行;

(3)转化为线面平行;

(4)转化为线面垂直;

(5)转化为面面平行.

110.证明直线与平面的平行的思考途径

(1)转化为直线与平面无公共点;

(2)转化为线线平行;

(3)转化为面面平行.

111.证明平面与平面平行的思考途径

(1)转化为判定二平面无公共点;

(2)转化为线面平行;

(3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理
对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b. P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1? t)OA ? tOB .
AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
118.共面向量定理
向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? ax ? by .
推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB ,
或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB .
119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? k ),则当 k ?1时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ?平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ?平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共
面.
A、B、C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? x AB ? y AC ?
OD ? (1? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ?平面 ABC).
120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实
数 x,y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC .
121.射影公式
已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A' ,作 B 点在 l 上的射影 B' ,则
A'B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算

设 a= (a1, a2 , a3 ) ,b= (b1, b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (?a1, ?a2 , ?a3) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;

123.设 A (x1, y1, z1) ,B (x2 , y2 , z2 ) ,则

AB ? OB ? OA = (x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1) .

124.空间的线线平行或垂直

r

r

设 a ? (x1, y1, z1) , b ? (x2, y2, z2 ) ,则

rr a Pb

?

r a

?

rr ?b(b

?

r 0)

?

? x1

? ?

y1

? ?

? x2 ? y2



r r rr

??z1 ? ? z2

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 .

125.夹角公式

设 a= (a1, a2 , a3 ) ,b= (b1, b2 , b3 ) ,则

cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3

.

a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32

推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ,此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体 ABCD中, AC 与 BD 所成的角为? ,则

cos? ? | ( AB2 ? CD2 ) ? (BC2 ? DA2 ) | . 2AC ? BD

127.异面直线r 所r 成角 cos? ?| cos a,b |

rr

= |ra ?br| ?

| x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 |

|a|?|b|

x12 ? y12 ? z12 ? x22 ? y22 ? z22 r r

(其中? ( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a,b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a,b 的方向向量)

128.直线 AB 与平面所成角

? ? arc sin AB ? m ( m 为平面? 的法向量). | AB || m |

129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面? 成的角? ,另两边 AC , BC 与平面

? 成的角分别是?1 、? 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B) sin2 ? .

特别地,当 ?ACB ? 90 时,有 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面? 成的角? ,另两边 AC , BC 与平面?

成的角分别是?1 、? 2 , A'、B' 为 ?ABO 的两个内角,则

tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 131.二面角? ? l ? ? 的平面角

? ? arc cos m ? n 或? ? arc cos m ? n ( m , n 为平面? , ? 的法向量).

| m || n |

| m || n |

132.三余弦定理

设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为?1 ,AB 与

AC 所成的角为? 2 ,AO 与 AC 所成的角为? .则 cos? ? cos?1 cos?2 .
133. 三射线定理

若夹在平面角为? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1 ,? 2 ,与二面

角的棱所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2 sin?1 sin?2 cos? ;

|?1 ??2 |? ? ? 180 ? (?1 ??2 ) (当且仅当? ? 90 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式

若 A (x1, y1, z1) ,B (x2 , y2 , z2 ) ,则

d A,B = | AB |? AB ? AB ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ? (z2 ? z1)2 . 135.点 Q 到直线 l 距离

h ? 1 (| a || b |)2 ? (a ?b)2 ( 点 P 在 直 线 l 上 ,直线 l 的 方 向向 量 a= PA , 向 量 |a|

b= PQ ).
136.异面直线间的距离

d

?

|

CD ? n |n|

|

( l1, l2

是两异面直线,其公垂向量为

n

,C、D

分别是 l1, l2

上任一点,d



l1, l2 间的距离). 137.点 B 到平面? 的距离

d ? | AB ? n | ( n 为平面? 的法向量, AB 是经过面? 的一条斜线, A?? ). |n|
138.异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 2mncos? .

d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos EA', AF .

d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? (? ? E ? AA' ? F ).

(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA' 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两

点 E、F, A'E ? m , AF ? n , EF ? d ).
139.三个向量和的平方公式

(a

?b

? c)2

?

2
a

2
?b

2
?c

?

2a ?b

?

2b ? c

?

2c ? a

222
? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a,b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为?1、?2、?3 ,则有

l2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理
S ? S' . cos?
(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,它们所在平面所成锐二面角的为? ).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和V斜棱柱 ,它的直截面的周长和
面积分别是 c1 和 S1 ,则
① S斜棱柱侧 ? c1l .
②V斜棱柱 ? S1l .
143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式)
V ? F ? E ? 2(简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E ? 1 nF ;
2 (2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 1 mV .
2
146.球的半径是 R,则
其体积V ? 4 ? R3 , 3
其表面积 S ? 4? R2 .
147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6 a ,外接球的半径为 6 a .

12

4

148.柱体、锥体的体积

V柱体

?

1 3

Sh



S

是柱体的底面积、

h

是柱体的高).

V锥体

?

1 3

Sh



S

是锥体的底面积、 h

是锥体的高).

149.分类计数原理(加法原理)

N ? m1 ? m2 ? ? mn .
150.分步计数原理(乘法原理)

N ? m1 ? m2 ? ? mn .

151.排列数公式

Anm

=

n(n

?1)?(n

?

m

?

1)

=

(n

n! .( ? m)!

n



m

∈N*,且

m

?

n

).

注:规定 0!? 1.

152.排列恒等式

(1)

Anm

?

(n

?

m

?

1)

Am?1 n

;

(2)

Anm

?

n n?m

Am n?1

;

(3) Anm ? nAnm??11 ;

(4) nAnn

?

An?1 n ?1

?

Ann ;

(5)

Am n?1

?

Anm

?

mAnm?1 .

(6) 1!? 2? 2!? 3?3!? ? n? n! ? (n ?1)!?1.

153.组合数公式

C

m n

=

Anm Amm

=

n(n

?1)?(n ? 1? 2???

m m

? 1)

=

n! ( m!? (n ? m)!

n

∈N*,

m?

N

,且

m

?

n

).

154.组合数的两个性质

(1)

C

m n

=

C

n?m n

;

(2)

C

m n

+

C

m n

?1

=

C

m n ?1

.

注:规定

C

0 n

? 1.

155.组合恒等式

(1) Cnm

?

n

?m m

?

1

C m?1 n

;

(2) Cnm

?

n n?m

Cm n?1

;

(3) Cnm

?

n m

C m?1 n?1

;

n

? (4)

C

r n

= 2n ;

r?0

(5)

C

r r

?

C

r r ?1

?

C

r r?

2

?

?

?

C

r n

?

C r?1 n?1

.

(6)

C

0 n

?

C

1 n

? Cn2

?

?

?

C

r n

?

?

?

C

n n

?

2n .

(7)

C

1 n

?

C

3 n

?

C

5 n

??

?

C

0 n

?

C

2 n

? Cn4

? ?2n?1 .

(8)

C

1 n

?

2C

2 n

?

3C

3 n

? ? ? nCnn

?

n2n?1 .

(9)

C

r m

C

0 n

?

C mr ?1C

1 n

?

?

?

C

0r m

C nr

?

C

r m?n

.

(10) (Cn0 )2

?

(C

1 n

)

2

?

(C

2 n

)

2

?

?

?

(C

n n

)

2

?

C

n 2n

.

156.排列数与组合数的关系
Anm ? m!? Cnm .

157.单条件排列
以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列.
(1)“在位”与“不在位”

①某(特)元必在某位有

A m ?1 n?1

种;②某(特)元不在某位有

Anm

?

Am ?1 n ?1

(补集思想)

?

An1

?1

Am ?1 n ?1

(着眼位置)

?

Anm?1

?

Am1

?1

Am ?1 n ?1

(着眼元素)种.

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)

①定位紧贴:

k(k

?

m

?

n)

个元在固定位的排列有

Akk

Am?k n?k

种.

②浮动紧贴:

n

个元素的全排列把

k

个元排在一起的排法有

A A n?k ?1 k n?k ?1 k

种.注:此类问题

常用捆绑法;

③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ?1),把它们合在一起来作全排列,k 个的一

组互不能挨近的所有排列数有 Ahh Ahk?1 种.
(3)两组元素各相同的插空
m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?

当 n ? m ?1时,无解;当 n ? m ?1时,有

Amn ?1 Ann

? Cmn?1 种排法.

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cmn ?n .

158.分配问题

(1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配

方法数共有 N

?

C

n mn

? Cmnn?n

?

C

n mn?2n

?

?

?

C

n 2n

? Cnn

?

(mn)! (n!)m .

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其
分配方法数共有

N

?

Cmn n

?

Cn mn?n

?

Cn mn?2n

...

?

C2nn

?

Cnn

m!

?

(mn )! m!(n!)m

.

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1+n2 + +nm ) 个物体分给 m 个人,物件

必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则

其分配方法数共有

N

?

C n1 p

?

C

n2 p?

n1

...Cnnmm

? m!?

p!m! n1!n2!...nm!

.

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1+n2 +

+nm ) 个物体分给 m 个人,

物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、

b、c、…个相等,则其分配方法数有

N

?

C n1 p

?

C

n2 p?

n1

...Cnnmm

? m!

?

p!m!
.

a!b!c!...

n1 !n2 !...nm !(a!b!c!...)

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 + +nm) 个物体分为任意的 n1 ,

n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数

有N ?

p!
.

n1!n2!...nm!

(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1+n2 +

+nm ) 个物体分为任意的 n1 ,

n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等,

则其分配方法数有 N ?

p!
.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)

(7)(限定分组有归属问题)将相异的 p( p ? n1+n2 +

+nm )个物体分给甲、乙、丙,……

等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,…时,则无论 n1 , n2 ,…, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

N

?

C n1 p

?

C

n2 p?

n1

...Cnnmm

?

p!
.
n1!n2!...nm!

159.“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

f (n) ? n![ 1 ? 1 ? 1 ? ? (?1)n 1 ] .

2! 3! 4!

n!

推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为

f (n, m) ? n!? Cm1 (n ?1)!? Cm2 (n ? 2)!? Cm3 (n ? 3)!? Cm4 (n ? 4)! ? ? (?1) p Cmp (n ? p)!? ? (?1)m Cmm (n ? m)!

?

n![1

?

Cm1 An1

?

Cm2 An2

?

Cm3 An2

?

Cm4 An4

?

? (?1) p

Cmp Anp

?

?

(?1)m

Cmm Anm

].

160.不定方程 x1+x2 + +xn ? m 的解的个数

(1)方程 x1+x2 +

+xn

?

m ( n, m ? N ?

)的正整数解有 Cn?1 个. m?1

(2) 方程 x1+x2 +

+xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有

Cn?1 个. n?m?1

(3) 方程 x1+x2 + +xn ? m( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N? , 2 ? i ? n ?1 )

的非负整数解有

C n?1 m?1 ?(

n?2)(

k

?1)

个.

(4) 方程 x1+x2 + +xn ? m( n, m ? N ? )满足条件 xi ? k ( k ? N? , 2 ? i ? n ?1 )

的正整数解有 Cn?1 ? C1 Cn?1 ? C2 Cn?1 ?

n?m?1

n?2 m?n?k?2

n?2 m?n?2k?3

161.二项式定理

? (?1)n?2Cn?2Cn?1 个. n?2 m?1?( n?2) k

(a ? b)n

? Cn0 a n

?

C

1 n

a

n?1b

?

C

2 n

a

n?

2

b

2

? ? ? Cnr a n?r b r

? ? ? Cnnb n

;

二项展开式的通项公式

Tr ?1

?

C

r n

a

n?r

b

r

(r

?

0,1,2?,n) .

162.等可能性事件的概率

P( A) ? m . n
163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B).
164. n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率

Pn (k ) ? Cnk Pk (1 ? P)n?k .
168.离散型随机变量的分布列的两个性质

(1) Pi ? 0(i ? 1, 2, ) ;

(2) P1 ? P2 ? ? 1 .
169.数学期望

E? ? x1P1 ? x2P2 ? ? xnPn ?
170.数学期望的性质
(1) E(a? ? b) ? aE(? ) ? b . (2)若? ~ B(n, p) ,则 E? ? np .

(3) 若? 服从几何分布,且 P(? ? k) ? g(k, p) ? qk?1 p ,则 E? ? 1 . p
171.方差

D? ? ? x1 ? E? ?2 ? p1 ? ? x2 ? E? ?2 ? p2 ? ? ? xn ? E? ?2 ? pn ?
172.标准差

?? = D? .

173.方差的性质

(1) D?a? ? b? ? a2D? ;

(2)若? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1? p) .

(3)

若?

服从几何分布,且 P(?

? k) ?

g(k,

p) ? qk?1 p ,则 D?

?

q p2

.

174.方差与期望的关系

D? ? E? 2 ? ? E? ?2 .

175.正态分布密度函数

f ?x? ?

1

? x?? ?2

?
e

262

, x ????, ??? ,式中的实数μ ,? (? >0)是参数,分别表

2? 6

示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

f ?x? ?

1

?
e

x2 2

,

x

?

?

??,

??

?

.

2? 6

177.对于 N (?,? 2) ,取值小于 x 的概率

F

?

x

?

?

?

? ??

x

? ?

?

? ??

.

P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?

? F ? x2 ? ? F ? x1?

?

?

? ??

x2 ? ?

?

? ??

?

?

? ??

x1 ? ?

?

? ??

.

178.回归直线方程

? ? ?
?

n

n

? xi ? x ?? yi ? y ?

xi yi ? nx y

? ?b ? i?1
y ? a ? bx ,其中 ? ?

n
? xi ? x ?2

?

i ?1

? ? i?1 n xi2 ? nx 2

.

i ?1

?a ? y ? bx

179.相关系数

n

n

?? xi ? x ?? yi ? y ?

?? xi ? x ?? yi ? y ?

r ? i?1

?

i ?1

.

n

n

n

n

? ? (xi ? x )2 ( yi ? y)2

? ? ( xi2 ? nx 2 )( yi2 ? ny 2 )

i ?1

i ?1

i ?1

i ?1

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

180.特殊数列的极限

?0

(1) lim qn ? ??1

n??

??不存在

| q |? 1

q ?1

.

| q |? 1或q ? ?1

(2)

lim
n??

ak nk bt nt

? ?

ak ?1nk ?1 ? bt?1nt?1 ?

?0

?

? a0 ? b0

?

? ? ?

at bk

??不存在

(k ? t) (k ? t) . (k ? t)

? ? ? ? (3) S ? lim a1 1? qn n?? 1? q

? a1 ( S 无穷等比数列 1? q

a1qn?1

(| q |? 1)的和).

181. 函数的极限定理

lim f (x) ? a ? lim f (x) ? lim f (x) ? a .

x?x0

x?x0?

x?x0?

182.函数的夹逼性定理

如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足:

(1) g(x) ? f (x) ? h(x) ;

(2) lim g(x) ? a, lim h(x) ? a (常数),

x?x0

x?x0

则 lim f (x) ? a . x?x0 本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立.

183.几个常用极限

(1) lim 1 ? 0 , lim an ? 0 (| a |? 1);

n?? n

n??

(2) lim x ? x0

x

?

x0



lim
x ? x0

1 x

?

1 x0

.

184.两个重要的极限

(1) lim sin x ? 1; x?0 x

(2)

lim
x??

???1

?

1 x

x
? ??

?

e

(e=2.718281845…).

185.函数极限的四则运算法则

若 lim f (x) ? a , lim g(x) ? b ,则

x?x0

x?x0

(1)

lim
x ? x0

??

f

?

x?

?

g

?

x ? ??

?

a

?

b



(2)

lim
x ? x0

??

f

?

x?

?

g

?

x???

?

a

?b

;

(3)

lim
x?x0

f g

?x? ?x?

?

a b

?b

?

0? .

186.数列极限的四则运算法则



lim
n??

an

?

a,

lim
n??

bn

?b

,则

(1)

lim
n??

? an

?

bn

?

?

a

?

b



(2)

lim
n??

?

an

?

bn

?

?

a

?

b



(3) lim an ? a ?b ? 0?

b n?? n

b

(4)

lim ? c
n??

? an

?

?

lim
n??

c

?

lim
n??

an

?

c?a

(

c

是常数).

187. f (x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ?(x0 ) ?

y?

x ? x0

?y ? lim
?x?0 ?x

? lim ?x?0

f (x0

? ?x) ? ?x

f (x0 )

.

188.瞬时速度

? ? s?(t) ? lim ?s ? lim s(t ? ?t) ? s(t) .

?t ?t ?0

?t ?0

?t

189.瞬时加速度

a ? v?(t) ? lim ?v ? lim v(t ? ?t) ? v(t) .

?t ?t?0

?t ?0

?t

190. f (x) 在 (a,b) 的导数

f ?(x) ? y? ? dy ? df ? lim ?y ? lim f (x ? ?x) ? f (x) .

dx dx ?x?0 ?x ?x?0

?x

191. 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义

函 数 y ? f (x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f (x) 在 P(x0, f (x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ?(x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?(x0 )( x ? x0 ) .

192.几种常见函数的导数

(1) C? ? 0 (C 为常数).

(2) (xn )' ? nxn?1(n ? Q) .

(3) (sin x)? ? cosx .

(4) (cosx)? ? ?sin x .

(5)

(ln

x)?

?

1 x



(log ax )?

?

1 x

log

e a

.

(6) (ex )? ? ex ; (ax )? ? ax ln a .

193.导数的运算法则

(1) (u ? v)' ? u' ? v' .

(2) (uv)' ? u'v ? uv' .

(3)

(u v

)'

?

u'v ? uv' v2

(v

?

0)

.

194.复合函数的求导法则

设函数 u ? ?(x) 在点 x 处有导数 ux' ? ? ' (x) ,函数 y ? f (u) 在点 x 处的对应点 U 处有

导数

yu '

?

f ' (u) , 则 复 合 函 数

y?

f (? ( x))在点

x

处有导数,且

yx'

?

yu'

?

u

' x









f

' x

(?

(

x))

?

f

' (u)? ' (x) .

195.常用的近似计算公式(当 x 充小时)

(1) 1 ? x ? 1 ? 1 x ; n 1 ? x ? 1 ? 1 x ;

2

n

(2) (1? x)? ? 1?? x(? ? R) ; 1 ? 1 ? x ; 1? x

(3) ex ? 1? x ;

(4) ln (1 ? x) ? x ;
(5) sin x ? x ( x 为弧度); (6) tan x ? x ( x 为弧度); (7) arctanx ? x ( x 为弧度)

196.判别 f (x0 ) 是极大(小)值的方法

当函数 f (x) 在点 x0 处连续时,

(1)如果在 x0 附近的左侧 f ?(x) ? 0 ,右侧 f ?(x) ? 0 ,则 f (x0 ) 是极大值;

(2)如果在 x0 附近的左侧 f ?(x) ? 0 ,右侧 f ?(x) ? 0 ,则 f (x0 ) 是极小值.
197.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c,b ? d .( a,b, c, d ? R )

198.复数 z ? a ?bi 的模(或绝对值)

| z | =| a ? bi | = a2 ? b2 .
199.复数的四则运算法则
(1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d)i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d)i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd) ? (bc ? ad)i ;

(4) (a

? bi) ? (c

?

di)

?

ac ? bd c2 ? d 2

?

bc c2

? ad ?d2

i(c

?

di

?

0)

.

200.复数的乘法的运算律

对于任何 z1, z2 , z3 ? C ,有

交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 .

结合律: (z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? (z2 ? z3 ) .

分配律: z1 ? (z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 .
201.复平面上的两点间的距离公式

d ?| z1 ? z2 |? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
202.向量的垂直

非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

OZ1 ? OZ2

?

z1 ? z2 的实部为零 ?

z2 z1

为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2

? | z2 |2

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非
零实数).

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ,

①若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ? ?b ?

b2 ? 4ac ; 2a

②若

?

?

b2

?

4ac

?

0 ,则

x1

?

x2

?

?

b 2a

;

③若 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭 复数根 x ? ?b ? ?(b2 ? 4ac)i (b2 ? 4ac ? 0) .
2a


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