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【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮配套课件10-5曲线与方程


第 5讲 曲线与方程 知识梳理 1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个 二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 . (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 .那么这个 方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做 方程的曲线 . 2.求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对 (x,y)表示曲线上任意 一点M的坐标. (2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}. (3)用坐标表示条件p(M),列出方程 f(x,y)=0 ,并化简. (4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3.曲线的交点 设曲线 C1 的方程为 F1(x,y)=0,曲线 C2 的方程为 F2(x,y) =0,则 数解. 若此方程组无解,则两曲线 ? ?F1?x,y?=0, C1,C2 的交点坐标即为方程组? ? ?F2?x,y?=0 的实 无交点 . 辨 析 感 悟 1.曲线与方程的概念 (1)f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要条件. (√) (2)条件甲: “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x, y)=0 的解”, 条件乙:“曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的图形”,则条件甲是 条件乙的充要条件. (×) (3)(教材习题改编)方程 y= x与 x=y2 表示同一曲线. (×) (4)方程 x2+xy=x 的曲线是一个点和一条直线. (×) 2.求曲线的轨迹方程 (5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2=y2. (×) (6)两条动直线y=x+b,y=2x-b(b∈R)交点的轨迹方程是3x -2y=0. (√) (7)已知点 ?1 ? F?4,0?,直线 ? ? 1 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是抛物线. ( √) x2 y2 (8)(2014· 济南质检)过椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴 x 2 4y 2 的垂线, 垂足为 N, 则线段 MN 中点的轨迹方程是a2+ b2 =1.(√) [感悟·提升] 1.曲线与曲线的方程是两个不同概念,曲线的方程需满足两个 条件:一是曲线上点的坐标都是该方程的解;二是以该方程 的解为坐标的点都是曲线上的点.如(2)错误理解了曲线方程 的含义. 2.求轨迹方程,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关 系,检验应从两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变 形;二是是否符合实际意义,注意轨迹上特殊点对轨迹的 “完备性与纯粹性”的影响. 考点一 直接法求轨迹方程 【例 1】 如图所示,A(m, 3m)和 B(n,- 3n)两点分别在射线 1 → → OS,OT 上移动,且OA· OB=-2,O 为坐标原点,动点 P 满 → =OA → +OB →. 足OP (1)求 mn 的值; (2)求动点 P 的轨迹方程, 并说明它表示什么曲线? 解 →· → =(m, 3m)· (1)由OA OB (n,- 3n)=-2mn. 1 1 得-2mn=-2,∴mn=4. → =OA → +OB →, (2)设 P(x,y)(x>0),由OP 得(x,y)=(m, 3m)+(n,- 3n)=(m+n, 3m- 3n). ? ?x=m+n, ∴? ? ?y= 3m- 2 y 整理得 x2- 3

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