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2018年秋高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.2向量减法运算及其几何意义学案新人


2.2.2 向量减法运算及其几何意义 学习目标:1.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义.(难点)2.掌握向 量减法的运算及其几何意义,能熟练地进行向量的加减运算.(重点)3.能将向量的减法运算转 化为向量的加法运算.(易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.相反向量 (1)定义:如果两个向量长度相等,而方向相反,那么称这两个向量是相反向量. (2)性质:①对于相反向量有:a+(-a)=0. ②若 a,b 互为相反向量,则 a=-b,a+b=0. ③零向量的相反向量仍是零向量. 2.向量的减法 (1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. → → → (2)作法:在平面内任取一点 O,作OA=a,OB=b,则向量 a-b=BA,如图 2?2?13 所示. 图 2?2?13 [基础自测] 1.思考辨析 (1)若 b 是 a 的相反向量,则 a 与 b 一定不相等.(  ) (2)若 b 是 a 的相反向量,则 a∥b.(  ) → → → → (3)向量AB的相反向量是BA,且BA=-AB.(  ) → → → (4)PA-PB=AB.(  ) [解析] (1)错误.当 a=0 时,a 的相反向量也是零向量即 a=b.(2)正确;(3)正确.(4) → → → 错误.PA-PB=BA. [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× → → → → 2.化简OP-QP+PS+SP的结果等于(  ) → A.QP        → C.SP → B.OQ → D.SQ 1 → → → → → B [原式=(OP+PQ)+(PS+SP)=OQ+0= → OQ.] → → → → → 3. 如 图 2?2?14, 在 ? ABCD 中 , AB= a, AD= b, 用 a, b 表 示 向 量 AC, BD, 则 AC= → ________,BD=________. 图 2?2?14 a+b, b-a [由向量加法的平行四边形法则, 及向量减法的运算法则可知AC=a+b,BD= b-a.] [合 作 探 究·攻 重 难] 向量减法的几何意义 → → → →  (1)如图 2?2?15 所示,四边形 ABCD 中,若AB=a,AD=b,BC=c,则DC=(  ) A.a-b+c C.a+b+c B.b-(a+c) D.b-a+c → → (2)如图 2?2?16 所示,已知向量 a,b,c 不共线,求作向量 a+b-c. 【导学号:84352190】 图 2?2?15     图 2?2?16 → → → → [思路探究] (1)利用向量减法和加法的几何意义,将DC向AB, BC,AD转化; (2)利用几何意义法与定义法求出 a+b-c 的值. → → → → → → (1)A [DC=AC-AD=(AB+BC)-AD=a+c-b.] → → → (2)法一:(几何意义法)如图①所示,在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b,则OB=a+ b,再作OC=c,则CB=a+b-c. → → → 法二:(定义法)如图②所示,在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b,则OB=a+b,再作 → → → BC=-c,连接 OC,则OC=a+b-c. → 2 图①       图② [规律方法] 求作两个向量的差向量的两种思路 ?1?可以转化为向量的加法来进行,如 a-b,可以先作-b,然后作 a+?-b?即可. ?2?也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两 个向量的终点,指向被减向量的终点的向量. [跟踪训练] 1.如图 2?2?17,已知向量 a,b,c,求作向量 a-b-c. 图 2?2?17 [解] 法一:先作 a-b,再作 a-b-c 即可. → → → → → 如图①所示,以 A 为起点分别作向量AB和AC,使AB=a,AC=b.连接 CB,得向量CB=a- b,再以 C 为起点作向量CD,使CD=c,连接 DB,得向量DB.则向量DB即为所求作的向量 a-b- c. → → → → ①         ② 法二:先作-b,-c,再作 a+(-b)+(-c),如图②. → → (1)作AB=-b 和BC=-c; → → (2)作OA=a,则OC=a-b-c. 向量加减法的运算及简单应用 → → →  (1)化简:①AB+OA-OB=________; → → → → ②AB+(BD+CA)+DC=________; 3 → → → → ③OB-OA-OC-CO=________. (2)如图 2?2?18, 图 2?2?18 → ①用 a,b 表示DB; → ②用 b,c 表示EC. 【导学号:84352191】 [思路探究] (1)先用运算律调整, 凑出向量加法法则(首尾相接)和向量减法法则(共起点) 的形式,再化简. → → → → → → (2)用向量加减法的几何意义,将DB向BC,CD转化,将EC向CD,DE转化. (1)①0 ② 0 ③ → AB [(1)①AB+OA-OB=AB+(OA-OB)=AB+BA=0; → → → → → → → → → → → → → → → → → → ②AB+(BD+CA)+DC=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0; → → → → → → → → → ③OB-OA-OC-CO=(OB-OA)-(OC+CO)=AB.] → → → (2)∵BC=a,CD=b,DE=c. → → → → → ①DB=CB-CD=-BC-CD=-a-b. → → → → ②EC=-CE=-(CD+DE)=-b-c. [规律方法] 1.向量减法运算的常用方法 2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应用. 4 3.与

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