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天津市天津一中12-13学年高一上学期期末考试数学试题


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天津一中 2012—2013 学年第一学期期末高一数学试卷 一.选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 1.若 ? ? ? , ? , cos 2? ? ? ,则 sin ? =( 8 ?4 2? A.
3 5

?? ? ?

1

) C. 7
4

B. 3 4

D. 4
5

2.下列函数中,以

? 为最小正周期的偶函数是( 2



A. y ? sin 2 x ? cos2 x C. y ? cos( 4 x ?

B. y ? sin 2 x cos2 x D. y ? sin 2 2 x ? cos2 2 x )

?
2

)

3.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于( A.30° B.30°或 150° C.60°

D.60°或 120° )

4.已知 tan(? ? ? ) ?

13 A. 18

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值等于( 5 4 4 4 3 13 3 B. 22 C. 22 D. 18


5.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为( 2 2 1 A. B.- C. 3 3 4 6.函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? 则 ? 的值为( A. ) B.

D.-

?

1 4

3

? ? ), ? ? (0, ? ) 满足 f ( x ) ? f ( x) ,

? 6

? 3

C.

? 12

D.

2? 3


7.要得到函数 y ? 2sin(2 x ?

2? A.向左平秱 3 个单位 4? C.向左平秱 3 个单位

2? 2? ) 的图像, 需要将函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的图像( 3 3 2? B.向右平秱 3 个单位

4? D.向右平秱 3 个单位 2 A 8.在△ABC 中,已知 sin B ? sin C ? cos ,则三角形△ABC 的形状一定是( 2
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A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

9.已知函数 y ? Asin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 图所示,则正确的结论是( A. A ? 3, T ? 2? C. T ? 4 ?, ? ? ? )

? )的周期为 T ,在一个周期内的图象如 2
y 2
? 2? O 3

B. B ? ?1, ? ? 2

? 6

D. A ? 3, ? ?

? 6

4? 3

x

-4

10 . 若 函 数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x ? m 在 ? 0, ? 上 有 零 点 , 则 m 的 取 值 范 围 为 ? 2? ( ) B. ?1,3? C. ? ?1, 2 ? 2 ?

? ??

A. ? ?1, 2?

?

?

D. ?1, 2 ? 2 ?

?

?

二.填空题: (每小题 3 分,共 18 分) 11. 已知 sin ? ? cos ? ?

1 ? ? , 且 ? ? ? , 则 cos ? ? sin ? ? . 8 4 2 ____________

12.已知 sin(

?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是 . 6 3 3 ____________

13.函数 y ? sin( x ? 150 ) ? 2 cos( x ? 600 ) 的最大值 ____________.
2 2 ( 14.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的

值为 ____________. 15.在钝角△ABC 中,已知 a ? 1 , b ? 2 ,则最大边 c 的取值范围是 ____________. ____________.

16.已知 y ? sin x ? cos x ,给出以下四个命题,其中正确命题的序号为 ①若 x ??0, ? ? ,则 y ? ?1, 2 ? ;

?

?

②直线 x ? ③在区间 ?

?
4

是函数 y ? sin x ? cos x 图象的一条对称轴;

? ? 5? ? 上函数 y ? sin x ? cos x 是增函数; , ?4 4 ? ?

④函数 y ? sin x ? cos x 的图象可由 y ? 三.解答题: (共 52 分)
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2 cos x 的图象向右平秱

? 个单位而得到, 4

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17.(本题满分 10 分)已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? (1)化简 f

sin(? ?

? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 . tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) ) cos(

?

3?

?? ? ;
3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值. 2 5

(2)若 cos(? ?

18. 本题满分 10 分) ( 已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ? (1)求ω的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
6

) , 其中 ? ? 0 , ( x∈R) 的最小正周期为 10? .

?

5 6 5 16 ] , f (5? ? ? ) ? ? , f (5? ? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 3 5 6 17

19. (本题满分 10 分)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是三内角 A,B,C 所对的三边,已知

b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc .
(1)求角 A 的大小;

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(2)若 2 sin

2

B C ? 2 sin 2 ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 2 2

20.(本题满分 11 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,

C= .
3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b;

π

(2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

2 21. (本小题满分 11 分)已知函数 f ( x) ? cos x ? 3 sin x cos x ? 1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f (? ) ?

5 π 2π , ? ? ( , ) ,求 sin 2? 的值. 3 3 6

参考答案: 一.选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 1.B 2.D 3.D 4.B 5.D
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6.A

7.A

8.A

9.C

10.D

二.填空题: (每小题 3 分,共 18 分) 11. ? 12. ? 13.1

3 2
7 9

4 14. 3
15. 5 ? c ? 3 16.②④ 三.解答题: (共 52 分) 17.解: (1) f (? ) ?

? cos ? sin ? (? tan ? ) ? ? cos ? ………………4 分 ? tan ? sin ? 3? 1 1 ) ? ,得 sin ? ? ? 。………………6 分 2 5 5

(2)由 cos( ? ?

又已知 ? 为第三象限角,
2 所以 cos ? ? 0 ,所以 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ?

2 6 5

,………………8 分

所以 f (? ) = 18.解:

2 6 5

………………10 分

(1)∵ T ? 10? ?

2?

?

,? ?

1 1 ,而 ? ? 0 ,∴ ? ? ………………2 分 5 5

(2)由(1) f ( x) ? 2 cos( x ?

5 6 5 1 5 ? ? ? f (5? ? ? ) ? 2 cos[ (5? ? ? ) ? ] ? 2 cos(? ? ? ) ? ?2sin ? ,而 f (5? ? ? ) ? ? , 3 5 3 6 3 6 3 5

1 5

?
6

) ,所以

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6 3 ? 4 , sin ? ? ,…………4 分∵ ? ? [0, ] ,∴ cos ? ? …………5 分 5 5 2 5 5 16 5 1 5 ? ? ? f (5? ? ? ) ? 2 cos[ (5? ? ? ) ? ] ? 2 cos( ? ? ? ) ? 2 cos ? ,而 f (5? ? ? ) ? , 6 5 6 6 6 6 6 17 16 8 ∴ 2 cos ? ? , cos ? ? ,…………7 分 17 17 ? 15 ∵ ? ? [0, ] ,∴ sin ? ? …………8 分 2 17
∴ ?2sin ? ? ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ………………9 分

4 8 3 15 13 ? ? ? ? ? ? …………………10 分 5 17 5 17 85
19.解: (1) b ? c ? a ? bc ,所以 cos A ?
2 2 2

? b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? ,得到 A ? 3 2bc 2bc 2

…………(4 分) (2)∵ 2 sin
2

B C ? 2 sin 2 ? 1 2 2

∵ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1

∴ cos B ? cos C ? 1 ,…………6 分 即 cos B ? cos(

2? ? ? B) ? 1 ,得到 sin( B ? ) ? 1 ,…………8 分 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? ?0 ? B ? ? ? B? ? ?B ? ? ?B ? 3 6 6 6 6 2 3

? ?ABC 为等边三角形…………10 分
20.解: (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,…………2 分 又因为△ABC 的面积等于 1 3,所以 absinC= 2 3,得 ab=4. …………4 分

?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? 解得 a=2,b=2. …………5 分 ? ?ab=4,
(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即 sinBcosA=2sinAcosA,…………7 分 π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A= ,B= ,a= ,b= ,…………8 分 2 6 3 3

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? ?a2+b2-ab=4, 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,联立方程组? ?b=2a, ?
2 解得 a= 3 4 ,b= 3 3 .…………10 分

3

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= absinC= .…………11 分 2 3

21.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1
? 1 ? cos 2 x 3 ? 3 ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? . 2 2 3 2

…………3 分

由 2k? ? ? ? 2 x ?

?

3

? 2k? ,得 k? ?

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ? (Ⅱ)∵ f (? ) ?

2? ? , k? ? ] ( k ? Z ) .………… 6 分 3 6

2? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) . 3 6

5 ? 3 5 ? 2 ,∴ cos(2 x ? ) ? ? , cos(2? ? ) ? ? .…………7 分 3 3 6 3 2 6 ? 2? ? ? ? 5 ? 5? ? ∵ ? ? ? , ? ,∴ 2? ? ? (? , ) , sin( 2? ? ) ? ? 1 ? cos2 ( 2? ? ) ? ? . 3 3 3 3 3 ?3 3 ?
…………9 分 ∴ sin 2? ? sin(2? ?

?
3

?

?
3

)?

2 3? 5 1 ? 3 ? sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) ? …11 分 2 3 2 3 6

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