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广东省广州市2012届高三年级调研考试数学(文科)试题


广州市 2012 届高三年级调研考试试题 文 科 数 学
一、 选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1.方程 x ? p x ? 1 5 ? 0, x ? 5 x ? q ? 0
2 2

且 M ? N ? ? 3? ,则 p : q 的

值为( A.
1 3

) B.
2 3

C. 1

D.

4 3

2. “ a ? 0 ”是“复数 a ? bi ( a , b ? R ) 是纯虚数”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件
? ?2a n 6 3.已知数列{an}中,a1= ,an+1= ? ? 7 ?2a ? 1 ? n ? 0 ? an ? 1 2 1

D.不充分不必要条件

2 ,则 a 2012 等于(

)?

? an ? 1
6 7

A.

3 7

B.
1
0 .2

4 7
1

C.

5 7

D. )

4.设 a ? lo g 1 3, b ? ( )
2

, c ? 2 3 ,则(

3

A. a ? b ? c C.
c ? a ? b

B. c ? b ? a D. b ? a ? c

5.如图,一个正三棱柱的左(侧)视图是边长为 3 的正方 形,则它的外接球的表面积等于( A.8π
2

)? C.9π D.
28 3

B.

25 3

π

π )

6.函数 f ( x ) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x (x∈R)的最小正周期和最大值分别为( A. 2π 3 B.2π 1 C.π 3
x a
2 2

D.π 1
? y b
2 2

7.已知点 P 是以 F1 、F2 为左、右焦点的双曲线 满足 P F1 ? P F 2 ? 0 , ,则此双曲线的离心率为(
13 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 左支上一点,且

???? ???? ?

)

A. 3

B.

C.

5

D. 1 3
3 2 ) f '( x ) ? 0 , x1<x2, x1+x2>3, 若 且

8. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) , 满足 f (3 ? x ) ? f ( x ) ,( x ? 则有( )?

A. f ( x1 ) ? f ( x 2 )
/

B. f ( x1 ) ? f ( x 2 )
/

C. f ( x1 ) ? f ( x 2 )

D.不确定 )

9.函数 f ( x ) 的导函数为 f ( x ) ,若 ( x ? 1) ? f ( x ) ? 0 ,则下列结论中正确的一项为(
A , x ? ? 1一 定 是 函 数 f ( x )的 极 大 值 点 B . x ? ? 1一 定 是 函 数 f ( x )的 极 小 值 点 C . x ? ? 1不 是 函 数 f ( x )的 极 值 点 D . x ? ? 1不 一 定 是 函 数 f ( x )的 极 值 点

10.已知 a 是实数,则函数 f ( x ) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是(



二、 填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 11. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证,并处 200 元以上 500 元以下罚款;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留 和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证,并处 500 元以上 2000 元以下罚款.据《法制晚报》报 道,2012 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人,如图是对这 28800 人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的 人数约为 .

12. 执行右边的框图,则输出的 s 是 13.与圆 C: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A 、B
2 2

且 O A ? 2 , O B ? 2 ,则三角形 AOB 面积的最小值为



选做题(考生只能两题中选作一题)
D E A
C

O

B

l

14.(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中,曲线 ? ? ? 4 sin ? 和 ? co s ? ? 1 相交于点 A , B ,则 A B = ;

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点, BC=3,过 C 作圆的切线 l ,则点 A 到直线 l 的距离 AD 为 .

三、 解答题:本大题共 6 个小题.共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)? 已知 m ? (sin ? x ? cos ? x , 3 cos ? x ), n ? (cos ? x ? sin ? x , 2 sin ? x ) ,且 ? ? 0 ,设
?? ? ? f ( x ) ? m ? n , f ( x ) 的图象相邻两对称轴之间的距离等于 . 2

??

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;
f (Ⅱ)在△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, b ? c ? 4 , ( A)? 1 ,求△ABC 面积

的最大值. 17. (本小题满分 12 分)? 甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件,已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一 等品的概率分别为 0.7、0.6、0.8,乙、丙两台机床加工的零件数相等,甲机床加工的零件 数是乙机床加工的零件数的二倍.? (1)从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验,求至少有一件一等品的概率;? (2)将三台机床加工的零件混合到一起,从中任意的抽取一件检验,求它是一等品的概率; (3)将三台机床加工的零件混合到一起,从中任意的抽取 4 件检验,其中一等品的个数记 为 X,求 EX.?

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A B ? 侧面 B B1C 1C , 已知 BC ? 1, BB1 ? 2,

A

A1

B

B1

(1)求证: C 1 B ? 平 面 A B C ;
C E C1

(2)试在棱 C C 1 (不包含端点 C , C 1 ) 上确定一点 E 的位置,使得 E A ? E B1 ;

19. (本小题满分 14 分)? 已知函数 f ( x ) ?
ln (1 ? x ) x

.?

(1)确定 y ? f ( x ) 在(0,+∞) 上的单调性;? (2)设 h ( x ) ? x ? f ( x ) ? x ? ax 在(0,2)上有极值,求 a 的取值范围.?
3

20. (本小题满分 14 分)? 如图,已知抛物线 C 的顶点在原点, 焦点为 F(0, 1). Q (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 在抛物线 C 上是否存在点 P, 使得过点 P 的 直线交 C 于另一点 Q, 满足 PF⊥QF, 且 PQ 与 C 在点 P 处的切线垂直? 若存在, 求出点 P 的 坐标; 若不存在, 请说明理由.

y

F O

P x

21. (本小题满分 14 分)? 设数列 ? a n ? , ? b n ? 满足:a1=4,a2=
5 2

, a n ?1 ?

a n ? bn 2

, bn ?1 ?

2 a n bn a n ? bn

.?

(1)用 a n 表示 a n ? 1 ;并证明: ? n ? N ? , an>2 ;? (2)证明: ? ln
? ? an ? 2 ? ? 是等比数列;? an ? 2 ?
4 3 ) 是否有确定的大小关系?

(3)设 Sn 是数列 ? a n ? 的前 n 项和,当 n≥2 时,Sn 与 2 ( n ? 若有,加以证明;若没有,请说明理由

广州市 2012 届高三年级调研考试试题 文 科 数 学答案
一、1.D 10D 二、 11. ?
8

2.A
63

3.A
1 32

4.A

5.B

6.C

7.D

8.B

?9 A

12.

13. 3 ? 2 2
2

2 14.在平面直角坐标系中,曲线 ? ? ? 4 sin ? 和 ? co s ? ? 1 分别表示圆 x ? ? y ? 2 ? ? 4 和直线

x ? 1 ,易知 A B = 2 3 .

15. C 为圆周上一点,AB 是直径,所以 AC⊥BC,而 BC=3,AB=6,得∠BAC=30°,进而 得 ∠B=60°,所以∠DCA=60°,又∠ADC=90°,得∠DAC=30°,
? A D ? A C ? sin ? D C A ? 3 6 ? 9 ? sin 6 0 ?
0

9 2



三、16.解: (Ⅰ) f ( x ) ? cos ? x ? sin ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? cos 2 ? x ?
2 2

3 sin 2 ? x

= 2 sin ( 2 ? x ? 依题意:
?
2?

?
6
?

)

???????4 分
? ,∴ ? ? 1, f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?

?
2

?
6

) .???????6 分

f (Ⅱ)∵ ( A)? 1 ,∴ sin ( 2 A ?

?
6

)?

1 2


5? 6 , A?



?
6

? 2A ?

?
6

?

1 3? 6
1 2

,∴ 2 A ?

?
6

?

?
3



???????8 分

? b ? c ? 4 ? S ?ABC ?

b c sin A ?

3 4

bc ?

3 b?c 2 ( ) ? 4 2

3 ???????10 分

当且仅当 b ? c ? 2 等号成立,所以 S ? A B C 面积最大值为 3 ?????12 分 17.解:(1) 设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品为事件 A,B,C ,? 则 P(A)=0.7, P(B)=0.6, P(C)=0.8? 从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验,至少有一件一等品的概率为?
P1 = 1 -P (A )P (B )P (C ) =1-0.3× 0.4× 0.2=0.976

4分

(2) 将三台机床加工的零件混合到一起,从中任意的抽取一件检验, 它是一等品的概率为 P2=
0

2 ? 0 .7 ? 0 .6 ? 0 .8 4

? 0 .7
1

8分

(3) P(X=4)= C 4 × 0.74=0.2401, P(X=2)= C 4 × 0.32× 0.72=0.2646,
2

P(X=3)= C 4 × 0.3× 0.73=0.4116? P(X=1)= C 4 × 0.33× 0.7=0.0756?
3

P(X=0)= C 4 × 0.34=0.0081?
4

X P

4 0.2401

3 0.4116

2 0.2646 12 分

1 0.0756

0 0.0081

因为 X~B(4,0.7) ,所以 EX=4× 0.7=2.8 18. 证(1)因为 A B ? 侧面 B B1C 1C ,故 A B ? B C 1 在 ? B C 1C 中, B C ? 1, C C 1 ? B B1 ? 2, ? B C C 1 ?
?
3

由余弦定理有
?
3

B C1 ?

B C ? C C 1 ? 2 ? B C ? C C 1 ? co s ? B C C 1 ????
2 2

1 ? 4 ? 2 ? 2 ? co s

?

3

故有 B C 2 ? B C 1 2 ? C C 1 2 ????????? C 1 B ? B C 而 B C ? A B ? B 且 A B , B C ? 平面 A B C
? C1 B ? 平 面 A B C

?????? 4 分

(2)由 E A ? E B1 , A B ? E B1 , A B ? A E ? A , A B , A E ? 平 面 A B E 从而 B1 E ? 平 面 A B E 则 BE 2 ? 1 ? x 2 ? x 且 B E ? 平 面 A B E 故 B E ? B1 E 不妨设 又? ? B1 C 1 C ?
2 3
C E? x,则 C 1 E ? 2 ? x



?

则 B1 E 2 ? x 2 ? 5 x ? 7 从而 x ? 1或 x ? 2 (舍去)

在 R t ? B E B1 中有 x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? x ? 1 ? 4

故 E 为 C C 1 的中点时, E A ? E B1 ?????? 8 分

x

19.解: (1)由已知函数求导得 f '( x ) ? x ? 1
x x ?1

? ln (1 ? x ) x
2

2分
1 1 x ?1 ?x ( x ? 1)
2

设 g (x) ?

? ln (1 ? x ) ,则 g '( x ) ?

( x ? 1)

2

?

?

?0

4 分?

∴g(x)在(0,+∞)上递减, g ( x ) ? g (0) ? 0 ,∴ f '( x ) ? 0 ,因此 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减 6 分?
1 x ?1 ? x (3 a x ? 3 a x ? 1)
2

(2)由 h ( x ) ? f ( x ) ? x ? ax 可得, h '( x ) ?
3

? 1 ? 3ax ?
2

x ?1

8 分?

若 a≥0,任给 x∈(0,+∞) ,

1 x ?1

? 1 ? 0 , ? 3 ax ? 0 ,∴ h '( x ) <0,
2

∴ h ( x ) 在(0,2)上单调递减,则 f ( x ) 在(0,2)无极值 若 a<0, h ( x ) ? x ? f ( x ) ? x ? a x )在(0,2)上有极值的充要条件是
3

10 分?

? ( x ) ? 3 a x ? 3 a x ? 1 在(0,2)上有零点
2

12 分
1 18

∴ ? (0) ? ? (2) ? 0 ,解得 a ? ?

1 18

综上,a 的取值范围是(-∞, ?
a 4



14 分
2

20. (Ⅰ) 解: 设抛物线 C 的方程是 x2 = ay,则 4y . 5 分

? 1 , 即 a = 4.故所求抛物线 C 的方程为 x =

(Ⅱ) 解: 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), 则抛物线 C 在点 P 处的切线方程是: y ? 直线 PQ 的方程是: y ? ?
2 x1 x ? 2 ? y1 .
2

x1 2

x ? y1 ,

将上式代入抛物线 C 的方程, 得: x ?

8 x1

x ? 4 ( 2 ? y1 ) ? 0 ,

故 x1+x2 = ?

8 x1

, x1x2 =-8-4y1 ,所以 x2= ?

8 x1

-x1 , y2=

4 y1

+y1+4 .

而 FP =(x1, y1-1), FQ =(x2 , y2-1) ,
FP ? FQ =x1 x2+(y1-1) (y2-1)=x1 x2+y1 y2-(y1+y2)+1

=-4(2+y1)+ y1( = y 1 -2y1 - =(y1+1)2-
2

4 y1

+y1+4)-(
2

4 y1

+2y1+4)+1
1 y1
2

4 y1

-7=( y 1 +2y1+1)-4(
2

+y1+2)

4 ( y 1 ? 1) y1



( y 1 ? 4 )( y 1 ? 1) y1

=0,

故 y1=4, 此时, 点 P 的坐标是(±4,4) . 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点 P 存在, 其坐标为 P(±4,4). 21. (1)由已知得 a1=4,a2=
5 2

14 分

,所以 b1 ? 1 故 a n ? 1b n ? 1 ? a n b n ? ? ? a1b1 ? 4 ;
4 an

由已知: a n ? 0 , a 1 ? 2 , a 2 ? 2 , b n ? 故? ? n ? N ? , a n ? 2
a n ?1 ? 2 a n ?1
2

∴ a n ?1 ?

an 2

?

2 an

,由均值不等式得 a n ? 1 ? 2 4 分

5分

(2)

2 2 ?a ?2? (a ? 2) (a ? 2) ?? n , a n ?1 ? 2 ? n , a n ?1 ? 2 ? n ? ? 2 ? an ? 2 ? 2an 2an

所以 ln

a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 2

? 2 ln

an ? 2 an ? 2

,所以 ? ln
?

?

an ? 2 ? ? 是等比数列 an ? 2 ?
2
n ?1

8 分?

(3)由(2)可知 ln

an ? 2 an ? 2

? (ln 3) ? 2

n ?1

? ln 3

∴ an ?

3 3

2 2

n ?1

?1 ?1

n ?1

当 n≥2 时, a n ? 1 ? 2 ? ∴ a3 ? 2 ?
1

an ? 2 3
2
n ?1

?1

?

1 10

? an
1

? 2?

10 分?
1

? a n ?1 ? 2 ? 10 10 1 相加得: S n ? a1 ? a 2 ? 2 ( n ? 2 ) ? 12 分? ? S n ?1 ? a1 ? 2 ( n ? 2 ) ? 10 5 ∵ a1 ? 4 , a 2 ? ,?∴ 10 S n ? 65 ? 20( n ? 2) ? S n ? a n ? 4 ? 2( n ? 2) 2
?2? 10

? a2

? 2 ? , a4 ? 2 ?

? a 3 ? 2 ? ,…, a n

∴ Sn ? 2n ?

25 9

?

3

2

n ?1

?1 ?1

9 3

?

2

n ?1

?

? 2n ?

25 9

?

1 9

? 2n ?

8 3

故 n≥2 时, S n ? 2 ? n ?
?
2 2
n ?1

?

4? ? 3?

14 分?

解二: a n ? 2 ?

3 3

?1

n ?1

2 4 ? ? ? 2 ? 1 ? n ?1 ? ? 2 ? 2 n ?1 2 ?1 3 ?1? 3 ?1 ?
4 ? 1 4 C n ?1 , (n≥2)

设Cn ?

4 3
2
n ?1

?

?

3

2

n?2

??

3

2

n?2

?

10 分?

Cn ?

1

?1? ?1? C n ?1 ? ? ? C n ? 2 ? ? ? ? ? ? 4 ?4? ?4?
1 ? ? ?4?
n ?1

2

n ?1

?1? C1 ? 2 ? ? ?4?

n ?1

∴当 n≥2 时, a n ? 2 ? 2 ? ?

12 分?

Sn

n ?1 ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? a n ? 4 ? 2 ( n ? 1) ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4? ? ?4 ? 4 ? ? ?

1? 1 ? ? 1 ? n ?1 ? 4? 4 ? ? 2n ? 2 ? 2 ? 1 1? 4 ? 2n ? 2 ? 2? 1 ? 8 ? 1 ? n ?1 ? ? 2 n ? 3? 4 3 ?

14 分?


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