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2013年北京市海淀区高三二模文科数学试卷及答案(B版)


海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (文科) 2013.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.
1.集合 A ? ?x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0? , B ? ?x x ? 0? ,则 A ? B ? A. (??,0) B. ( ??,1]
1

C. [1,2]

D. [1, ??)

? 1 1 2. 已知 a ? ln , b ? sin , c ? 2 2 ,则 a, b, c 的大小关系为 2 2 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a

3.如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子, 若撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为 A.

ma n

B.

na m

C.

ma 2 n

D.

na 2 m
5

4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 180 B. 240 C. 276 D. 300
6 主视图 6 左视图

5.下列函数中,为偶函数且有最小值的是 A. f ( x ) ? x 2 ? x C. f ( x) ? x sin x B. f ( x) ?| ln x | D. f ( x ) ? e x ? e ? x

6

俯视图

??? ? ???? ???? ??? ? 6.在四边形 ABCD 中, ?? ? R , AB ? ? DC, AD ? ? BC ”是“四边形 ABCD 为平行四边 “
形”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该抛 物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3

8.若数列 {a n } 满足: 存在正整数 T , 对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立, 则称数列 {a n } 为

?an ? 1, an ? 1, ? 周期数列,周期为 T . 已知数列 {a n } 满足 a1 ? m (m ? 0) , an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , ? n
则下列结论中错误的是 .. A.若 m ?

4 ,则 a5 ? 3 5

B.若 a3 ? 2 ,则 m 可以取 3 个不同的值 C.若 m ? 2 ,则数列 {a n } 是周期为 3 的数列 D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,使得数列 {a n } 是周期数列若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两 人中技术较好的是 .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 复数

2i ? ___. 1? i


9 0 9 8 5 1 6 3 2



10.甲、乙两名运动员在 8 场篮球比赛中得分的数据统计如右图, 则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.

6 7 2 3 3 5 1 7

8 6 3

11.已知数列 ?a n ? 是等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,则 a5 的值为____. 12.直线 y ? x ? 1 被圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 3 ? 0 所截得的弦长为____.

π π 13.已知函数 f ( x ) ? sin(2? x ? ) (0 ? ? ? 1) 的图象经过点 ( ,0) ,则 ? ? _____, 6 6

f ( x ) 在区间 [0, π] 上的单调递增区间为_____.
? y ? 1 ? 0, ? 14.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 其中 k ? R, k ? 0 . ? y ? 1 ? k ( x ? 1), ?
(I)当 k ? 1时, (II)若

y 的最大值为______; x2

y 的最大值为 1 ,则实数 k 的取值范围是_____. x2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (I) 若 a1 ? 1, S10 ? 100 ,求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 Sn ? n 2 ? 6n ,解关于 n 的不等式 Sn ? an ? 2n .

16.(本小题满分 13 分) 已 知 点 D 为 ?ABC 的 边 BC 上 一 点 , 且 BD ? 2 DC, ?ADB ? 75? , ?ACD ? 30? ,

AD ? 2 .
(I) 求 CD 的长; (II)求 ?ABC 的面积.

17.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD / / BC ,?ADC ? 90? ,BA ? BC . 把 ?BAC 沿 AC 折起到 ?PAC 的位置,使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上, 如图 2 所 示. 点 E , F 分别为棱 PC , CD 的中点. (I) 求证:平面 OEF // 平面 APD ; (Ⅱ)求证: CD ? 平面 POF ; (Ⅲ) 在棱 PC 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P, O, C, F 四点距离相等?请说明理由.
P

B A C D
图1
C F 图2 E A O D

18.(本小题满分 13 分)

a 已知函数 f ( x ) ? ln x, g ( x ) ? ? (a ? 0) . x
( I ) 当 a ? 1 时 , 若 曲 线 y ? f ( x ) 在 点 M ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 与 曲 线 y ? g ( x ) 在 点

P( x0 , g ( x0 )) 处的切线平行,求实数 x0 的值;
(II)若 ?x ? (0,e] ,都有 f ( x ) ? g ( x ) ?

3 ,求实数 a 的取值范围. 2

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : 四个顶点. (I)求椭圆 C 的方程; (II) 若直线 y ? kx 交椭圆 C 于 A, B 两点, 且在直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上存在点 P , 使得 ?PAB 为等边三角形,求 k 的值.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是边长为 2,一内角为 60? 的菱形的 a 2 b2

20.(本小题满分 13 分) 设 A 是由 m ? n 个整数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负 数, 则改变该行 (或该列) 中所有数的符号, 称为一次 “操作” . (Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作” ,使得到的数表 每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次 “操作”后所得的数表(写出一种方法即可) ; 1 2 1 表1 3 0

?7
1

?2

(Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若经过任意一次“操作”以后,便可使得到的数表每行的各数之 .. 和与每列的各数之和均为非负整数,求整数 a 的值;

a

a2 ? 1
表2

?a a?2

?a 2 a2

2 ? a 1 ? a2

(Ⅲ) 对由 m ? n 个整数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A ,能否经过有限次“操作”以后, 使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (文科) 2013.5

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 B

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. ?1 ? i 12. 2 2

10.乙 13. ;( ? ,

11. ?16 或 16

1 2

π 2π ) 3 3

14. 1;0 ? k ? 2

注:11 题少写一个,扣两分,错写不给分 13 题开闭区间都对 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

15. (本小题满分 13 分) 解: (I)设 {an } 的公差为 d 因为 a1 ? 1 , S10 ? 所以 a1 ? 1, a10 ? 19 所以 d ? 2 所以 an ? 2n ? 1
2 (II)因为 Sn ? n ? 6n 2 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? (n ? 1) ? 6(n ? 1)

a1 ? a9 ? 10 ? 100 2

????????2 分 ????????4 分

????????6 分

所以 an ? 2n ? 7 , n ? 2

????????9 分

又 n ? 1时, a1 ? S1 ? ?5 ? 2 ? 7 所以 an ? 2n ? 7
2 所以 Sn ? an ? n ? 4n ? 7

????????10 分

所以 n2 ? 4n ? 7 ? 2n ,即 n 2 ? 6n ? 7 ? 0 所以 n ? 7 或 n ? ?1 , 所以 n ? 7 , n ? N ????????13 分

16. 解: (I)因为 ?ADB ? 75? ,所以 ?DAC ? 45? 在 ?ACD 中, AD ? 2 , 根据正弦定理有 所以 CD ? 2 (II)所以 BD ? 4 又在 ?ABD 中,

CD AD ? ? sin 45 sin 30?

????????4 分 ????????6 分 ????????7 分

?ADB ? 75? , sin 75? ? sin(45? ? 30? ) ?
所以 S?ADB ?

6? 2 4

????????9 分 ????????12 分 ????????13 分

1 AD ? BD ? sin 75? ? 3 ? 1 2 3 3 3?3 所以 S?ABC ? S?ABD ? 2 2 AC AD 同理,根据根据正弦定理有 ? ? sin105 sin30? 6? 2 而 sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? 4
所以 AC ? 3 ? 1 又 BD ? 4 , BC ? 6 所以 S?ABC ?

????????8 分 ????????10 分 ????????11 分 ????????13 分

1 3 3?3 AC ? BC ? sin 30? ? 2 2

17.解: (I)因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上 所以 PO ? 平面 ABC ,所以 PO ? AC 因为 AB ? BC , 所以 O 是 AC 中点, ???????3 分 ???????2 分

所以 OE / / PA 同理 OF / / AD 又 OE ? OF ? O, PA ? AD ? A 所以平面 OEF / / 平面 PDA (II)因为 OF / / AD , AD ? CD 所以 OF ? CD 又 PO ? 平面 ADC , CD ? 平面 ADC 所以 PO ? CD 又 OF ? PO ? O 所以 CD ? 平面 POF (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为 CD ? 平面 POF , PF ? 平面 POF 所以 CD ? PF 又 E 为 PC 中点,所以 EF ?

???????4 分

???????6 分

???????7 分

???????8 分

???????10 分 ???????11 分

1 PC 2

???????12 分

同理,在直角三角形 POC 中, EP ? EC ? OE ? 所以点 E 到四个点 P, O, C, F 的距离相等

1 PC , ???????13 分 2
???????14 分

18.解: (I)当因为 a ? 1 , f '( x ) ?

1 1 , g ( x) ? 2 x x

???????2 分

若函数 f ( x ) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与函数 g ( x ) 在点 P( x0 , g ( x0 )) 处的切线平行, 所以

1 1 ? 2 ,解得 x0 ? 1 x0 x0

此时 f ( x ) 在点 M (1,0) 处的切线为 y ? x ? 1

g ( x ) 在点 P(1, ?1) 处的切线为 y ? x ? 2
所以 x0 ? 1 (II)若 ?x ? (0,e] ,都有 f ( x ) ? g ( x ) ? 记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ???????4 分

3 2

3 a 3 ? ln x ? ? , 2 x 2

只要 F ( x ) 在 (0,e] 上的最小值大于等于 0

F '( x) ?

1 a x?a ? ? 2 x x2 x

???????6 分

则 F '( x ), F ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
F '( x )

(0, a )
?

a
0 极大值

(a, ??)

?
?

F ( x)

?

???????8 分 当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0,e) 上单调递减, F (e) 为最小值 所以 F (e) ? 1 ? 所以 a ? e

a 3 e ? ? 0 ,得 a ? 2 e 2
???????10 分

当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a,e) 上单调递增 ,

F (a ) 为最小值,所以 F (a ) ? ln a ?
所以 e ? a ? e 综上, e ? a

a 3 ? ? 0 ,得 a ? e a 2
??????12 分 ??????13 分

19.解:(I)因为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a 2 b2

一内角为 60? 的菱形的四个顶点, 所以 a ? 3, b ? 1 ,椭圆 C 的方程为 (II)设 A( x1 , y1 ), 则 B( ? x1 , ? y1 ), 当直线 AB 的斜率为 0 时, AB 的垂直平分线就是 y 轴,

x2 ? y2 ? 1 3

??????4 分

y 轴与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点为 P(0,3) ,
又因为 | AB |? 3,| PO |? 3 ,所以 ?PAO ? 60? , 所以 ?PAB 是等边三角形,所以直线 AB 的方程为 y ? 0 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设 AB 的方程为 y ? kx ??????6 分

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 所以 ? 3 ,化简得 (3k ? 1) x ? 3 ? y ? kx ?
所以 | x1 |?

3 3 3k 2 ? 3 ,则 | AO |? 1 ? k 2 ??????8 分 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

1 设 AB 的垂直平分线为 y ? ? x ,它与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点记为 P( x0 , y0 ) k
3k ? ? y ? ?x ? 3 ? x0 ? k ? 1 ? ? 所以 ? , 1 ,解得 ? y?? x ? ? y ? ?3 k ? ? 0 k ?1 ?
则 | PO |?

9k 2 ? 9 ( k ? 1) 2

??????10 分

因为 ?PAB 为等边三角形, 所以应有 | PO |? 3 | AO | 代入得到 |

9k 2 ? 9 3k 2 ? 3 ,解得 k ? 0 (舍) k ? ?1 ?????13 分 , ? 3 2 ( k ? 1) 3k 2 ? 1

此时直线 AB 的方程为 y ? ? x 综上,直线 AB 的方程为 y ? ? x 或 y ? 0 ??????14 分

20.解: (I) 法 1:

1

2 3 ?7 1

?2 1 0
法 2:

改变第4列 ????? ?

1

2 3

7

?2 1 0 ?1

改变第2行 ????? ?

1

2

3 7

2 ?1 0 1

1

2 3 ?7 1

?2 1 0
(写出一种即可)

改变第1列 ????? ?

?1 2 3 ?7 2 1 0 1

改变第4列 ????? ?

?1 2 3 2

7

1 0 ?1

???????3 分

(II)

每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果操作第三列,则

a

a2 ? 1

a 2?a

?a 2 a2

2 ? a 1 ? a2

则第一行之和为 2a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a ,

? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1, a ? 2 . ? ?5 ? 2 a ? 0
② 如果操作第一行

???????6 分

?a

1 ? a2

a

a2

2 ? a 1 ? a2

a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 解得 a ? 1 综上 a ? 1 ???????9 分 ???????10 分

(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得 数阵中 mn 个数之和增加,且增加的幅度大于等于 1 ? ( ?1) ? 2 ,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中 mn 个数之和必然小于等于 ?? | aij | ,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
i ?1 j ?1 m n

之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数, 故结论成立 ???????13 分


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