伤城文章网 > 数学 > 数学高考复习教学的新视角--基于安徽省2013年创新立意形成的最后两道题的研究

数学高考复习教学的新视角--基于安徽省2013年创新立意形成的最后两道题的研究


50 ???? ??????

中学数学教学

2 0 1 4 年第 1 期

复 习 与考试

数学高考复习教学的新视角
— — — 基于安徽省 20 1 3 年创新立意形成的最后两道题的研究
淮北师范大学数学科学学院 张 昆 陕西师范大学数学与信息学院 罗增儒 ( 邮编 : 2 3 5 000 ) ( 邮编 : 7 1 00 6 1 )

?????

?????

偏重于利用数学这种优质 的 教 育 资 源 , 实现受教 育者的创新 能 力 培 养 ; 另 一 方 面, 不管是有意还 是无意之中 , 或 者 不 管 我 们 承 认 还 是 不 承 认, 从 某种程度上说 , 高考也具 有 了 数 学 教 育 教 学 目 标 的成分 , 部 分 地 发 挥 教 学 的 指 挥 棒 的 作 用. 我们 认为 , 高考的命题应该有 意 识 地 纳 入 新 课 程 数 学 教育教学的评价目标之中 , 而不能游离于数学新 课程体系结 构 之 外 , 如 此, 才能引领课程的实施 的方向 . 在 近 几 年 的 高 考 命 题 中, 出现一批需要 教师培养学生创新品格才 能 解 决 的 高 考 题 , 它有 力地体现了新数学课程培 养 目 标 的 要 求 , 为促进 教师研究如何培养学生创新能力提供了介质 . 高考创新立意对教学的影响 1 创新命题 的 实 践 对 教 学 的 影 响 体 现 在 以 下 几个方面 : 其一 , 必须借助 于 自 己 的 教 学 , 提升学 生的一般数学素养 , 一 般 的 数 学 能 力. 因 为, 命题 正如 2 6 个英文字母可以 组 织 成 数 量 巨 大 的 英 文 词汇一样 . 其 二, 重视学生对基本概念与基本知 识的深刻理解 . 其三 , 在 教 学 中, 一定要重视学生 数学知识的 生 成 性 与 学 生 知 识 的 自 我 发 现 的 能 力的培养 .

一方 面 , 在 数 学 新 课 程 理 念 的 实 施 过 程 中,

发活动通知信息的概率 ; 数m.

( Ⅱ )求 使 P ( X = m )取 得 最 大 值 时 的 正 分析 , “ 对于问题 ( 记事件 A : 学生甲收 Ⅰ)

; “ 到李老师 所 发 信 息 ” 事件 B : 学生甲收到张老 , 师所发信息 ” 事件 A 与事件 B 是相互独立事件 , 所以 A 与 B 也是相互独立事件 . 由于从 n 位学生 k ; 中有 k 位学生接收到信息的基本事件为 C n 而当
-

学 生甲接收到信息时 , 在 n - 1 位学生中还有 k k -1 此时的事件数为 C n 从 1 位一定会接收到信息 , -1 .
k -1 Cn -1 而发生 A 、 B 事件的概率为 P ( A) B) =P ( = k Cn

=

k k , 知P( 与此相对立的 A) B) =P ( =1 - . n n 是: 学生甲既收不到张老 师 又 收 不 到 李 老 师 所 发

者组织材料随 机 性 是 非 常 大 的 , 没 有 规 律 可 循,

k ?2 ? 的活动 通 知 的 概 率 为 ? 1 - ÷ , 于是学生甲收 è n ?
到李老师或 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 的 概 率 为

例1 ( 2 0 1 3 年全国高考安徽卷 · 理 2 1 )某 高校数学系 计 划 在 周 六 与 周 日 各 举 行 一 次 主 题 不同的心理测试活动 , 分别由李老师与张老师负 责, 已知该系共有 n 位学生 , 每次活动均需该系 k

我们看安徽省 2 0 1 3 年高考试题的两个例子 :

, 对于问题 ( Ⅱ) P( X =m )是指当变量 X 取 我们知道 , 就极端化而言 , m 时的概率 . P max ( X = ) , , ; ( 此时 假设 m =1 k =n =m 0 < P max X =m ) 则必有 k < n , 正整数 m 满足 k ≤ m ≤ 2 k 且 < 1, 记 p 是 2 k 与n 的较小的正数 , 知 k ≤m ≤ m ≤n ;

k ? 2 2 kn - k 2 ? 1 - ?1 - ÷ = è n ? n2



p.

由于李老 师 与 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 是 随机地从 n 个人中选择 k 个人 , 故他们两者个人
k , 的基本 事 件 数 都 是 C n 由于他们两者个人发生 “ 的事件又是互 相 独 立 的 , 他们两者随机地发活

位学生参加 ( 假设李 n 和 k 都 是 固 定 的 正 整 数) . 老师和张老师分别将各 自 活 动 通 知 的 信 息 独 立 、 随机地 发 给 该 系 k 学 生 , 且 所 发 信 息 都 能 收 到, 记该系收到 李 老 师 或 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 的学生数为 X . ( Ⅰ )求该系学 生 甲 收 到 李 老 师 或 张 老 师 所

动通知信息给 k 位同学 ”所包含的基本事件总是
k 2 ). 为( Cn

又 因为 , 当随机变量 X =m 时 , 依题意知 , 同 时收到李老 师 与 张 老 师 所 发 通 知 信 息 的 学 生 人

2 0 1 4 年第 1 期

中学数学教学

51

数为 2 k -m , 仅收到李老师或仅收到张老师所发 通 知信息的学生的人数为 m -k . 事件 { 的 X =m } ( 发生由三步构成 : 1 )首 先 由 李 老 师 从 n 位 学 生 在李老师的 k 位学生中 , 又有张老师所发通知的
k ; ( 中选择出 k 位学生发通知 , 知其事件数为 C n 2)

知 其 事 件 数 为 C k2 k -m , 由 Cm 2k - m 位 学 生 , n = n -m 2 k -m m -k ( 知 Ck Cn , 3 )张老师在李老师所发 =C k ; 通知信息的学生后所剩下的 n - k 位学生中再行 故由乘法计数原理知 , 事件 { X =m }所含的基本 k m -k m -k 事件为 C n C k C n -k . 此时 ,
k m -k m -k m -k m -k Cn Ck Cn Ck Cn -k -k P( X =m ) = = k 2 k ( ) Cn Cn m -k 发通知信息给m - k 位同学 , 知其事件数为 C n -k .

首 先证明不等式 ⑤ , 由于 1 ≤ k < n , 此时 2 k 2 2 2 ( ( k + 1) k + 1 ) kn - k - 1 - k =k = ≥ n +2 n +2 n +2 2 k( k + 1) -k - 1 k - 1 = ≥ 0; n +2 n +2 其次 , 证明不等式 ⑥ , 2k -

本题作为安徽省的 2 0 1 3 年 数 学 高 考 理 科 的 压轴题 , 我 们 认 为 命 题 的 创 新 并 不 大, 是以概率 知识为其载 体 , 而 在 这 一 载 体 中, 概率知识只是 一种表象 , 其中它的内涵 的 实 质 在 于 构 建 组 合 数 的函数 , 利用函数取 极 值 时 , 确 定 自 变 量 的 值. 在 要求学生对 问 题 中 的 基 本 数 量 关 系 加 以 悉 心 地 就用 ② 的最大值也是可 以 解 决 问 题 的 , 但 是, 稍 微繁杂了一些 , 从而转化为不等式 P ( X =m )≤ 理想 , 据 我 们 跟 考 生 与 授 课 教 师 的 访 谈, 得知有 如下几点原因 : 其一 , 教 师 在 带 领 学 生 复 习 时, 没有想到用

2 2 ( ( k + 1) n -k + 1) - n =< 0. n +2 n +2 由式 ④ 、 知不等式 ③ 成立 . ⑤、 ⑥ 成立 ,



′( k) = f

m -k m -k ,故 对 ② 稍 加 变 形 , 不 难 知 C k 1) Cn ≤ -k m +1-k m +1-k , 即 Ck C n -k
2 ( ( , 知 m -k + 1) n -m ) 2k - m ) ≤( 2 ( k + 1) m ≤ 2k . n +2

2n - 2 k 2 ( n -k ) 知f ( 是增函 k) = > 0, 2 n n2 数, 故当 k ≤ m < p 时 , P( X =m ) X =m + ≤P (

2 kn - k 2 , 由 ① 知, 记f ( 知 k) X =k ) =P ( = n2

解答问题时 , 有两 个 关 键 环 节 需 要 处 理 好 . 首 先, 分析与提取 , 在分类上需 要 一 定 的 基 本 功 ; 其 次,

P( X =m + 1 ) . 从考试的结果上来看 , 这道题学生的得分不

由上式 , 知 m 的最大值为 2 k -

2 由于 m 为整数 , 故当 n + 2 整除 ( 时, k +1) 2 ( k + 1) ; 当n +2 n +2

概率知识点压轴 , 更没有 想 到 它 的 载 体 是 组 合 数 “ 事件 { X =m }所 含 的 基 本 事 件 ”的 析 出 产 生 疑 难, 许多学生没有得到概率的表达式 ② ; 其三 , 还 有部分同学虽然得到了表达式 ② , 但是在处理此 式时 , 没有找到合适的途径 , 致使思路受阻 . 例2 数fn( x) =-1 +x + ( 设函 2 0 1 3 年全国高考安徽卷·理 2 0 ) 所构建的函数 ; 其二 , 在具 体 分 析 问 题 时 , 考生对

2 不能整 除 ( 时, k + 1) m 的 最 大 值 为 2k + 1 2 2 ( ( k + 1 )ù k + 1) é é ù ê ú ê ú 是 指 不 超 过 ( 其 中 ê ê ? n +2 ú ? ? n +2 ú ? 2 ( k + 1) 的最大整数 ) . n +2 下面验 证 , 只要证明对 m 最 大 值 的 合 理 性. 2 ( k + 1) k ≤ 2k <p n +2

于任意的 k 都小于不大于 m , 即证明

2 ( k + 1) ( 1 ) k ≤ 2k n +2

由于 p 是 2 k 与 n 中较小的整数 , 很显然 , 2 ( k + 1) 2k ④ < 2k n +2 于是对于 ③ 而言 , 只要证明 : ( k + 1) <n n +2
2



, 证明 : n ∈ N* ) ( Ⅰ )对 每 个 n ∈ N * ,存 在 唯 一 的 x n ∈ é2 ù ê 满足 f n ( 1ú x) =0; ê , ú, ?3 ? ( 对任意的 p ∈ N * , 由( 中 x n 构成的 Ⅱ) Ⅰ) 1 . n , 对于问题 ( 由题意 , 我们的任务 Ⅰ)

x2 x3 xn … ( x ∈ R, + + + 22 32 n2

⑤ ⑥

数列 { x n }满足 0 < x n - x n +p < 分析

( 2 ) 2k -

é2 ù , 只是要证明函数 f n ( 上存在唯 x )在区间 ê 1ú ê ú ?3 ?

52 一零点 , 存在性的证明需要验证 f n 2 é ù ê , 是单调函数就行了 . 1ú ê ú ?3 ?

中学数学教学 2 ? ? ? ÷·f n ( 1) è3 ?

2 0 1 4 年第 1 期

唯一性证明只要验证 f n ( x )在区间 < 0 就行了 ;

xn) =-1 +x n + fn(

xn 2 xn 3 x n … + n2 2 + 2 + 2 3 n x n +p + 22
2

由 f 1( 当 n ≥ 2 时, 1) 1) =0 , = fn( 1 2 ?2 ? , ? ÷ =- 1 + + 2 > 0 fn ∑ è3 ? 3 n k =2
n
2

1 1 + + 22 32
k 2 ? ? ? ÷ è3 ? ≤ k2

x n +p ) =- 1 + x n +p fn(
…+
n +p

…+ -

x n +p n xk + ∑ 2 2 n k =n +1 k 由 ⑥ - ⑦ 并移项 、 化简 , 知
n +p k =n +1

x n +p + 32

3

⑥ + ⑦

x n - x n +p =
≤ ≤ <

2 ? ? ? ÷ è3 ?

1 1 + 3 4

又由 f ′n (x ) = 1 +

n -1 2 ? é ? ù ? ÷ ê ú 1 ê ú ? è3 ? ? 1 ? 2 ? n -1 =- · ? ÷ < 0. è3 ? 2 3 13

∑è 3 ?
k =2

n

2 ? ? ? ÷

k

=-

1 1 + · 3 4

k =n +1

∑ ∑ ∑
n +p n +p

xk k2



n +p

x n +p

k

k2

-x n

k

+

k =n +1



n +p

xk k2

k =n +1

1 ( 由 1 > x n > x n +p > 0 ) k2 1 1 1 1 = < , ( ) k k -1 n n +p n 1 n

′n (x ) > 0 f

é2 ù 由于 x ∈ ê 知 1ú ê , ú, ?3 ?

x x2 x n -1 , + +…+ 2 3 n


k =n +1

é2 ù 且函数 f n ( 在区间 ê 所 x) 1ú ê , ú 上单调递增 . ?3 ? é2 ù , , 对于问题 ( 由( 知xn ∈ ê Ⅱ) Ⅰ) 1ú ê , ú. ?3 ? 要 证明数列数列 { 满足 0 < x n - x n +p < xn} é2 ù 满足 f n ( 1ú x) ∈ ê =0. ê , ú, ?3 ?

1 成立 . n 本题作为安徽省 2 0 1 3 年 高 考 理 科 数 学 的 倒 数第二题 , 这 道 题 引 入 函 数 的 幂 级 数 为 背 景, 此 由 ⑤、 知 0 < x n - x n +p < ⑧,

即 x n - x n +p <



以存在唯一的 x n

背景对于 第 ( 学 生 并 没 有 产 生 多 大 困 难, Ⅰ )问 , 因为 n 不改变 , 它只是代表一种普通函数 , 因此 , 此时只是考察这一普通函数的零点问题 . 这就造成了学生答卷的较大的几点困难 : x 与n , 其一 , 在此背景下 x n 、 x n +p 的所指是什么 ? 知 道 此 以 后 , 才 能 建 立 不 等 式 f n +p ( x n )> , 进而明确 f n ( 其 xn) x )是关于 n 的增函数 ; fn( 次, 依 据 函 数 值 f n +p ( 获得了不等式 x n )中 介 , 对于 x n - x n +p 所 得 到 的 表 达 式 的 一 系 列 放 ④; 大的计算要求很高 . 这种利用高等数学知识为背 景的高考命 题 是 绝 大 多 数 数 学 教 师 在 高 考 复 习 教学中难以预料的 . 2 创新命题立意对高三教师解题复习教学 的要求 通过对数 学 命 题 创 新 立 意 的 这 两 个 高 考 真 题的例子的分析 , 我们发 现 , 在 高 考 解 题 教 学 时, 教师如果想从过去的高考 题 的 蛛 丝 马 迹 中 , 归纳 高考题型以应对未来的高 考 , 以此方式达到预期 效果的可能 性 非 常 小 , 故 而, 这种使学生适应题 型的教学从很大程度上说 , 是不可能驾驭高考区 对于第 ( 事 实 上, 它已经是二元变量 Ⅱ )问 ,

1 , 我们必须要讨论 x n 、 x n +p 究竟是指什么 ? n 指的是 f n ( xn) x n +p ) =0, =0, f n +p (

xn) xn) =f n ( +∑ f n +p (

xk ( ) , x) fn( 2 >fn x n k =n +1 k 随其下标的增大而增大 , 即fn( 是关于 n 的增 x)
函数 , 由 ① 知, x )又是关于 x 的增函数 , fn( 知 fn( x n )< f n +p ( xn) ③ 由 ②, 知 f n +p ( ③, x n +p )< f n +p ( xn) 知 0 < x n +p < x n , 即 0 < x n - x n +p 下面希望证明 x n - x n +p < 对任意的 p ∈ N , 由于
*

知 fn( xn) x n +p ) ② = f n +p ( 除此 以 外 ,它 们 之 间 有 什 么 关 系 ? 由 于
n +p

④ ⑤

1 . n

2 0 1 4 年第 1 期

中学数学教学

53

分度要求比 较 高 的 高 考 试 题 的 . 因 此, 教师在数 学解题教学设计时 , 必须 要 处 理 好 问 题 逻 辑 通 路 的关键环节 , 在这种关节 点 上 将 知 识 发 生 的 逻 辑 过程转 化 为 学 生 发 生 数 学 知 识 的 心 理 过 程 , 以 此, 通过长时间的教学熏 染 提 高 学 生 的 分 析 问 题 与解决问题 的 能 力 , 从 而 以 不 变 应 万 变, 从容镇 定地驾驭数学高考解题 . 路过程强加 给 了 学 生 : 教 师 提 供 模 型, 学生吸收 模型 , 进行强化训练达到 熟 化 数 学 解 题 方 法 的 目 的, 这与 数 学 教 学 促 人 发 展 的 目 标 格 格 不 入 , 实 际上 , 这 几 年 高 考 命 题 创 新 立 意 的 实 践, 已经证 明, 这种 想 法 已 经 落 伍 , 不可能带领学生有效地 应对数学高 考 了 . 因 此, 教师设计解题关键环节 的教学就构成了最能考验 教 师 的 地 方 , 是高素质 教师与一般普通教师的区 别 的 标 志 之 一 , 也是数 学教师创造性才能的表现之处 . 题教学关键环节的能力呢 ? 那么 , 一般教师应通 过 何 种 途 径 提 高 处 理 解 其一 , 数学教师要积 极 地 投 身 于 数 学 解 题 活 若不如此 , 就 只 能 说, 教师将问题获解的思

理论证 、 计 算 过 程 的 思 路 分 析 教 学 中, 教学才不 ( , 我们 所 举 的 例 子 都 基 本 如 此) 学生听老师讲 如果教师只满足于自己的 讲 清 楚 , 那么学生就很 难举一反三 , 将解决问题 的 数 学 思 想 与 方 法 迁 移 到新的情境中去 . , 程) 在教 学 设 计 时 , 绝 不 能 掉 以 轻 心. 教师必须 了解自己的学生 , 要认识 学 生 的 现 有 知 识 水 平 与 认知结构 , 即 不 仅 要 了 解 学 生 的 知 识 基 础, 还要 了解他们 的 思 维 方 式 与 认 知 特 点 . 在教学设计 时, 站在学生的心理立场 上 , 不断地向作为“ 教师 的我 ”发问 : 为 什 么 是 这 样? 怎 样 想 出 来 的? 这 就是要分析思路 , 要把曲 折 的 思 维 过 程 向 学 生 作 必要的介 绍 , 而不只是讲加工整理了的思维的 捷径 . 3 简要结语 在高中数学课堂教学 中 , 课上的时间压力是 因 此 ,对 于 问 题 解 决 的 关 键 环 节 ( 逻辑过 会离开学 生 的 思 维 活 动 . 经常会出现这种情况 解, 很快就明白 , 但不知 道 老 师 是 怎 样 想 出 来 的 ,

, 通过 “ 心理换 位 ” 教 师 在 对 问 题 的 解 法、 推

动之中 , 要 保 持 自 己 的 良 好 的 解 题 胃 口, 只有在 实际的数学解题过程中 , 教师才能有效地分析自 己经历的思维过程 , 准确 定 位 问 题 思 路 的 关 键 环 节, 并将启动关键环节的思维的触发点感同身 受, 设计 合 理 的 教 学 过 程 , 教师才能把这个真实 的思维活动过程暴露在学 生 面 前 , 并通过教学法 教师才能使 自 已 具 有 分 析 数 学 思 维 活 动 过 程 的 能力 . 可 以 肯 定 地 说, 离开了真实的数学解题活 动, 教师就一定处理不好解题教学的关键环节 . 下功夫 , 数 学 教 师 在 备 课 时, 通过自己的解题活 动, 获得 了 解 题 的 逻 辑 思 路 , 就要针对具体的问 , 题, 与学生进行 “ 心理 换 位 ” 所谓“ 心 理 换 位” 就 . 是教师在进行知识的教学 设 计 时 , 设身处地地站 在学生的立场上 , 摹仿学 生 的 心 理 去 探 寻 与 获 取 知识 . 教 师 要 把 自 己 设 想 成 学 生, 体会学生所已 经掌握了的 知 识 , 思 考 问 题 的 能 力 与 模 式, 处理 问题时的心理活动经 验 等 . 教师要将自己在学习 这一知识之后 获 得 的 东 西 ( 知 识、 思维能力与经 验等 )假想成一 无 所 知 , 以此来揣摩学生知识的 发生过程 . 其二 , 教师要在与学生进行 “ 心理换位 ”上狠 加工 , 使得逻 辑 环 节 适 切 学 生 心 理 环 节 的 要 求 ,

相当大的 . 教 师 在 教 学 设 计 时, 对于解题教学的 关键环节 , 教师可能全部 依 靠 学 生 在 课 堂 上 的 创 造去形成思路吗 ( 这是数 学 新 课 程 重 要 的 教 学 理 ? 通 过 我 们 的 分 析 发 现, 念之一 ) 在大多数情况 下, 这 是 不 现 实 的, 也 是 不 可 能 的, 甚至是有害 的. 教师经过自己深 入 思 考 , 获 得 解 题 方 法, 这无 疑对解题关 键 环 节 的 确 定 及 其 相 应 教 学 设 计 提 供了极大帮助 , 但是 , 这还不够 . 教师必须 要 把 经 由 他 自 己 的 创 造 发 挥 得 到

的问题解答过程 , 转化为 促 进 学 生 数 学 思 维 能 力 发展的手段 , 经 过 一 步 步 的 启 发 与 提 示, 促成学 生自己获得解决问题的思 路 与 方 法 , 而不是将整 理好的解决问题的捷径直 接 移 交 给 学 生 , 也不是 将解决问题 的 思 路 的 思 考 过 程 整 个 地 教 给 学 生 去从课堂现实中去创造 , 应该找到一种合适的手 段, 把握 好 这 两 者 之 间 的 平 衡 . 对于解题的关键 环节 , 这 是 教 学 设 计 的 一 个 最 为 重 要 的 环 节, 对 此, 我们 数 学 教 师 必 须 保 持 足 够 的 警 惕 , 要思之 再思 , 慎之又慎 !
( 收稿日期 : 20 1 3 - 1 1 - 24)


搜索更多“数学高考复习教学的新视角--基于安徽省2013年创新立意形成的最后两道题的研究”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com