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导与练普通班2017届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第6节二次函数与幂函数基丛点练理


第6节
【选题明细表】 知识点、方法 幂函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 二次函数的综合问题

二次函数与幂函数
题号 1,3,5,7,9,14 2,4,6,8,11,12 10,13,15,16

基础对点练(时间:30 分钟) 1.函数 y= 的图象大致是( C )

解析:y=

= ,其定义域为 x∈R,排除 A,B,

又 0<<1,图象在第一象限为上凸的,排除 D. 2 2.已知函数 f(x)=x -2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b 等于( C ) (A)3 (B)2 或 3 (C)2 (D)1 或 2 2 解析:函数 f(x)=x -2x+2 在[1,b]上递增, 由已知条件

即 解得 b=2. 3.幂函数 y= (m∈Z)的图象如图所示,则 m 的值为( C )

(A)0 (C)2

(B)1 (D)3 (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,

解析:因为 y=
2

所以 m -4m<0,即 0<m<4, 又因为函数的图象关于 y 轴对称,且 m∈Z, 2 所以 m -4m 为偶数,因此 m=2. 2 4.如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( A ) (A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4) (C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)
1

解析:因为 f(2+t)=f(2-t), 所以 f(x)的图象关于 x=2 对称,又开口向上. 所以 f(x)在[2,+∞)上单调递增,且 f(1)=f(3). 所以 f(2)<f(3)<f(4),即 f(2)<f(1)<f(4). 5.(2016 南昌二中高三月考)a 为参数,函数 f(x)=(x+ ·3 是偶函数,则 a 可取值的集合是( C ) (A){0,5} (B){-2,5} (C){-5,2} (D){1,2 015} 解析:因为函数 f(x)=(x+a)· -(x-a)·3
8-x-3a 8-x-3a

-(x-a)

是偶函数,所以 f(x)=f(-x),

所以 f(x)=(x+a)·
8+x-3a

-(x-a)·3

8-x-3a

=f(-x)=(-x+a)·

+(x+a)

·3 ,利用系数恒等关系可知 8-3a=a -2.解方程得 a=2 或-5,故 选 C. 2 6.函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的取值范围是( (A)[-3,0) (B)(-∞,-3] (C)[-2,0] (D)[-3,0] 解析:当 a=0 时,f(x)=-3x+1 在[-1,+∞)上递减, 故 a=0 时满足题意. 当 a≠0 时,要使 f(x)在[-1,+∞)上是减函数, 则有 解得-3≤a<0. 综上可知 a 的取值范围是[-3,0]. 7.若(a+1 <(3-2a ,则 a 的取值范围是( B )

2

D )

(A)(,+∞) (B)(,) (C)(1,) (D)(,1) 解析:因为 f(x)= 的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数,

所以原不等式等价于



所以<a<.

8.(2015 合肥模拟) 已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈ R),x∈ R,若函数 f(x) 的最小值为

2

2

f(-1)=0,则 f(x)= 解析:由题意知 所以 f(x)=x +2x+1. 2 答案:x +2x+1 9.若 y=
2

. 解得

是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,则整数 a 的值是

.

解析:因为函数在(0,+∞)内是减函数, 2 所以 a -4a-5<0. 所以-1<a<5,则整数 a=0,1,2,3,4. 又函数是偶函数, 2 所以 a -4a-5 是偶数, 所以整数 a 的值可以是 1,3. 答案:1 或 3 2 10.设函数 y=x -2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). 2 2 解:因为函数 y=x -2x=(x-1) -1. 所以对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减. 2 则当 x=a 时,ymin=a -2a; 当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增, 则当 x=1 时,ymin=-1. 综上,g(a)= 能力提升练((时间:15 分钟) 11.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是( D )
2

解析:对于选项 A,C 都有

所以 abc<0,故排除 A,C;对于选项 B,D,都有- >0, 即 ab<0,则当 c<0 时,abc>0.选 D. 2 12.如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为 x=-1,给出下面 四个结论:

3

①b >4ac; ②2a-b=1; ③a-b+c=0; ④5a<b. 其中正确的是( B ) (A)②④ (B)①④ (C)②③ (D)①③ 解析:因为图象与 x 轴交于两点, 2 所以 b -4ac>0, 2 即 b >4ac,①正确; 对称轴为 x=-1, 即- =-1,2a-b=0,②错误; 结合图象,当 x=-1 时,y=a-b+c>0,③错误; 由对称轴为 x=-1 知,b=2a, 又函数图象开口向下, 所以 a<0, 所以 5a<2a, 即 5a<b,④正确. 13.(2016 衡水中学高二上第二次调研)已知正实数 x,y 满足 xy+2x+y=4,则 x+y 的最小值 为 . 解析:因为 x,y 为正实数,且 xy+2x+y=4,设 x+y=k>0,则 y=k-x 代入已知式子得 2 x(k-x)+ 2x+k-x-4=0, 整 理 得 x -(k+1)x-k+4=0, 关 于 x 的 方 程 有 解 , 所 以 Δ =[-(k+1)] -4×(4-k)≥0,解之得 k≤-3-2 所以 k≥2 答案:2 -3
α 2

2

或 k≥2

-3,又因为 k>0,

-3,即 x+y 的最小值为 2

-3.

14.已知幂函数 y=x ,α ∈{-1,,1,2,3}的图象过定点 A,且点 A 在直线 +=1(m>0,n>0)上,则 log2(+)= . α 解析:由幂函数的图象知 y=x ,α ∈{-1,,1,2,3}的图象恒过定点 A(1,1), 又点 A 在直线 +=1(m>0,n>0)上, 所以+=1. 所以 log2(+)=log2[2(+)]=log22=1.

4

答案:1 2 15.已知函数 f(x)=ax +2ax+1 在区间[-1,2]上有最大值 4,求实数 a 的值. 2 解:f(x)=a(x+1) +1-a, ①当 a=0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上的值为常数 1,不符合题意, 舍去; ②当 a>0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为 f(2)=8a+1=4,解得 a=; ③当 a<0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为 f(-1)=1-a=4,解得 a=-3. 综上 a=或 a=-3. 2 16.已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为常数),x∈R, F(x)= (1)若 f(-1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 m·n<0,m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,证明 F(m)+F(n)>0. (1)解:因为 f(-1)=0, 所以 a-b+1=0,a=b-1. 又 x∈R,f(x)的值域为[0,+∞), 所以 所以 b -4(b-1)=0,b=2,a=1, 2 2 所以 f(x)=x +2x+1=(x+1) . 所以 F(x)= (2)解:g(x)=f(x)-kx 2 =x +2x+1-kx 2 =x +(2-k)x+1, 当 ≥2 或 ≤-2 时,
2

即 k≥6 或 k≤-2 时,g(x)在[-2,2]上是单调函数. 故所求实数 k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). (3)证明:因为 f(x)是偶函数, 所以 f(x)=ax +1,F(x)= 因为 m·n<0,不妨设 m>n, 则 n<0, 又 m+n>0,m>-n>0, 2 2 所以 m >n , 又 a>0,
2

5

所以 F(m)+F(n)=(am +1)-an -1 2 2 =a(m -n )>0. 命题得证. 精彩 5 分钟 1.若 f(x)是幂函数,且满足 =3,则 f()等于( C )

2

2

(A)3 (B)-3 (C) (D)解题关键:待定系数法求出函数的解析式. 解析:设 f(x)=x ,则
n n

==2 =3,

n

所以 f()=() ==. 2 2.已知函数 f(x)=x +1 的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b) 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是( C ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)2 解题关键:数形结合思想的应用. 2 解析:由 f(x)=x +1=5, 2 得 x =4, 即 x=±2. 2 故根据题意结合函数 f(x)=x +1 的图象得 a,b 满足: -2<a≤0 且 b=2 或 a=-2 且 0≤b≤2, 所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为 2 的正方形如图,面积为 4.

3.方程 x -mx+1=0 的两根为α ,β ,且α >0,1<β <2,则实数 m 的取值范围是 解题关键:先用β 将 m 表示出来,再用函数的单调性求出实数 m 的取值范围. 解析:因为 所以 m=β +, 因为β ∈(1,2)且函数 m=β +在(1,2)上是增函数, 所以 1+1<m<2+,即 m∈(2,). 答案:(2,)

2

.

6


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