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(江苏版 第03期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题06 数列 理


江苏版(第 03 期)-2014 届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题 06 数 列
一.基础题组 1. 【江苏省诚贤中学 2014 届高三数学月考试题】在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的值 是 .

2. 【江苏省诚贤中学 2014 届高三数学月考试题】已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若
a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是



3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】 若 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, 且 S8 ? S3 ? 20 ,则 S11 的值为 .

4. 【江苏省灌云高级中学 2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 ,且

2a3 ? a72 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且 b7 ? a7 则 b6b8 =



5. 【江苏省灌云高级中学 2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】已知数列 {an } 满足:

a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0). 数列 {bn } 满足 bn ? an an?1 (n ? N *) 。
(1)若 {an } 是等差数列,且 b3 ? 12, 求 a 的值及 {an } 的通项公式; (2)当 {bn } 是公比为 a ? 1 的等比数列时,{an } 能否为等比数列?若能,求出 a 的值;若不能,请说明理由.

试题解析:解: (1) {an } 是等差数列, a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0),? an ? 1 ? (n ? 1)(a ? 1) .--- 2 分 又 b3 ? 12,? a3a4 ? 12,即(2a ? 1)(3a ? 2) ? 12 ,解得 a ? 2或a ? ? ,

5 6

a ? 0,? a ? 2.从而an ? n . ??????????6 分
(2)数列 {an } 不能为等比数列. ???????8 分

bn ? an an ?1 ,?

bn ?1 an ?1an ? 2 an ? 2 a ? ? , 则 n ? 2 ? a ? 1,? a3 ? a ? 1 , bn an an ?1 an an

???10 分

2 假设数列 {an } 能为等比数列,由 a1 ? 1, a2 ? a, 得a3 ? a ,

??????12 分

? a2 ? a ? 1,即a2 ? a ? 1 ? 0 , 此方程无解,?数列 {an } 一定不能为等比数列.???14 分
考点:1.等差数列的通项公式;2.等比数列的定义

6. 【江苏省灌云高级中学 2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 , 公比为 q ( q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项;数列 ?bn ? 满足 2n ? (t ? bn )n ?
2

3 bn ? 0 2

( t ? R, n ? N * ). (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)试确定 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列; (3)当 ?bn ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 ak 与 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列 ?cn ? . 设

Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m .

试题解析:解: (Ⅰ)因为 6a3 ? 8a1 ? a5 ,所以 6q2 ? 8 ? q4 , 解得 q2 ? 4或q2 ? 2 (舍) ,则 q ? 2 ??????3 分
n 又 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 ???????????5 分

7. 【南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试】已知等比数列 {an } 的首项为 和为 Sn ,若 A ? Sn ?

4 1 ,公比为 ? ,其前 n 项 3 3

1 ? B 对 n ? N * 恒成立,则 B ? A 的最小值为 Sn

8. 【南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试】 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 2 ,S6 ? 22 . (1)求 Sn ; (2)若从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } ,其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ①当 q 取最小值时,求 {k n } 的通项公式; ②若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6Sn ? kn ?1 有解,试求 q 的值.

? kn ?

, kn ? N * .

试题解析: (1)设等差数列的公差为 d ,则 S6 ? 6a1 ? 所以 S n ?

2 1 ? 6 ? 5d ? 22 ,解得 d ? ,??2 分 3 2

n(n ? 5) . 3

???4 分

(2)因为数列 {an } 是正项递增等差数列,所以数列 {a kn } 的公比 q ? 1 , 若 k 2 ? 2 ,则由 a 2 ?

a2 4 8 4 32 32 2 ? ,此时 a k3 ? 2 ? ( ) 2 ? ? ( n ? 2) , ,得 q ? ,由 a1 3 3 3 9 9 3

9. 【江苏省通州高级中学 2013-2014 学年度秋学期期中考试】 各项均为正数的等比数列 {an } 中,

a1 ?

1 a ? a ? ... ? am ? 8m (m ? 2, m ? N? ) ,若从中抽掉一项后,余下的 m-1 项之积为 (4 2)m?1 ,则被抽 8 1 2
▲_ 项.

掉的是第

10. 【江苏省通州高级中学 2013-2014 学年度秋学期期中考试】 设各项均为正实数的数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,且满足 4S n ? (an ? 1) 2 ( n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 的通项公式为 b n ? 求 t 和 m 的值; (Ⅲ) 证明: 存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形, 其三边长为 {an } 中的三项 an1 ,a n2 ,a n3 .

an (t ? N*) ,若 b1 , b2 , bm ( m ? 3, m ? N * )成等差数列, an ? t

角形的三边 an1 ? (2k ? 3) 2 , an2 ? (2k ? 3)(2k ? 5) , an3 ? (2k ? 5) 2 ,再利用三角形两边之和大于第三 边来判断能构成一个三角形;又欲证明它们互不相似,这是一个否定性命题,故不难想到运用反证法证明, 假设某两个三角形相似,用上述所设某两边代入并整理,可得 k1 ? k 2 ,与 k1 ? k 2 相矛盾,从而命题得证.

11. 【江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考】在等差数列 {an } 中,若 a7 ? a8 ? a9 ? 3 ,则该数 列的前 15 项的和为 【答案】15 【解析】 试题分析:对数列问题,能用性质的尽量应用性质解题可以更简捷,由等差数列的性质 .

a7 ? a8 ? a9 ? 3a8=3 , a8 ? 1 , S15 ? 15a8 ? 15 .
考点:等差数列的性质,等差数列 {an } 中, m ? n ? 2 p(m, n, p ? N *) ? am ? an ? 2ap

12. 【江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考】 设 f1 ( x) =
an = f n (0) - 1 ,则 a2014 ? f n (0) + 2

2 , fn+ 1 ( x) = f1[ f n ( x)] ,且 1+ x



13. 【江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考】设 A n ? ? , , ,

?1 3 5 ?2 4 8

,

2n ? 1 ? ? ? ? n ? N , n ? 2? , n 2 ?

A n 的所有非空子集中的最小元素的和为 S ,则 S =
?7 ?4 ,n ? 2 【答案】 ? 2 n ?1 ? , n ? 3, n ? N * ? 2
【解析】



试题分析:这个问题主要是研究集合 An 中的每个元素在和 S 中分别出现多少次,事实上,以 合

1 为例,集 2

14. 【江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考】已知函数 f ? x ? ? x ?1 ,设曲线 y ? f ? x ? 在点
2

? xn , yn ? 处的切线与 x 轴的交点为 ? xn?1,0? ,其中 x1 为正实数.
(1)用 xn 表示 xn ?1 ; (2) x1 ? 2 ,若 an ? lg

xn ? 1 ,试证明数列 ?an ? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; xn ? 1

(3)若数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?

n ? n ? 1? ,记数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn ,求 Tn . 2

? a2b1 ? a3b2 ?

? an?1bn ,两式相减,即 Tn ? qTn ,这个和是容易求得的.

a3 , a5 成等差数 15. 【苏北四市 2014 届高三第一次质量检测】 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 ,

列,且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 ,其中 k ? N ? ,则 S k ? 2 的值为



16. 【苏北四市 2014 届高三第一次质量检测】 已知数列 {a n} 满足 a1 ? x , a2 ? 3x ,
Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) , S n 是数列 {an } 的前 n 项和.

(1)若数列 {a n} 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项 a n ; (ⅱ)若数列 {b n} 满足 bn ? 2an ,数列 {c n} 满足 cn ? t 2bn? 2 ? tbn?1 ? bn ,试比较数列 {bn } 前 n 项和 Bn 与
{c n} 前 n 项和 Cn 的大小;

(2)若对任意 n ? N * , an ? an?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

试题解析:(1)(ⅰ)因为 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N*) ,所以 S3 ? S2 ? S1 ? 14 , 即 a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14 ,又 a1 ? x, a2 ? 3x ,所以 a3 ? 14 ? 9 x , ????????2 分

又因为数列 {a n} 成等差数列,所以 2a2 ? a1 ? a3 ,即 6 x ? x ? ?14 ? 9 x ? ,解得 x ? 1 , 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1? n ? N *? ; ????????4 分

17.【苏州市 2014 届高三调研测试】设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 已知 S5 = 5, S9 = 27, 则 S7 =





18. 【苏州市 2014 届高三调研测试】 设数列{an}满足 an?1 = 2an ? n ? 4n ? 1.
2

(1)若 a1 ? 3,求证:存在 f (n) ? an2 ? bn ? c (a,b,c 为常数) ,使数列{ an ? f(n) }是等比数列,并 求出数列{an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式.

试题解析:解(1)? an?1 ? 2an ? n 2 ? 4n ? 1, 设 an?1 ? a(n ? 1) 2 ? b(n ? 1) ? c ? 2(an ? an2 ? bn ? c), ???????? 2 分 也即 an?1 ? 2an ? an2 ? (b ? 2a)n ? c ? a ? b, ?? 4 分

19. 【江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考】 设等比数列 {an } 的公比为 q , 前 n 项和为 Sn . 则 “| q | ?

2 ”是“ S6 ? 7S2 ”

的条件.

20. 【江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考】 数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,且

a2 ? a6 ? a8 ,则

S5 ? a5



二.能力题组 1. 【 江 苏 省 兴 化 市 安 丰 高 级 中 学 2014 届 高 三 12 月 月 考 】 已 知 数 列 {an } 中 , a1 ? 3, 前n和

Sn ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2

(1)求证:数列 {an } 是等差数列 (2)求数列 {an } 的通项公式

? ? (3)设数列 ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立?若 ? an an?1 ?
存在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。

三.拔高题组 1. 【江苏省诚贤中学 2014 届高三数学月考试题】 已知 ?an ? 是首项为 a,公差为 1 的等差数列, bn ? 若对任意的 n ? N ,都有 bn ? b8 成立,则实数 a 的取值范围是
*

1 ? an . an



2. 【江苏省诚贤中学 2014 届高三数学月考试题】已知 a 为实数,数列 ?an ? 满足 a1 ? a ,当 n ? 2 时,

?an?1 ? 3 an ? ? ?4 ? an ?1

(an?1 ? 3) (an ?1 ? 3)



(Ⅰ) 当a ? 100 时,求数列?an ?的前 100项的和S100 ;(5 分)

(Ⅱ)证明:对于数列 ?an ? ,一定存在 k ? N ,使 0 ? ak ? 3 ;(5 分)
*

(Ⅲ)令 bn ?

n an 20 ? a 2 ? a ? 3 ,当 时,求证: bi ? . (6 分) ? n n 2 ? (?1) 12 i ?1

从而此时命题成立????????????????????(8 分) ③若 a1 ? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立???????????????????(10 分)


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