伤城文章网 > 数学 > 2013届高三数学(理)二轮复习 必考问题专项突破8 平面向量线性运算及综合应用问题

2013届高三数学(理)二轮复习 必考问题专项突破8 平面向量线性运算及综合应用问题


必考问题 8

平面向量线性运算及综合应用问题
[来源:学+科+网]

→ → → 1.(2012?广东)若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=( A.(-2,-4) C.(6,1 0) B.(2,4) D.(-6,-10)

).

→ → 答案: A [抓住向量的起点与终点,用终点坐标减去起点坐标即可.由于BA=(2,3),CA → → → =(4,7),那么BC=BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).] 2.(2012?四川)设 a,b 都是非零向量.下列四个条件中,使 = 成立的充分条件 |a| |b| 是( ). A.a=-b C.a=2b B.a∥b D.a∥b 且|a|=|b|

a

b

答案:C [对于 A,注意到当 a=-b 时, ≠ ;对于 B,注意到当 a∥b 时, 与 |a | |b | |a | |b |

a

b

a

b

a 2b b 可能不相等;对于 C,当 a=2b 时, = = ;对于 D,当 a∥b,且|a|=|b|时,可能 |a| |2b| |b|
有 a=-b,此时 ≠ .综上所述,使 = 成立的充分条件是 a=2b.] |a| |b| |a| |b| 3.(2012?浙江)设 a,b 是两个非零向量,下列选项正确的是( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 b=λ a D.若存在实数 λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| 答案:C [对于 A,可得 cos〈a,b〉=-1,因此 a⊥b 不成立;对于 B,满足 a⊥b 时, ).

a

b

a

b

|a+b|=|a|-|b|不成立;对于 C,可得 cos〈a,b〉=-1,因此成立,而 D 显然不一定成 立.] 4.(2012?新课标全国)已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b| =________. 解析 依题意,可知|2a-b| =4|a| -4a?b+|b| =4-4|a||b|?cos 45°+|b| =4- 2 2|b|+|b| =10,即|b| -2 2|b|-6=0, 2 2+ 32 ∴|b|= =3 2(负值舍去) . 2 答案 3 2
2 2 2 2 2 2

1.高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及其应用,向量的垂直、平移、 夹角和模的运算,向量的几何运算等.
[来源:Zxxk.Com]

2.平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到,属于中等偏难题.

1.要理解平面向量具有两个方面的特征:几何特征和代数特征,可以认为 平面向量是联 系几何图形和代数运算的纽带,因 此复习时要抓住平面向量的核心特征. 2.由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用,所以备考时要熟练掌握平面 向量的基础知识.

必备知识 ?向量的概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为± . |a | (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做 b 在向量 a 方向上的投影. ?向量的运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础,应熟练掌握其运算规律. (2)平面向量的数量积的结果是实数,而不是向量,要注意运算数量积与实数运算律的差 异,平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a?b 运算结果不仅与 a,b 的长度有关而且与

a

a 与 b 的夹角有关,即 a?b=|a||b|cos〈a,b〉 .

?两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a∥b?a=λ b,a∥b?x1y2-x2y1=0.

a⊥b?a?b=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0.
可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题,但二者不能混淆. 必备方法 1.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性 → → → 表示, 就要根据向量加减法的法则进行, 特别是减法法则很容易使用错误, 向量MN=ON-OM(其 中 O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量.

2.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条 对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互 相垂直, 反之也成立. 3.两个向量夹角的范围是[0,π ],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹 角可能是 0 或 π 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还 要求不能反向共线.

平面向量的概念及线性运算 常考查平面向量的基本概念、线性运算、加减运算等基础知识.同时,要加强三角形法 则、平行四边形法则应用技巧的训练和常用结论的记忆,难度以中低档为主. → → → → → 【例 1】 (2010?湖北)已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0, ? 若存在实数 m 使得AB+AC → =mAM成立,则 m=( ).

A.2 B.3 C.4 D.5 [审题视点]

[听课记录] → → → [审题视点] 由MA+MB+MC=0, 可知 M 是△ABC 的重心. B → → → → → → [∵MA+MB+MC=0,∴点 M 是△ABC 的重心.∴AB+AC=3 AM.∴m=3.] (1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起 点指向最后一个向量终点所在的向量;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量 的方向是指向被减向量. (2)有的问题可以采用坐标化解决更简单. 【突破训练 1】 如图,

→ → → → → → → 平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为 120°,OA与OC的夹角为 30°,且 → → → → → → |OA|=|OB |=1,|OC|=2 3,若OC=λ OA+μ OB(λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值为________. 解析 法一 如图,

→ → → → → → → → → OC=OB1+OA1,|OB1|=2,|OA1|=|B1C|=4,∴OC=4OA+2OB.∴λ +μ =6. 法二 以 O 为原点, 为 x 轴建立直角坐标系, A(1,0),(2 3 cos 30°, 3sin 30°), OA 则 C 2

B(cos 120°,sin 120°).
1 3 即 A(1,0),C(3, 3),B- , . 2 2 → → → 由OC=λ OA+μ OB得, 1 ?λ -2μ =3, ? ? 3 ? 2 μ = 3, ? 答案 6 平面向量的数量积 数量积是平面向量最易考查的知识点,常考查:①直接利用数量积运算公式进行运算; ②求向量的夹角、模,或判断向量的垂直关系,试题较容易.也常常与解析几何结合命制解 答题.

? ?μ =2, ∴? ?λ =4, ?

∴λ +μ =6.

【例 2】? (2012?临沂质检)

→ → → → 如图, △ABC 中,∠C=90°,且 AC=BC=3,点 M 满足BM=2MA,则CM?CB=(

).

A.2
C.4 [审题视点]

B.3 D.6

[听课记录] → → [审题视点] 用向量CA、CB表示. B → → → → → →2 → 2→ →2 2→ → → 1→2 [CM?CB=(CB+BM)?CB=CB +CB? BA=CB + CB?(CA-CB)= CB =3.] 3 3 3

平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合, 这里要 充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面 向量数量积的运算法则,探究解题的思想. 【突破训练 2】 (2012?重庆)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ).

A. 5 B. 10 C.2 5 D.10
?2x-4=0, ? 答案:B [由题意可知,? ? ?-4-2y=0,

解得?

?x=2, ? ? ?y=-2,

故 a+b=(3,-1),|a+

b|= 10,选 B.]

平面向量与三角函数的交汇 在近年高考中,三角函数与平面向量相结合来命制综合问题是高考考查的热点,三角函 数的变换与求值、化简及解三角形等问题常以向量为载体,复习时应注意解题的灵活性,难 度不大. 3? ? 【例 3】? (2012?河北衡水调研)已知向量 a=(sin x,-1),b=?cos x, ?. 2? ? (1)当 a∥b 时,求 cos x-3sin 2x 的值; (2)求 f(x)=(a+b)?b 的最小正周期和单调递增区间. [审题视点]
2

[听课记录] [审题视点] (1)由向量平行列方程解出 tan x 的值,所求式子转化成正切单角名称的三 角代数式,代入可求解;(2)进行向量坐标形式的数量积运算得到 f(x)的解析式,转化为 y=

Asin (ω x+φ )+b 的函数结构.
解 3 2 (1)由 a∥b,得 sin x+cos x=0,即 tan x=- , 2 3
2

cos x-6sin xcos x 1-6tan x 45 2 ∴cos x-3sin 2x= = = . 2 2 2 sin x+cos x 1+tan x 13 3 (2)因为 a=(sin x,-1),b=cos x, , 2 1 ∴a+b=sin x+cos x, ; 2

f(x)=(a+b)?b

3 =(sin x+cos x)cos x+ 4 1 5 = (sin 2x+cos 2x)+ 2 4 = 2 π 5 sin2x+ + , 2 4 4
[来源:Z|xx|k.Com]

所以最小正周期为 π .

π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + , 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + , 8 8 3π π 故单调递增区间为 kπ - ,kπ + (k∈Z). 8 8 平面向量与三角函数结合的这类题目的解题思路通常是将向量的数量积与模 经坐标运算后转化为三角函数问题,然后利用三角函数基本公式求解.

A 2 5 【突破训练 3】 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 cos = , 2 5
→ → AB?AC=3. (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. 解

A 2 5 (1)因为 cos = , 2 5

3 4 2A 所以 cos A=2cos -1= ,sin A= , 2 5 5 → → 又由AB?AC=3,得 bccos A=3,所以 bc=5, 1 所以 S△ABC= bcsin A=2. 2
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

(2)对于 bc=5,又 b+c=6,所以 b=5,c=1 或 b=1,c=5,由余弦定理得,a =b +

2

2

c2-2bccos A=20,所以 a=2 5.

突破平面向量的得分障碍 近几年高考对平面向量的考查突出了“创新性”与“灵活性”,其实质可以归源于平面 向量的几何特征和代数特征.试题常以选择、填空的形式考查,难度较大.平面向量问题的 难点就是平面向量的几何运算与数量积运算的结合,这里要充分利用向量的几何运算法则、 共线向量定理,下面举例说明.

→ → 【示例 1】 (2012?北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1, E 是 AB 边上的动点, DE?CB ? 点 则 → → 的值为____________;DE?DC的最大值为____________. → → → → → → → → → → → 解析 以AB, 为基向量, AE=λ AB(0≤λ ≤1), DE=AE-AD=λ AB-AD, =-AD, AD 设 则 CB → → → → → → → →2 → → 所以 DE ? CB =(λ AB - AD )?(- AD )=-λ AB ? AD + AD =-λ ?0+1=1.又 DC = AB ,所以 → → → → → → → → → → DE?DC= (λ AB-AD)?AB=λ AB2-AD?AB=λ ?1-0=λ ≤1,即DE?DC的最大值为 1. 答案 1 1

→ → 老师叮咛:本题考查了平面向量的线性运算、几何运算和数量积运算.求DE?CB值时,不 → → → 会利用平面向量的几何运算法则将其转化为AB?AD?AD是造成失分的主要原因. 【试一试 1】 (2011?新课标全国)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ ,有下列四个 命题:

p1:|a+b|>1?θ ∈?0,

? ? ?

2π ? ?2π ? ?;p2:|a+b|>1?θ ∈? 3 ,π ?; 3 ? ? ? π?

p3:|a-b|>1?θ ∈?0, ?;p4:|a-b|>1?θ ∈? ,π ?. 3? ? ?3 ?
其中的真命题是( ).
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]



?

A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p2,p4 答案:A [∵|a|=|b|=1,且 θ ∈[0,π ],若|a+b|>1,则(a+b) >1,∴a +2a?b 1 a?b 1 ? 2π ? 2 +b >1,即 a?b>- ,∴cos θ = =a?b>- ,∴θ ∈?0, ?;若|a-b|>1, 3 ? 2 |a|?|b| 2 ? 1 1 ?π ? 同理求得 a?b< ,∴cos θ =a?b< ,∴θ ∈? ,π ?,故 p1,p4 正确,应选 A.] 2 2 ?3 ? 【示例 2】? (2011?辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a?b=0,(a-c)?(b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为( ).
2 2

A. 2-1 B.1 C. 2 D.2
解析 设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则 x +y =1,a-c=(1-x,-y),b-c= (- x ,1- y),则(a -c)?(b -c)=(1- x)(- x)+(- y)?(1-y)= x + y - x - y =1- x -
2 2 2 2

y≤0,即 x+y≥1.又 a+b-c=(1-x,1-y),
∴|a+b-c|= ? = ? 1-x?
2 2

+?

1-y?

2

x-1?

2

+? y-1?

,①

法一 如图,c=(x,y)对应点在 AB 上,而①式的几何意义为 P 点到 AB 上点的距离, 其最大值为 1. 法二 |a+b-c| = ?
2

x-1?
2

2

+?

y-1?

2

= x +y -2x-2y+2 = 3+2? -x-y? = 3-2? x+y? , 由 x+y≥1,∴|a+b-c|≤ 3-2=1,最大值为 1. 答案 B 老师叮咛:解决本题的关键是将向量坐标化,利用向量的坐标运算解决问题.其中,不会 将向量坐标化是造成失分的主要原因. → → 【试一试 2】 (2012?天津)已知△ABC 为等边三角形,AB=2.设点 P,Q 满足AP=λ AB, →

AQ=(1-λ )AC,λ ∈R,若BQ?CP=- ,则 λ =(
A. 1 1± 2 1± 10 -3±2 2 B. C. D. 2 2 2 2







3 2

).

答案:A [∵|a|=|b|=1,且 θ ∈[0,π ],若|a+b|>1,则(a+b) >1,∴a +2a?b 1 a?b 1 ? 2π ? 2 +b >1,即 a?b>- ,∴cos θ = =a?b>- ,∴θ ∈?0, ?;若|a-b|>1, 3 ? 2 |a|?|b| 2 ? 1 1 ?π ? 同理求得 a?b< ,∴cos θ =a?b< ,∴θ ∈? ,π ?,故 p1,p4 正确,应选 A.] 2 2 ?3 ?

2

2


搜索更多“2013届高三数学(理)二轮复习 必考问题专项突破8 平面向量线性运算及综合应用问题”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com