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2014届高三广州市二模理科数学热身试题


2014 届高三广州市二模理科数学热身试题
本试卷共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。命题:邓军民(20140412 使用) 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 。 若在每次试验中,事件 A 发生的概率为 p,则在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率 为 P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)
k k n?k

, k ? 0,1, …,n.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.i 是虚数单位,复数 A.第一象限 2.若集合 A ? 1, a

1? i 对应的点位于 i3
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( )





?

2

? ,集合 B ? ?6,9? ,则“a=3”是“ A ? B ? ?9? ”的
B.必要不充分条件 C.充分必要条件

A.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

? ?1 ? 3.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ,若 a ? f (1g 0.8), b ? f (1g11), c ? f ? 2 2 ? ,则 ? ?
A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. b ? c ? a D. a ? c ? b

4.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? A ? 0, ? ? 0,| ? |?

? ?

??

? 的一部分图象如图 1 所示,则 2?





1 ? ,? ? ? 2 6 1 ? C. ? ? , ? ? 2 3
A. ? ?

B. ? ? 2, ? ? ? D. ? ? 2, ? ?

?
3

?
6

5.已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长 均为 1,其直观图和正(主)视图如图 2,则它的左(侧)视图和面积是 ( A. 3 B.1 )

C.

1 2

D.

3 2

6.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 2 a b
( )

3 ,则该双曲线的标准方程为
A.

x2 y 2 ? ?1 3 6

B.

x2 y 2 ? ?1 12 24

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

y2 x2 ? ?1 18 27

·1·

7.已知各项不为 0 的等差数列 ? an ? 满足:

?
6

2 a2 ? a7 ?

?
6

a12 ? 0 ,数列 ?bn ? 是各项均为正值的等比数列,且
( )

b7 ? a7 ,则 tan
A. 3

?

b4b10 等于
B.- 3 C. ? 3 D.

?

3 3

8.用 max ?a, b? 表示 a,b 两个数中的最大数,设 f ( x) ? max x 2 , x ( x ? ) ,那么由函数 y ? f ( x) 的图 象、x 轴、直线 x ? A.

?

?

1 4

35 12

1 和直线 x=2 所围成的封闭图形的面积是 4 59 57 B. C. 24 8

( D.



91 12

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题。每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(9~13 题) 9. (2 x ? ) 的二项展开式的常数项为
6

1 x

。 (用数字作答)

10.公路部门对通过某路段的 300 辆汽车的车速进行检测,将 所得数据按 ? 40,50 ? , ?50, 60 ? , ?60, 70 ? , ?70,80 ? 分组,绘 制成如图 3 所示的频率分布直方图, 图示中 a 的值等于 这 300 辆汽车中车速低于 60km/h 的汽车有 辆。 ;

?y ?1 ? 11.已知实数 x,y 满足不约束条件 ? y ? 2 x ? 1 , ?x ? y ? 5 ?
则目标函数 z=x-y 的最大值等于 。

12.执行如图 4 所示的程序框图,若输入 n 的值为 22 , 则输出的 s 的值为 13.给出下列四个命题: ①命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则 ?p : ?x ? R,sin x ? 1 ; ②当 a ? 1 时 ,不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3|? a 的解集为非空;
图4



1 ③当 x ? 1 时,有 1nx ? ? 2; 1nx
④设有五个函数 y ? x , y ? x , y ? x3 , y ? x 2 , y ? 2| x| ,其中既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 上是增函数的有 2
?1 1 2

个。其中真命题的序号是



·2·

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 A 的坐标为 ? 2 2, OA(O 为极点)所在直线被曲线 C 所截弦的长度为

? ?

??

? ,曲线 C 的方程为 ? ? 4sin ? ,则 4?



15. (几何证明选讲选做题)如图 5 所示,过圆 C 外一点 P 做一条直线与圆 C 交于 A,B 两点,AB=2AP,PT 与圆 C 相切于 T 点。已知圆 C 的半径为 2,∠CAB=30o, 则 PT= 。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 2sin x cos x 6? 6? ?

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值,并求此时 x 的值。 , ? 3 3? ?

17. (本小题满分 12 分) 现有 3 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择。约定:每个人将质地均匀的硬 币抛掷 2 次决定自己去参加哪个游戏。2 次抛出的硬币朝上的面均为正面的人去参加甲游戏,2 次抛出的 硬币朝上的面为其它情形的去参加乙游戏。 (1)求这 3 个人中恰有 2 个人去参加甲游戏的概率 (2)求这 3 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 3 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ?| X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列和 数学期望。

·3·

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,M,N 分别是 PB,PC 的中点,PA=AB,在四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB⊥BC. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:平面 AMN⊥平面 PBC; (3)若 AD-AB=1,PD= 5 ,∠CDA=45o,求二面角 P-AB-N 的大小.

19. (本小题满分 14 分) 等比数列 ? an ? 的各项均为正数, 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,且 a3 ? 2a2 .
2

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2n ? 5 a ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的左、右顶点分别为 A、B,点 P 在椭圆上且异于 A、B 两点,O 为坐标原 设椭圆 C : 2 ? a 2
点。 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为-

1 ,求椭圆的离心率; 2
? ? ? ?
,

P| ? 2| P Q| (2) 对于由 (1) 得到的椭圆 C, 过点 P 的直线 l 交 x 轴于点 Q (-1, 0) , 交 y 轴于点 M, 若| M
求直线 l 的斜率.

21. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? x ? 1n( x ? a) 的最小值为0,其中 a ? 0 . (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x ? ? 0, ?? ? ,有 f ( x) ? kx 成立,求实数k的最小值;
2

(3)证明

? 2i ? 1 ? 1n(2n ? 1) ? 2(n ? N
i ?1

n

2

*

).

·4·

2014 届高三广州市二模理科数学热身试题答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 D 6 A 7 A 8 A

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题. 9. 160 13. ③④ 10. 0.025 , 180 14. 11. 3 15. 3 12.

211

2 2

(第 10 题第一空 2 分,第二空 3 分)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) ( 本 小 题 主 要 考 查 三 角 两 角 和 的 正 余 弦 公 式 , 三 角 特 殊 值 的 运 算 , 函 数 转化、 换元的数学思想方法, f ?x ? ? A s i?? nx ? ? ??或f ?x ? ? A c o?? sx ? ? ?? 的周期,最值等知识,考查化归、 以及运算求解能力) 解: (1) f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 2sin x cos x 6? 6? ?
? cos 2 x cos

? cos 2 x cos
? 2?

?
6

? sin 2 x sin

?
6

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? 2 sin x cos x …………2 分

3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? sin 2 x 2

…………3 分

? 3 ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? 2? ? 2? cos 2 x ? sin 2 x sin cos 2 x ? cos sin 2 x ? 2 sin 2 x ? ? ? ? ? …………6 分 ? 2 ? 2 3 3 3? ? ? ? ? ?

? f ? x ? 的最小正周期为 T ?
(2)由(1)知 f ? x ? ? 2 sin? 2 x ?

2? ?? 2

………7 分

? ?

??

? ,由 ? ? x ? ,得 ? ? 2 x ? ? ? , ……8 分 3? 3 3 3 3
…………10 分

?

?

?

?

?当 2 x ?
当 2x ?

?
3

?

?
?
2

,即 x ?

?
12

时, f ? x ? 取得最大值 2 ;

?
3

??

3

,即 x ? ?

?
3

时, f ? x ? 取得最小值 ? 3 .…………12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查互斥事件,古典概型,独立重复试验,数学期望等知识,考查随机思想以及数据处理能力、 抽象思维能力、运算求解能力和应用意识)

·1·

解 : 将 质 地 均 匀 的 两 枚 硬 币 抛 掷 两 次 朝 上 的 面 有 等 可 能 的 四 种 结 果 : ?正, 正? ,

?正, 反? , ?反, 正? , ?反, 反? ,
所以 3 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为

…………1 分

1 3 ,去参加乙游戏的概率为 .…………2 分 4 4
i

设“这 3 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai ?i ? 0,1,2,3?则 P? Ai ? ? C 3 ? ? ? ?

?1? ?3? ?4? ?4?

i

3? i

.………3 分

?1? ?3? (1)这 3 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P? A2 ? ? C ? ? ? ? ?4? ?4?
2 3

2

3? 2

?

9 .…………5 分 64

(2)设“这 3 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B ,则 B ? A3 ? A2 ,

1 9 5 ?1? 2? 1 ? ? 3? ? ? 由于 A3与A2 互斥,故 P?B ? ? P? A3 ? ? P? A2 ? ? C ? ? ? C 3 ? ? ? ? ? . ?4? ? 4 ? ? 4 ? 64 64 32
3 3

3

2

所以, 这 3 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 (3) ? 的所有可能取值为 1,3 , 由于 A1 与 A2 , A0 与 A3 互斥,故 …………8 分

5 .………7 分 32

9 ? 1 ?? 3 ? ? 1 ? ? 3 ? 27 9 ? ? P?? ? 1? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? C ? ?? ? ? C32 ? ? ? ? ? ,…………9 分 ? 4 ? ? 4 ? 64 64 16 ? 4 ?? 4 ?
1 3

2

2

27 1 7 3? 1 ? 0? 3? ? ? . P?? ? 3? ? P? A0 ? ? P? A3 ? ? C 3 ? ? ? C3 ? ? ? 64 64 16 ?4? ?4?
所以, ? 的分布列为

3

3

…………10 分

?
P

1
9 16

3
7 16
……11 分

所以随机变量 ? 的数学期望 E? ? 1 ? 18.(本小题满分 14 分)

9 7 30 15 ? 3? ? ? . 16 16 16 8

…………12 分

(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解: (1)证明:? M , N 分别是 PB, PC 的中点? MN 是 ?PBC 的中位线,

? MN // BC , 又? AB ? AD , AB ? BC ? BC // AD ,
·2·

? MN // AD ,

AD ? 平面 PAD ,
…………3 分 …………4 分

…………2 分

MN ? 平面 PAD , MN // 平面 PAD .

z
P

(2)? PA ? AB , M 是 PB 的中点? AM ? PB …………5 分

? PA ? 底面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,? BC ? PA
又? BC ? AB , PA ? AB ? A , PA ? 平面 PAB ,

M

AB ? 平面 PAB ,? BC ? 平面 PAB , AM ? 平面 PAB
? AM ? BC .
…………6 分
H

A

N

B

O

y

PB ? BC ? B , PB ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC

C

? AM ? 平面 PBC . 又 AM ? 平面 AMN ……8 分

?平面 AMN ? 平面 PBC .

…………9 分
D

(3) ? PA ? 底面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,

? PA ? AD ,又 PA ? AB ? PA2 ? AD 2 ? PD 2 x
又 PA ? AB , PD ? 联立 ?

5 , ? AB 2 ? AD 2 ? PD 2 ? 5
,解得 ?

? AD ? AB ? 1 ? AB ? AD ? 5
2 2

? AB ? 1 .过点 C 作 CH ? AD 于 H ,在 Rt?DHC 中, ? AD ? 2
………10 分

?CDH ? 45 0 , CH ? AB ? 1 ? DH ? 1,? BC ? AH ? 1 .
方法一(向量法) :以 A 为坐标原点,分别以直线 AD, AB, AP 为

x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.
则 A?0,0,0?, B?0,1,0?, C ?1,1,0? , P?0,0,1?, N ? ,

…………11 分

?1 1 1? , ?, ?2 2 2?

?1 1 1? BC ? ?1,0,0? , AN ? ? , , ? , AB ? ?0,1,0? .由(2)知 BC ? ?1,0,0? 是平面 PAB 的一个法向量; ?2 2 2?
1 1 ?1 ? ?n ? AN ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ? x ? ? z 设平面 NAB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ,即 ? 2 ,得 ? .取 n ? ?1,0,?1? . 2 2 y?0 ? ? n ? AB ? 0 ? ? ?y ? 0
…………12 分

cos BC, n ?

BC ? n BC n

?

1 ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 ? ?? 1? 1 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 ? ?? 1?
2 2 2 2 2 2

?

2 .…………13 分 2

·3·

结合图可知, 二面角 P ? AB ? N 的大小为 45 0 .

…………14 分

方法二(几何法)由(2)知 BC ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB ? BC ? PB ,

? N 是直角三角形 Rt ?PBC 斜边上的中线,

? BN ?

1 1 PC .同理易证 AN ? PC .? AN ? BN . 2 2

取 AB 的中点 Q ,连 AQ ,则 AB ? NQ .连 MQ ,易知 MQ / / PA ,? MQ ? AB .

MQ ? 平面 PAB , NQ ? 平面 NAB , ??MQN 即是二面角 P ? AB ? N 的平面角.………11 分
Q

在 Rt ?PBC 中, PB ?

AB 2 ? PA2 ? 2, ? PC ? PB 2 ? BC 2 ? 3 ,

? BN ?

3 ? Rt ?BQN 在 中, NQ ? BN 2 ? BQ 2 ? 2

3 1 1 , ? ? 4 4 2

MQ ?

1 1 1 1 PA ? MN ? BC ? 2 2, 2 2,

…………12 分

?在 ?MQN 中, MQ2 ? MN 2 ? NQ2 ,又有 MN ? MQ ,

? ?MQN 是以 ?NMQ 为直角的等腰直角三角形,??MQN ? 450 . ?二面角 P ? AB ? N 的大小为 45 0 .
19.(本小题满分 14 分)

…………13 分

…………14 分

(本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、 运算求解能力和创新意识) (1)解:设等比数列 ? an ? 的公比为 q ,依题意,有

2a4 ? 4a5 ? , ? ? a3 ? a4 ? 2a5 , ? a3 ? 即? ……………………………………………………………………2 分 2 ? 2 a ? 2 a . ? 2 3 2 ? ? a ? 2a . 2 ? 3
? a1q 2 ? a1q 3 ? 2a1q 4 , ? 所以 ? ………………………………………………………………………………3 分 2 2 2 ? ? a1q ? 2a1 q .

1 ? 1 a1 ? , ? ? ? a1 ? , ? 2 由于 a1 ? 0 , q ? 0 ,解之得 ? 或? 2 ……………………………………………………5 分 ?q ? 1. ? ? q ? ?1. ? ? 2

·4·

又 a1 ? 0, q ? 0 ,所以 a1 ?

1 1 , q ? ,…………………………………………………………………6 分 2 2
n

?1? * 所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? ? ? ( n ? N ) .…………………………………………………7 分 2 ? ?
(2)解:由(1) ,得 bn ?

2n ? 5 2n ? 5 1 ? an ? ? n .………………………………8 分 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2

所以 bn ? ?

1 ? 1 ? 2 ? ?? n ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? 2

?

1 1 .…………………………………………………………………10 分 ? n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n

所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn

? ? 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? 1 ?? ? ? ?L ? ? ? ??? 2 ? n ?1 n ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3 5?2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2

?

1 1 ? . 3 ? 2n ? 3 ? 2 n 1 1 ? .………………………………………………………14 分 3 ? 2n ? 3 ? 2 n

故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? 20..(本小题 14 分)

(本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识,考查数形结合、化归与转化、方 程的思想方法,考查综合运用能力以及运算求解能力) 解:(1) 由已知 A?? a,0?, B?a,0? ,设 P?x0 , y 0 ??x0 ? ? a ? . 则直线 AP 的斜率 k AP ?
2 2

…………1 分

y0 y0 ,直线 BP 的斜率 k AP ? . x0 ? a x0 ? a

2 a 2 ? x0 x0 y0 2 ? 1,得 y 0 ? 由 2 ? 2 a2 a

?

2

?.
2

…………2 分

? k AP ? k AP
??

2 a 2 ? x0 y0 y y0 2 a2 ? ? 20 2 ? ?? 2 ? 2 2 x0 ? a x0 ? a x0 ? a a ? a ? x0

?

2

?

?

?

…………3 分

2 1 ? ? ,得 a 2 ? 4 , 2 2 a
2 . 2

? e2 ?

4?2 1 ? . …………5 分 4 2
…………6 分
·5·

?椭圆的离心率 e ?

(2) 由题意知直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k , 直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 1? …………8 分 则有 M ?0, k ? ,设 P?x0 , y 0 ??x0 ? ? a ? ,由于 P, M , Q 三点共线,且 MP ? 2 PQ 根据题意,得 ?x0 , y 0 ? k ? ? ?2?x0 ? 1, y 0 ? …………9 分

2 ? x0 ? ? ? ? x 0 ? ?2 ? 3 解得 ? 或? ? y 0 ? ?k ? y ? k 0 ? 3 ?
又点 P 在椭圆上,又由(1)知椭圆 C 的方程为
2

…………11 分

x2 y2 ? ?1 4 2
2

2 2 ? ? ? 2? ? k? ? 所以

4

2

? 2? ?k? ?? ? ? ? 3? 3 ? ? ? ? ? 1 …………② ? 1 …………①或 4 2

由①解得 k ? 0 ,即 k ? 0 ,?此时点 P 与椭圆左端点 A 重合, ? k ? 0 舍去;………12 分
2

由②解得 k ? 16 ,即 k ? ?4
2

?直线直线 l 的斜率 k ? ?4 .

………14 分

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想,分类讨 论思想,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力) 解(Ⅰ)解: f ( x) 的定义域为 ?? a,?? ?
'

f ' ( x) ? 1 ?
'

1 x ? a ?1 . …… 2 分 ? x?a x?a

由 f ( x) ? 0. 得 x ? 1 ? a ? ?a ,当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(?a,1 ? a)


1? a
0

(1 ? a,??)
+

f ( x)
↘ 极小 值 ……………… 3 分 因此, f ( x) 在 x ? 1 ? a 处取得最小值, 故由题意 f (1 ? a) ? 1 ? a ? 0, 所以 a ? 1. ……………… 5 分 ↗

(2)解:当 k ? 0 时,取 x ? 1,有 f ?1? ? 1 ? ln 2 ? 0. 故 k ? 0 不合题意. ……………… 6 分
·6·

当 k ? 0 时,令 g ?x ? ? f ?x ? ? kx , 即 g ?x ? ? x ? ln ?x ? 1? ? kx .
2 2

x ? x?2kx ? ?1 ? 2k ?? ? 2kx ? . 令 g ' ?x ? ? 0 , x ?1 x ?1 1 ? 2k 得 x1 ? 0, x 2 ? ……………… 7 分 ? ?1. 2k 1 1 ? 2k ①当 k ? 时, ? 0 . g ' ?x ? ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,因此, g ? x ? 在 ?0,??? 上单调递减.从而对于任意 2 2k g ' ?x ? ?
的的 x ? ?0,?? ? ,总有 g ?x ? ? g ?0? ? 0, 即 f ? x ? ? kx 在 ?0,??? 上恒成立.
2

故k ?

1 符合题意. 2

……………… 8 分

②当 0 ? k ?

1 1 ? 2k ? 1 ? 2k ? ' ? 1 ? 2k ? 时, ? 0, 对于 x ? ? 0, ?, g ?x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ? 内单调递增.因此当 2k ? 2k ? 2 2k ? ?

? 1 ? 2k ? 2 x0 ? ? 0, ? 时, g ?x0 ? ? g ?0? ? 0, 即 f ?x0 ? ? k x0 不成立. 2k ? ?
故0 ? k ?

1 不合题意. 2 1 . 2

……………… 9 分

综上, k 的最小值为

……………… 10 分

(3)证明:当 n ? 1时,不等式左边 ? 2 ? ln 3 ? 2 ? 右边.所以不等式成立. ……………… 11 分 当 n ? 2 时,

?
i ?1

n

n 2 ?? n 2 ? 2 ? n ? 2 ? f? ? ln ?1 ? ? ? ?ln ?2i ? 1? ? ln ?2i ? 1?? ? ? ?? ?? ? ? ? 2i ? 1 ? i ?1 ? 2i ? 1 ? 2i ? 1 ?? i ?1 2i ? 1 i ?1 n

??
i ?1

2 ? ln ?2n ? 1? 2i ? 1

,在(2)中取 k ?

x2 1 ?x ? 0?,从而 ,得 f ? x ? ? 2 2

2 2 ? 2 ? f? ? i ? N ?,i ? 2 , ?? 2 ?2i ? 3??2i ? 1? ? 2i ? 1 ? ?2i ? 1?
所以有

?

?

……………… 13 分

n n n 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ln 2 n ? 1 ? f ? f 2 ? f ? 2 ? ln 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2i ? 1 ? ? 2i ? 1 ? i ?1 2i ? 1 i ?1 i ?2 i ? 2 ?2i ? 3??2i ? 1? n n 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ln 3 ? ? ? ? ?2 ? ? 2 ? ln 3 ? 1 ? 2i ? 1 ? 2n ? 1 i ? 2 ? 2i ? 3

综上,

2 ? 2i ? 1 ? ln ?2n ? 1? ? 2?n ? N ?
n ? i ?1

……… 14 分

·7·


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