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2014高中数学 第一章 常用逻辑用语 解读四种命题的相互关系拓展资料素材 北师大版选修1-1


解读四种命题的相互关系
基本的逻辑知识及推理能力是同学们在日常生活和学习中认识问题、 分析问题不可缺少 的工具,然而四种命题的相互关系是逻辑知识的核心问题.因此理解掌握四种命题之间的相 互关系非常有必要. 一、要点精析 1. 四种命题定义 (1)在两个命题中,如果第一个命题.即原命题的条件是第二个命题的结论,且原命题 的结论是第二个命题的条件,那么第二个命题就叫做原命题的逆命题.原命题的逆命题的形 式可表示为:若 q 则 p; (2)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定, 那么这两个命题叫做互否命题.这个命题叫做原命题的否命题.否命题的形式可表示为:若 非 p 则非 q. (3)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定, 那么这两个命题叫做互为逆否命题. 这个命题叫做原命题的逆否命题. 逆否命题的形式可表 示为:若┐q 则┐p. 关于逆命题、否命题与逆否命题,也可作如下描述: 交换原命题的条件和结论, 所得的命题是原命题的逆命题; 同时否定原命题的条件和结 论,所得的命题是原命题的否命题;交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题 是原命题的逆否命题. 2. 四种命题的相互关系 互逆命题、 互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系, 若把其中一个命题叫做原 命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此,四种命题之间的相 互关系,可用下图表示:

3.四种命题的转化 四种命题之间存在着互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题的逻辑关系.如原命题与 逆命题、否命题与逆否命题互逆,原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否,原命题与逆否 命题、逆命题与否命题互为逆否.它们之间是可以任意转化的,关键是要分清命题的条件和 结论,然后根据其定义转化即可. 二、典例评析 例 1.设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否 命题. 分析:“当 c>0 时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是 a>b,结论是 ac>bc. 解:逆命题:“当 c>0 时,若 ac>bc,则 a>c.”;否命题:“当 c>0 时,若 a≤b, 则 ac≤bc”;逆否命题:“当 c>0 时,若 ac≤bc,则 a≤b”. 评注:找出命题的条件和结论是解题的关键. 例 2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题. ①m ?

1 2 时, mx ? x ? 1 ? 0 无实根; 4

②当 abc=0 时,a=0 或 b=0 或 c=0. 分析: 改造原命题成“若 p 则 q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.

1 2 ,则 mx ? x ? 1 ? 0 无实根”;逆命题:“若 4 1 1 2 mx 2 ? x ? 1 ? 0 无实根, 则 m ? ”; 否命题: “若 m ? , 则 mx ? x ? 1 ? 0 有实根”; 4 4 1 2 逆否命题:“若 mx ? x ? 1 ? 0 有实根,则 m ? ”; 4
解答:①原命题:“若 m ? ②原命题;“若 abc=0,则 a=0 或 b=0 或 c=0”;逆命题:“若 a=0 或 b=0 或 c=0,则 abc=0”;否命题:“若 abc≠0,则 a≠0 且 b≠0 且 c≠0”;(注意:“a =0 或 b=0 或 c=0”的否定形式是“a≠0 且 b≠0 且 c≠0”)逆否命题:“若 a≠0 且 b≠0 且 c≠0,则 abc≠0”. 评注:在命题转化时,一定要分清元命题的条件和结论,特别要注意前提条件. 要掌握和应用好四种命题之间的关系,首先要学会四种命题之间的转化,各种命题 的等价性,从而彻底理解四种命题的结构.给定一个命题“若 P 则 q ”,一定要正确理 解并写出其否命题“若非 P 则非 q ”,逆命题为“若 q 则 p”,逆否命题为“若非 q 则

非 p”.学习时根据需要正确的写出其意义相同的命题形式.


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