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2015-2016学年高中数学 3.2简单的三角恒等变换课时作业 新人教A版必修4


课时作业 29

简单的三角恒等变换
分值:100 分

时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1 1.下列各式中,值为 的是( 2 A.sin15°cos15° C. tan30° 2 1-tan 30° )

B.cos D.

2

π 2π -sin 6 6

1+cos60° 2

1 1 π 1 1 2tan30° 解析:A 中,原式= sin30°= ;B 中,原式=cos = ;C 中,原式= = 2 2 4 3 2 21-tan 30° 1 3 3 tan60°= ;D 中,原式=cos30°= ,故选 B. 2 2 2 答案:B 1 3 2.设 a= cos6°- sin6°,b=2sin13°cos13°,c= 2 2 A.c<b<a C.a<c<b B.a<b<c D.b<c<a 1-cos50° ,则有( 2 )

解析:由题意可知,a=sin24°,b=sin26°,c=sin25°,而 y=sinx 在[0°,90°] 上为增函数,∴a<c<b,故选 C. 答案:C π 1 2π 3.sin( -α )= ,则 cos( +2α )=( 6 3 3 7 A.- 9 C. 1 3 ) 1 B.- 3 D. 7 9

2π 2 π 解析:cos( +2α )=2cos ( +α )-1. 3 3 π π π ∵( -α )+( +α )= , 6 3 2 π π 1 ∴cos( +α )=sin( -α )= . 3 6 3 2π 1 2 7 ∴cos( +2α )=2?( ) -1=- . 3 3 9

1

故选 A. 答案:A π 2 4.设函数 f(x)=2cos x+ 3sin2x+a(a 为实常数)在区间[0, ]上的最小值为-4, 2 那么 α 的值等于( A.4 C.-4 解析:f(x)=2cos x+ 3sin2x+a =1+cos2x+ 3sin2x+a π =2sin(2x+ )+a+1. 6 π π π 7π 当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ], 2 6 6 6 1 ∴f(x)min=2?(- )+a+1=-4.∴a=-4. 2 答案:C π π 2 2 5.函数 y=cos (x- )+sin (x+ )-1 是( 12 12 A.周期是 2π 的奇函数 C.周期是 π 的奇函数 π π 2 2 解析:y=cos (x- )+sin (x+ )-1 12 12 π π 1+cos?2x- ? 1-cos?2x+ ? 6 6 = + -1 2 2 π π cos?2x- ?-cos?2x+ ? 6 6 = 2 π π π π cos2xcos +sin2xsin -cos2xcos +sin2xsin 6 6 6 6 = 2 = sin2x . 2 )
2

) B.-6 D.-3

B.周期是 π 的偶函数 D.周期是 2π 的偶函数

2π ∵T= =π ,且 sin(-2x)=-sin2x. 2 故选 C. 答案:C 6.若 sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ =0,则 sin(α +2β )+sin(α -2β )等
2

于(

) A.1 C.0 B.-1 D.±1

解析:∵sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ =sin(α +β -β )=sinα =0, ∴sin(α +2β )+sin(α -2β ) =2sinα cos2β =0. 答案:C 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) α α 2 α 2 π 7.(sin +cos ) +2sin ( - )的值等于________. 2 2 4 2 π 1-cos? -α ? 2 解析:原式=1+sinα +2? 2 =1+sinα +1-sinα =2. 答案:2 π 3 π 5π 2 8.已知:cos( -α )= ,则 sin (α - )-cos( +α )的值为________. 6 3 6 6 π 2 2 π 解析:∵sin (α - )=1-cos ( -α ) 6 6 =1-( 3 2 2 )= , 3 3

5π π cos( +α )=cos[π -( -α )] 6 6 π 3 =-cos( -α )=- , 6 3 π 5π 2 3 2+ 3 2 ∴sin (α - )-cos( +α )= + = . 6 6 3 3 3 2+ 3 答案: 3 α 9.设 α 是第二象限角,且 cos =- 2 角. π 解析:2kπ + <α <2kπ +π (k∈Z), 2 π α π ∴kπ + < <kπ + (k∈Z). 4 2 2 π -α α 2 1-cos ? ?,则 是第________象限 2 2

3



α 为第一、三象限角, 2 π -α 2 1-cos ? ?=- 2 cos
2

又- =-

1-sin

2

α 2

α α =cos , 2 2

α α ∴cos <0,即 为第三象限角. 2 2 答案:三 三、解答题(共计 40 分,其中 10 题 10 分,11、12 题各 15 分)
2θ 2cos -sinθ -1 2 10.已知 tan2θ =-2 2,π <2θ <2π ,求 . π 2sin?θ + ? 4 2θ 2cos -sinθ -1 2 cosθ -sinθ 解: = π cosθ +sinθ 2sin?θ + ? 4



1-tanθ , 1+tanθ 2tanθ =-2 2. 2 1-tan θ

∵tan2θ =-2 2,∴
2

∴ 2tan θ -tanθ - 2=0. ∴tan θ -
2

2 tanθ -1=0. 2 2 . 2

∴tanθ = 2或 tanθ =-

π ∵π <2θ <2π ,∴ <θ <π ,∴tanθ <0. 2 ∴tanθ =- 2 . 2

2 1-?- ? 2 ∴原式= =3+2 2. 2 1- 2 ?sinx-cosx?sin2x 11.已知函数 f(x)= . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.
4

解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ (k∈Z),故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ ,k∈Z}. 因 为 f(x) = π sin(2x- )-1, 4 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π π (2)函数 y=sinx 的单调递增区间为[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z). 2 2 π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,x≠kπ (k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,x≠kπ (k∈Z). 8 8 所以 f(x)的单调递增区间为 π 3π [kπ - ,kπ )和(kπ ,kπ + ](k∈Z). 8 8 12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1)sin 13°+cos 17°-sin13°cos17° (2)sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° (3)sin 18°+cos 12°-sin18°cos12° (4)sin (-18°)+cos 48°-sin (-18°)cos 48° (5)sin (-25°)+cos 55°-sin (-25°)cos 55° ①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数. ②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。 解:解法一: ①选择(2)式,计算如下: 1 2 2 sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1- sin30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 2 2 ②三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 3 3 1 3 1 2 2 2 2 =sin α + cos α + sinα cosα + sin α - sinα cosα - sin α 4 2 4 2 2
5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?sinx-cosx?sin2x = 2cosx(sinx - cosx) = sin2x - cos2x - 1 = 2 sinx

3 2 3 3 2 = sin α + cos α = . 4 4 4 解法二: ①同解法一. 3 2 2 ②三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) = 1-cos2α 1+cos?60°-2α ? + -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 2 2
2 2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- sinα cosα - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos2α + + cos2α + sin2α - sin2α - (1-cos2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos2α - + cos2α = . 4 4 4 4

6


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