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江苏省无锡市梅村高中2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷


江苏省无锡市梅村高中 2014-2015 学年高一上学期第一次段考数 学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.满足条件{1,2}?M?{1,2,3,4}的集合 M 共有个. 2.已知 M=[0,1],N=[0,1],则如图能表示 M 到 N 的映射的

有. 3.期 2015 届中考试,某班数学优秀率为 70%,语文优秀率为 75%,上述两门学科都优秀 的百分率至少为. 4.已知偶函数 f(x)在 y 轴右边的图象如图所示,则函数 f(x)的单调减区间为.

5. 已知集合 U={x|x 是小于 18 的正质数}, A∩ (?UB) ={3, 5}, B∩ (?UA) ={7, 11}, (?UA) ∩(?UB)={2,17},则 A=. 6.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},若集合 P={0,1, 2},Q={1,2,3},则集合 P+Q 中所有元素之和为. 7.若集合 ,N={y|y=﹣2x +3x},则 M∪N=.
2

8.已知

,则 f{f[f(﹣1)]}的值为.

9.已知函数

是奇函数,则常数 a=.

10.已知函数 y=f(x)的定义域是(﹣∞,1]∪[3,+∞) ,则函数 域是.

的定义

11.若 x+x =7,则

﹣1

=.

12.定义在(﹣1,1)上的奇函数 y=f(x)是减函数,若 f(1﹣a)+f(1﹣2a)≥0,则实数 a 的取值集合是. 13.若函数 f(x)= 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是.

14.已知函数 f(x)=

在定义域上单调增,则实数 a∈.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.已知集合 ,B={x|﹣x +7x ﹣12x>0},C={x|1﹣k<x≤1+k},
3 2

(1)求 A∩B; (2)若 A∪C=A,求实数 k 的取值范围. 16.已知函数 f(x)=4x ﹣4ax+a ﹣2a+2 在区间[0,2]上有最小值 3,求实数 a 的值. 17.求下列函数的值域: (1)f(x)=x﹣2+ (2)f(x)= . ,x∈[﹣ , ) ;
2 2

18. (16 分) (1)已知函数 f(x ﹣3)=x ﹣6x +1,求 f(x)的解析式,并求定义域; (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1﹣x)+1,求 x∈R 时,f(x)的解析式. 19. (16 分)已知函数 f(x)= > , (1)求 a,b,c 的值; (2)判断 f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并证明; 是 R 上的奇函数(a,b,c∈Z) , ,f(2)

2

4

2

(3)判断 f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的单调性(不需要证明) ,并写出函数 f (x)在 R 上的最值; (4)利用单调性和奇偶性作出函数 f(x)的草图.

20. (16 分)已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},对定义域内的任意 x1,x2,都有 f (x1?x2)=f(x1)+f(x2) ,且当 x>1 时,f(x)>0, (1)求 f(﹣1)的值; (2)求证:f(x)是偶函数; (3)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (4)当 f(16)=2 时,解不等式 f(x)+f(6x﹣5)<1.

江苏省无锡市梅村高中 2014-2015 学年高一上学期第一 次段考数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.满足条件{1,2}?M?{1,2,3,4}的集合 M 共有 4 个. 考点: 集合的包含关系判断及应用;子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 由题意知集合 M 中的元素必有 1,2,另外可从 3,4 中取,分类讨论计算满足条 件的集合数目,最后将其相加即可得答案. 解答: 解:由题意知集合 M 中的元素 1,2 必取,另外可从 3, 4 中取, 可以不取,即取 0 个,取 1 个,取 2 个, 0 1 2 故有 C2 +C2 +C2 =4 个满足这个关系式的集合; 故答案为:4. 点评: 本题考查集合的包含关系判断及应用、集合的基本运算,属于基础题.

2.已知 M=[0,1],N=[0,1],则如图能表示 M 到 N 的映射的有

②④. 考点: 映射. 专题: 常规题型;函数的性质及应用. 分析: 紧扣映射的概念,依次判断即可. 解答: 解:①不是,y 有负值,N=[0,1]; ②是; ③不是,一个 x 可能对应两个 y; ④是. 故答案为:②④. 点评: 本题考查了映射的概念,属于基础题. 3.期 2015 届中考试,某班数学优秀率为 70%,语文优秀率为 75%,上述两门学科都优秀 的百分率至少为 45%. 考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 假定该学校有 100 人,则数学优秀的人数为 70,语文优秀的人数为 75.若数学不 优秀的 30 人,恰好在语文优秀的 75 人当中, 则这两门学科都优秀的人数最少, 即两门学科都优秀的百分率最小, 由此可得答案. 解答: 解:假定该学校有 100 人,则根据学校要求的质量,数学优秀的人数为 70,语文 优秀的人数为 75. 若数学不优秀的 30 人,恰好在语文优秀的 75 人当中,则这两门学科都优秀的人数为 75﹣ 30=45, 则两科都优秀的比例达到最小为 45%, 故答案为 45%. 点评: 本题以集合的交集、并集运算为载体,考查了进行简单的合情推理的知识点,属于 基础题. 4.已知偶函数 f(x)在 y 轴右边的图象如图所示,则函数 f(x)的单调减区间为[﹣2,﹣1) 和(2,5].

考点: 函数的图象.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数偶函数,其图象关于 y 轴对称,得到函数的单调减区间 解答: 解:由函数 f(x)在 y 轴右边的图象可知,则函数 f(x)的单调减区间为(2,5], 因为函数 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,故在 y 轴左边的单调减区间为[﹣2,﹣1) , 故函数 f(x)的单调减区间为为[﹣2,﹣1)和(2,5] 故答案为:[﹣2,﹣1)和(2,5] 点评: 本题考查了函数的图象的识别和偶函数的性质,属于基础题 5. 已知集合 U={x|x 是小于 18 的正质数}, A∩ (?UB) ={3, 5}, B∩ (?UA) ={7, 11}, (?UA) ∩(?UB)={2,17},则 A={3,5,13}. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:U={x|x 是小于 18 的正质数}={2,3,5,7,11,13,17}, 根据集合关系作出对应的文氏图, 则由文氏图可得 A={3,5,13},

故答案为:{3,5,13} 点评: 本题主要考查集合的基本运算,根据集合关系结合文氏图是解决本题的关键. 6.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},若集合 P={0,1, 2},Q={1,2,3},则集合 P+Q 中所有元素之和为 15. 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 由题意可将集合 p 和 Q 中元素相加,根据元素的互异性合并重复元素从而得到集 合 P+Q,求解即可. 解答: 解:∵P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},且 P={0,1,2},Q={1,2,3}, 将集合 P 与集合 Q 中元素相加,根据元素的互异性合并重复元素故 P+Q={1,2,3,4,5}, 则集合 P+Q 中所有元素之和为 15, 故答案为:15. 点评: 本题考查了元素与集合的关系及元素的特征,属于基础题.
2

7.若集合

, N={y|y=﹣2x +3x},则 M∪N={x|x

,或 x≥2}.

考点: 并集及其运算. 专题: 集合.

分析: 利用并集的性质和函数的定义域和值域求解. 解答: 解:∵集合
2 2

={x|x ﹣3x+2≥0}={x|x≥2 或 x≤1}, },

2

N={y|y=﹣2x +3x}={y=﹣2(x﹣ ) + }={y|y ∴M∪N={x|x 故答案为:{x|x ,或 x≥2}. ,或 x≥2}.

点评: 本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集的性质和函数的定 义域和值域的合理运用.

8.已知

,则 f{f[f(﹣1)]}的值为 π+1.

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 先计算 f(﹣1)的值,然后求解 f[f(﹣1)],将其代入,由此可得到 f{f[f(﹣1)]} 值.

解答: 解:因为

,所以 f(﹣1)=0,

f[f(﹣1)]=f(0)=π, f{f[f(﹣1)]}=f(π)=π+1. 故答案为:π+1. 点评: 本题考查的分段函数的函数值,注意正确计算即可. 9.已知函数 是奇函数,则常数 a= .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由已知中函数 是奇函数,我们根据定义域为 R 的奇函数图象必

要原点,构造出一个关于 a 的方程,解方程即可求出常数 a 的值. 解答: 解:若函数 由于函数的定义域为 R 则 =0 是奇函数

即 a+ =0 解得 a=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,其中根据定义域为 R 的奇函数图象必要 原点,构造出一个关于 a 的方程,是解答本题的关键. 10.已知函数 y=f(x)的定义域是(﹣∞,1]∪[3,+∞) ,则函数 域是(﹣ ] ∪[ ) . 的定义

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 t=x﹣ ,即有 t≤1 或 t≥3,即 x﹣ 或 x﹣ ,解出即可得到定义域.

解答: 解:函数 y=f(x)的定义域是(﹣∞,1]∪[3,+∞) , 则令 t=x﹣ ,即有 t≤1 或 t≥3, 即 x﹣ 解得,x 或 x﹣ 或x , ]∪[ ]∪[ ) . ) . ,

则定义域为(﹣ 故答案为: (﹣

点评: 本题考查抽象函数的定义域的求法,注意运用换元法,属于基础题.

11.若 x+x =7,则

﹣1

=18.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于 = 解答: 解:∵ ∴ =3. =x+x +2=9,可得 (x+x ﹣1)即可. =x+x +2=9,
﹣1 ﹣1 ﹣1

=3.再利用立方差公式展开



=

(x+x ﹣1)

﹣1

=3×(7﹣1) =18. 故答案为:18. 点评: 本题考查了乘法公式的应用,属于基础题. 12.定义在(﹣1,1)上的奇函数 y=f(x)是减函数,若 f(1﹣a)+f(1﹣2a)≥0,则实数 a 的取值集合是[ ,1) .

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可. 解答: 解:∵定义在(﹣1,1)上的奇函数 y=f(x)是减函数, ∴不等式 f(1﹣a)+f(1﹣2a)≥0 等价为 f(1﹣a)≥﹣f(1﹣2a)=f(2a﹣1) ,









则 ≤a<1, 故答案为:[ ,1) 点评: 本题主要考查不等式的求解, 根据函数奇偶数和单调性之间的关系是解决本题的关 键. 13.若函数 f(x)= 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是(0,2].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 题意可得,m≠0 时,故 解答: 解:由条件知:m≠0 由于关于 x 的不等式 mx ﹣mx+ ≥0 恒成立,
2

,由此求得 m 的范围.





求得 0<m≤2, 故答案为: (0,2]. 点评: 本题主要考查二次函数的性质,函数的恒成立问题,属于基础题.

14. 已知函数 f (x) =

在定义域上单调增, 则实数 a∈[4, 4.5].

考点: 专题: 分析: 解答:

分段函数的应用. 计算题;函数的性质及应用. 由题意可得,对称轴﹣a≤﹣4,一次项系数 7﹣a>0,从而求解. 解:由题意可得,



解得,4≤a≤4.5. 故答案为:[4,4.5]. 点评: 本题考查了分段函数单调性的应用,属于中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.已知集合 ,B={x|﹣x +7x ﹣12x>0},C={x|1﹣k<x≤1+k},
3 2

(1)求 A∩B; (2)若 A∪C=A,求实数 k 的取值范围. 考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)分别求出 A 与 B 中不等式的解集,确定出 A 与 B,求出 A 与 B 的交集即可; (2)根据 A 与 C 并集为 A,得到 C 为 A 的子集,确定出 k 的范围即可. 解答: 解: (1)由 A 中不等式变形得: ≤0,

解得:﹣1≤x<7,即 A=[﹣1,7) , 2 由 B 中不等式变形得:x(x ﹣7x+12)<0,即 x(x﹣3) (x﹣4)<0, 解得:x<0 或 3<x<4,即 B=(﹣∞,0)∪(3,4) , 则 A∩B=[﹣1,0)∪(3,4) ; (2)∵A∪C=A,A=[﹣1,7) ,C=(1﹣k,1+k], ∴C?A,即 ,

解得:k≤2. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 16.已知函数 f(x)=4x ﹣4ax+a ﹣2a+2 在区间[0,2]上有最小值 3,求实数 a 的值. 考点: 函数单调性的性质;函数的值域. 专题: 计算题;分类讨论;运动思想. 分析: 函数 f(x)=4x ﹣4ax+a ﹣2a+2 在区间[0,2]上有最小值 3,对函数进行配方,对 对称轴是否在区间内进行讨论,从而可知函数在何处取得最小值,解出相应的 a 的值. 解答: 解:函数 f(x)的对称轴为 ①当 a≤0∴ ②当 0< <2 即 0<a<4 时 ∵0<a<4 故 ③当 ∴ 不合题意
2 2 2 2 2

即 a≤0 时 fmin(x)=f(0)=a ﹣2a+2=3 解得 a=1±

2

解得

即 a≥4 时 fmin(x)=f(2)=a ﹣10a+18=3 解得 a≥4∴

综上: 或 点评: 考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题, 体现了分类讨 论和运动变化的思想方法,属难题. 17.求下列函数的值域: (1)f(x)=x﹣2+ (2)f(x)= . ,x∈[﹣ , ) ;

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令 t= ,利用换元法可将函数解析式化为 y═ (t﹣1) ﹣1,根据
2

二次函数的图象和性质可得函数的值域; (2)由 y= 得 = ≥0,根据 ,∵x∈[﹣ 的有界性转化为解不等式,从而求解 y 的范围. , ) ,∴ < ≤ ,∴ <t≤ ;

解答: 解: (1)令 t= 则 x= (1﹣t )
2

由函数可化为 y═ (1﹣t )+t﹣2=

2

(t﹣1) ﹣1,

2

当 t=1 时,函数取最大值﹣1.无最大值,把 t= 代入得 故函数 f(x)的值域是( (2)由 y= 得 = ,﹣1] ≥0,



∴y≤﹣1 或 y>1, ∴故函数 f(x)的值域是(﹣∞,﹣1]∪(1,+∞) . 点评: 本题考查的知识点是函数的值域: 其中利用换元法, 将问题转化为求二次函数的值 域问题是解答的关键;同时,利用代数式的有界性求解范围也是常用方法. 18. (16 分) (1)已知函数 f(x ﹣3)=x ﹣6x +1,求 f(x)的解析式,并求定义域; (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1﹣x)+1,求 x∈R 时,f(x)的解析式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令 x ﹣3=t,则:x =t+3, (t≥﹣3) ,从而 f(t)=(t+3) ﹣6(t+3)+1=t ﹣8, 整理替换即可. (2)先利用奇函数的图象关于原点对称,利用奇函数的定义求出函数 f(x)的解析式. 解答: 解: (1)令 x ﹣3=t,则:x =t+3, (t≥﹣3) , 2 2 ∴f(t)=(t+3) ﹣6(t+3)+1=t ﹣8, 2 ∴f(x)=x ﹣8(x≥﹣3) . (2)解:由题意,当 x=0 时,f(x)=0 ∵当 x>0 时,f(x)=x(1﹣x)+1, ∴当 x<0 时,﹣x>0,f(﹣x)=﹣x(1+x)+1, 又∵函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴x<0 时,f(x)=﹣f(﹣x)=x(1+x)﹣1
2 2 2 2 2 2 2 4 2

综上所述,f(x)=

, .

点评: 本题考查了求函数的解析式问题, 换元法是常用的方法之一, 同时考查了奇偶性的 应用.若已知一个函数为奇函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x)成立. 19. (16 分)已知函数 f(x)= > , (1)求 a,b,c 的值; (2)判断 f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并证明; (3)判断 f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的单调性(不需要证明) ,并写出函数 f (x)在 R 上的最值; 是 R 上的奇函数(a,b,c∈Z) , ,f(2)

(4)利用单调性和奇偶性作出函数 f(x)的草图.

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数图象的作法;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件建立条件关系即可,求 a,b,c 的值; (2)根据函数单调性的定义即可证明 f(x)在(﹣1,1)上的单调性; (3)结合函数单调性和奇偶性的关系即可判断 f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的单 调性; (4)利用单调性和奇偶性即可作出函数 f(x)的草图. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ∴f(0)=0,即 f(0)=c=0, 则 f(x)= ∵ , ,f(2)> , 是 R 上的奇函数,



=

,f(2)=

> ,

则 a+4=5b 且 6b>4a+1, 即 6b>4(5b﹣4)+1, 则 14b<15,即 b ,

∵a,b,c∈Z, ∴b=0 或 b=1, 当 b=0 时,a=﹣4 不成立, 当 b=1 时,a=1 成立,即 a=1,b=1,c=0; (2)由(1)知 a=1,b=1,c=0,则 f(x)= 则 f(x)为奇函数, 当 x∈[0,1)时,设 0≤x1<x2<1, 则 f(x1)﹣f(x2)= = , ,

∵0≤x1<x2<1, ∴x2﹣x1<0,x1x2﹣1<0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0,则 f(x1)>f(x2) , 即 f(x)在[0,1)上为增函数, ∴f(x)在(﹣1,1)上的单调递增; (3)f(x)在(﹣∞,﹣1)单调递减, (1,+∞)上的单调递减, 则函数 f(x)在 R 上的最大值为 f(1)= ,最小值为 f(﹣1)=﹣ ; (4)利用单调性和奇偶性作出函数 f(x)的草图如图:

点评: 本题主要考查函数解析式的求解, 利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关 键.综合考查函数的性质. 20. (16 分)已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},对定义域内的任意 x1,x2,都有 f (x1?x2)=f(x1)+f(x2) ,且当 x>1 时,f(x)>0, (1)求 f(﹣1)的值; (2)求证:f(x)是偶函数; (3)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (4)当 f(16)=2 时,解不等式 f(x)+f(6x﹣5)<1. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令 x1=x2=1,即有 f(1)=0,令 x1=x2=﹣1,即有 f(﹣1)=0; (2)先判断定义域是否关于原点对称,再令 x1=x,x2=﹣1,代入条件即可得证; (3)令 0<x1<x2,再由条件和单调性定义,即可得证; (4)由 f(16)=2,得 f(4)=1,再由(2) (3)的结论,即可得到不等式,解出即可. 解答: (1)解:对定义域内任意 x1,x2 都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2) , 令 x1=x2=1,则 f(1)=2f(1) ,即有 f(1)=0, 令 x1=x2=﹣1,则 f(1)=2f(﹣1) ,即有 f(﹣1)=0; (2)证明:函数 f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R}, 令 x1=x,x2=﹣1,则 f(﹣x)=f(x)+f(﹣1)=f(x) , 则 f(x)是偶函数; (3)证明:令 0<x1<x2,则 >1,

由 x>1,f(x)>0,得 f(

)>0,

则有 f(x2)=f(x1?

)=f(x1)+f(

)>f(x1) ,

则 f(x)在(0,+∞)是增函数; (4)解:由 f(16)=1,得 f(16)=2f(4)=2, ∴f(4)=1 则 f(x)+f(6x﹣5)<1. 即为:f(6x ﹣5x)<f(4) , ∵f(x)在(0,+∞)是增函数; ∴ 即 6x ﹣5x<4,即(2x+1) (3x﹣4)<0 解得 <x<0,或 <x< ,
2 2

∵f(x)是偶函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)是减函数; ∴f(6x ﹣5x)<f(4)=f(﹣4) , ∴ ,
2

解得 0<x< , 故原不等式的解集为( ,0)∪(0, )∪( , ) .

点评: 本题考查了函数的性质,函数的奇偶性,函数单调性,不等式的解法,考查了运算 能力,属于中档题


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