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河南省豫南九校2013届高三上学期12月联考(数学理)


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豫南九校 2013 届高三上学期 12 月联考 数学(理)试题 考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一:选择题: (每题 5 分,共 60 分) . 1.设 P ? y y ? ?x 2 ? 1, x ? R , Q ? y y ? 2 x , x ? R ,则 ( ) A. P ? Q B. Q ? P C. CR P ? Q D. Q ? CR P

?

?

?

?

2 已知 p, q 为两个命题,则“ p 是真命题”是 “ p ? q 是真命题”的( ) A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数

y ? f (x) 的大致图象如图所示, 则函数 y ? f (x) 的解析式应为( )
A. f ( x ) ? e x ln x B. C. D.

f (x ) ? e ? x ln | x |

f (x ) ? e |x | ln | x |

f (x ) ? e x ln | x |
y 9x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( 2x 2 y
B. ? 3 ? m ? 1 C. m ? 1或m ? ?3 D. ? 1 ? m ? 3 ) )

4.已知 x ? 0, y ? 0 ,若 A. m ? 3或m ? ?1 5. 过椭圆

x2 ? y 2 ? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 2
B.

A.

2 6 3

4 2 3

C.

4 6 3

D.

4 3 3

6. 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( ) 6 ? 2?
C. ? , 1? ?2 ?

A. ? , 1?

?1 ?2

? ?

B ? , 1? ?2 ?

?1

?

?1

?

D. ? , 1?

?1 ?2

? ?
)

? n 7. 设 n ? N , 曲 线 y ? x ?1 ? x? 在 x ? 2 处 的 切 线 与 y 轴 的 交 点 的 纵 坐 标 为 an , 则 a 4 ? (

A.80

B 32

C. 192

D. 256 )
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8. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为(
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1 1 3 正视图 2 2 侧视图

俯视图(圆和正方形) A. 4+

? 2

B. 4+

3? 2

C. 4+

5? 2

D. 4+ ?

9.已知 a =(cos

2 2 π, sin π), OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形, 3 3
)[ http://wx.jtyjy.com/ HTTP://WX.JTYJY.COM/] C.2 D.

则△OAB 的面积等于( A.1 B.

1 2

3 2

10. 在椭圆

x2 y2 ? ? 2 ?1 (a> b ) 记左焦点为 F,右顶点为 A, 中, 短轴上方的端点为 B, 若角 ?BFA ? 30 , 2 a b

则椭圆的离心率为( )

A.

1 3

B.

1 2

C.

3 5

D.

3 2

11.在正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,若 BB1 ?

2 AB ,则 AB1 与 C1 B 所成的角的大小是( )
12? 0

A 30?

B

60?

C

90?

D

2 2 12. 如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M,N 两点, M,N 关于直线 2 x ? y ? 0 对称, 且

?kx ? y ? 2 ? 0 b?2 ? 动点 P(a, b)在不等式组 ?kx ? m y ? 0 表示的平面区域内部及边界上运动, 则点 取值范围是 ( ) a ?1 ?y ? 0 ?

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A ?2,??? B ? ? ?,? ? 3

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D ? ? ?,? ? ? ?2,??? 3

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? ?

2? ?

C

? 2 ? ? ? 3 , 2? ? ?

? ?

2? ?

二:填空题: (每题 5 分,共 20 分) . 13.计算定积分 (e ? cos x)dx =________.
x
?1

?

1

14.夹在 60 的二面角内的一个球与二面角的两个面的切点到棱的距离都是 6,则这个球的半径为_______. 15.记函数 f ? x ? 的导数为 f
?1?

?

? x ? , f ?1? ? x ? 的导数为 f ?2? ? x? ,?, f ?n?1? ? x? 的导数为 f ? n ? ? x ? ? n ? N * ? 。

若 f ? x ? 可进行 n 次求导,则 f ? x ? 均可近似表示为:

f ? ? ? 0? f ? ? ? 0? 2 f ? ? ? 0? 3 f ? ? ? 0? n f ? x ? ? f ? 0? ? x? x ? x ??? x 1! 2! 3! n!
1 2 3 n

若取 n ? 5 ,根据这个结论,则可近似估计自然对数的底数 e ? _____(用分数表示) . 16.定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足 f ?1? ?

5 ,且对于任意实数 x, y ,总有 2

f ?x ? f ? y ? ? f ?x ? y ? ? f ?x ? y ? 成立。则下列命题正确序号为____
① f ?0? ? 2 ; ② f ?x ? 为奇函数; ④若 an ? 2 f ?n ? 1? ? f ?n? ③ f ?x ? 为偶函数; 则 ?an ? 为等差数列.

?n ? 1,2,3,?? ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的过程. 17. (本小题满分 10 分)已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3a n ?1 ? 2S n ? 3 ( n 为正整数) (Ⅰ) 求出数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若对任意正整数 n , k ? S n 恒成立,求实数 k 的最大值. 18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n ,(Ⅰ) 求 函 数 f (x) 的 表 达 式 ; Ⅱ ) 在 ?A B C 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 , A 为 锐 角 , 若 (

1 ? 3 ? sin( 2 A ? ) ? , b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长. 2 6 2 3 2 19. (本小题满分 12 分)现有如下两个命题:命题 p:函数 f ?x ? ? x ? ax ? ax ? a ,既有极大值又有极

f ( A) ?

小值.命题 q:直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与曲线 x ? 2ax ? y ? a ? 1 ? 0 有公共点.若命题“p 或 q 为”真,
2 2 2

且“p 且 q”为假,试求 a 的取值范围. 20 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 Rt?ABC中,AB ? BC ? 4, E在线段AB 上 , 过 点 E 做 ( 点

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EF // BC交AC于点F, ?AEF沿EF折起到?PEF 的位置( 点A与点P重合 ) 将 ,
使得 ?PEB ? 60 .
?

A E

a a
B a

P F E C B F C

(1)求证: EF ? PB a

(2)试问:当点 E在线段AB 上移动时,二面角 P ? FC ? B 的平面角的余弦值是

否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.

a

3 x2 y 2 21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>4) ,离心率为 . 5 a 4
(1)求椭圆的方程. (2)过其右焦点 F 任作一条斜率为 k ( k ? 0 )的直线交椭圆于 A,B 两点,问在 F 右侧是否存在一点 D ? m, 0 ? , AD、 分别交直线 x ? 连 BD 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 22. (本小题满分 12 分)设 x ? m 和 x ? n 是函数 f ( x) ? ln x ?

25 于 M,N 两点, 且以 MN 为直径的圆恰好过 F , 3 1 2 x ? (a ? 2) x 的两个极 2

值点,其中 m ? n , a ? R . (Ⅰ) 求 f (m) ? f (n) 的取值范围; (Ⅱ) 若 a ?

e?

1 ? 2 ,求 f (n) ? f (m) 的最大值. e

注:e 是自然对数的底数.

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理科数学参考答案 一、选择题

题号 答案

1 C

2 A

3 D

4 B

5 B

6 C

7 A

8 C

9 A

10 D

11 B

12 D

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 15.

e ? 2 sin 1 ? e ?1



14.

2 3
.



163 ; 60

16. ①③

17. (本小题满分 10 分) 解: (1)? 3a n ?1 ? 2S n ? 3 , ① ? 当 n ? 2 时, 3a n ? 2S n ?1 ? 3 . 由 ① - ②,得 3an?1 ? 3an ? 2an ? 0 . ? 又 ? a1 ? 1 , 3a 2 ? 2a1 ? 3 ,解得 a 2 ? ②

a n ?1 1 ? an 3

( n ? 2 ) . ????3 分

1 . 3

1 ? 数列 ? a n ? 是首项为 1,公比为 q ? 的等比数列. 3
?1? ? a n ? a1 q n?1 ? ? ? ?3?
(2)由(Ⅰ)知? S n ?
n ?1

( n 为正整数).

?????5 分

3? 1 n? ?1 ? ( 3 ) ? 2? ?

?????8 分
n

3 ? ?1? 由题意可知,对于任意的正整数 n ,恒有 k ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? 3? ?
? ? 1 ?n ? ? 数列 ? 1 ? ? ? ? ?3? ?
?

? ?, ? ?

? 2 ? ? 单调递增, 当 n ? 1 时,该数列中的最小项为 , 3 ? ?
?????? 10 分

必有 k ? 1 ,即实数 k 的最大值为 1.

18 解: (Ⅰ)由题意得:

f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2
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1 ? ? sin(2 x ? ) ???????????5 2 6 1 ? 3 1 ? ? 3 (Ⅱ)由 f ( A) ? ? sin( 2 A ? ) ? 得:1 ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? ,化简得:cos 2 A ? ? , 6 6 2 2 6 2 2
又因为 0 ? A ?

?

A?

?
3

2

,解得: ????????????????8 分

由题意知: S ?ABC ?

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 ,??????10 分 2

又 b ? c ? 7 ,所以 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc(1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2
故所求边 a 的长为 5。 ??12 分 19.解:由 f ?x ? ? x 3 ? ax2 ? ax ? a ,知 f ??x? ? 3x 2 ? 2ax ? a , f ?x ? 既有极大值又有极 小值,转化为 f ?? x ? 有两个不同的零点,即 ? ? ?2a? ? 12a >0
2

解得 a>3 或 a<0.即当 a>3 或 a<0,命题 p 为真。??????4 分 直线 x 2 ? 2ax ? y 2 ? a ? 1 ? 0 可整理为 ?x ? a? ? y 2 ? 1 , 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 ?x ? a? ? y 2 ? 1 有公共点
2 2

等价于

3a ? 2 5

? 1,解得

?1 ? a ?

7 7 。即当 ? 1 ? a ? 时,命题 q 为真。??????8 分 3 3

?a ? 3或a ? 0 ? 由题,若 p 真 q 假, ? 7 ,解得 a>3 或 a<-1;??????10 分 ?a ? ?1或a ? 3 ? ?0 ? a ? 3 7 ? 若 p 假 q 真? 7 ,解得 0 ? a ? 。 3 ?? 1 ? a ? 3 ?
综上,a 的取值范围为解得 a>3 或 a<-1 或 0 ? a ?

7 ??????12 分 3

20.解: (1)在 Rt ?ABC 中,? EF / / BC ,? EF ? AB .

? EF ? EB , EF ? EP , 又? EB ? EP ? E ,? EF ? 平面 PEB.
又? PB ? 平面 PEB, ? EF ? PB . ??????4 分
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(2)在平面 PEB 内,经 P 点作 PD ? BE 于 D,由(1)知 EF ? 面 PEB,

? EF ? PD.? PD ? 面 BCEF.在面 PEB 内过点 B 作直线 BH//PD,则 BH ? 面 BCFE.以 B 点为坐标原点, ???? ??? ???? ? BC , BE , BH 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系. ??????6 分
设 PE=x(0<x<4)又? AB ? BC ? 4,? BE ? 4 ? x , EF ? x [ http://wx.jtyjy.com/] 在 Rt ?PED 中, ?PED ? 60 ,? PD ?
0

3 1 x,DE= x, 2 2
? 3 3 ? 4 x ?. ? 0,? x, ? 2 2 ? ? ?

1 3 ? BD ? 4 ? x- x=4- x,? C ? 4, 0 ?,F ? x,4-x,0 ? , P 0, 2 2 4 CP ? 4 从而 CF ? ? x ? 4, ? x, 0 ?, ? ? ?4,? ??? ? ??? ? ?

3 3 ? x, x ?. ??????8 分 2 2 ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? 设 n1 = ? x 0 ,y 0,z 0 ? 是平面 PCF 的一个法向量,由 n1 ? CF ? 0, 1 ? CP ? 0, n

?x 0 ? x ? 4 ? ? y 0 ? 4 ? x ? ? 0 ? x 0 ? y 0 ? 0, ? ? 得? 取 y 0 ? 1, 得 ,? ? 3 ? 3 ? xz 0 ? 0 ? 3y 0 ? z 0 ? 0, ??4 x 0 ? ? 4 ? x ? y 0 ? ? 2 ? 2 ? ? ?? ? n1 ? 1,1, 3 是平面 PFC 的一个法向量. ?????10 分

?

?

又平面 BCF 的一个法向量为 n2 ? 0, 0,1 . 设二面角 P ? FC ? B 的平面角为 ? ,则 cos? ? cos? n1 , n2 ? ?

?? ?

?

?

15 5

因 此 当 点 E 在 线 段 AB 上 移 动 时 , 二 面 角 P ? FC ? B 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 定 值

15 [ http://wx.jtyjy.com/][ http://wx.jtyjy.com/] 5
??????12 分

3 x2 y2 x2 y2 21.(1)由椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>4) ,离心率为 ,易知 a=5,椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 5 a 4 5 4
?????????????4 分 (2)存在 m ? 5 ,理由如下:由题知, F ?3,0? 设 AB 的方程为 y ? k ?x ? 3? 。

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y2 ? ?1 ? ? 25 16
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? 16 ? 25k 2 x 2 ? 150k 2 x ? 225k 2 ? 400 ? 0 得[ http://wx.jtyjy.com/]
x1 ? x2 ? 150k 2 225k 2 ? 400 ? 256k 2 2 , x1 x 2 ? ; y1 y 2 ? k ?x1 ? 3? x 2 ? 3 ? 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2

?

?

?

?

----------------------6 分 设M?

?3m ? 25?y2 ?3m ? 25?y1 ,同理 ? 25 ? ? 25 ? , y3 ? N ? , y 4 ? ,由 M、A、D 共线, y3 ? y3 ? 3?m ? x1 ? 3?m ? x2 ? ? 3 ? ? 3 ?
?????8 分

又 FM ? ?

? 16 ? ? 16 ? , y 3 ?, FN ? ? , y 4 ?, 由已知得 FM ? FN ? FM ? FN ? 0 得 ?3 ? ?3 ?
2

?3m ? 25? y1 y2 , 256 y3 y 4 ? ? , 而y3 y 4 ? 9 9?m ? x1 ??m ? x2 ?
即有 ?

?3m ? 25? ? ? 256k 2 256 ? 9 9?m ? x1 ??m ? x2 ? 16 ? 25k 2
2

??????10 分 整理得 1 ? k 2 16m 2 ? 400 ? 0,? m ? ?5 ? m >3,? m ? 5 22.(Ⅰ)解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

?

??

?

???12 分

1 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? x ? (a ? 2) ? . x x

依题意,方程 x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根 m , n (其中 m ? n ) .故

?(a ? 2)2 ? 4 ? 0 ? a ? 0 ,并且 m ? n ? a ? 2, mn ? 1 . ? ?a ? 2 ? 0
所以, f (m) ? f (n) ? ln mn ? (m2 ? n2 ) ? (a ? 2)(m ? n)

1 2

1 1 ? [(m ? n)2 ? 2mn] ? (a ? 2)(m ? n) ? ? (a ? 2)2 ? 1 ? ?3 2 2
故 f (m) ? f (n) 的取值范围是 (??, ?3) . (Ⅱ)解:当 a ? ????5 分

e?

1 n 1 ? 2 时, (a ? 2)2 ? e ? ? 2 .若设 t ? (t ? 1) ,则 m e e

( m ? n) 2 1 1 ?t ? ?2?e? ?2. mn t e 1 1 1 于是有 t ? ? e ? ? (t ? e)(1 ? ) ? 0 ? t ? e ????8 分 t e te n 1 n 1 f (n) ? f (m) ? ln ? (n2 ? m2 ) ? (a ? 2)(n ? m) ? ln ? (n2 ? m2 ) ? (n ? m)(n ? m) m 2 m 2 (a ? 2) 2 ? ( m ? n) 2 ?
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? ln
2

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n 1 2 n 1 n ?m n 1 n m ? (n ? m2 ) ? ln ? ( ) ? ln ? ( ? ) m 2 m 2 mn m 2 m n ???10 分 1 1 ? ln t ? (t ? ) 2 t 1 1 1 (t ? 1) 2 1 1 ? 0. 构造函数 g (t ) ? ln t ? (t ? ) (其中 t ? e ) ,则 g ?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? t 2 t 2t 2 2 t e 1 所以 g (t ) 在 [e, ??) 上单调递减, g (t ) ? g (e) ? 1 ? ? . 2 2e e 1 故 f (n) ? f (m) 的最大值是 1 ? ? . ????12 分 2 2e

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