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2.3.1离散型随机变量的均值


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复习回顾
(1)离散型随机变量的分布列:

X
P

x1

x2



xi



p1

p2



pi



(2)离散型随机变量分布列的性质: ①pi≥0,i=1,2,…; ②p1+p2+…+pi+…=1. 对于离散型随机变量,可以由它的概率分布 列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问 题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数 字特征.

2.3.1离散型随机变 量的均值

教学目标
知识与技能
(1)理解离散型随机变量均值的概念; (2)会计算简单的离散型随机变量的均值, 并解决一些实际问题.

过程与方法
(1)理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,以

及“若ξ B(n,p),则Eξ=np”;
(2)能熟练地应用它们求相应的离散型随 机变量的均值或期望.

情感、态度与价值观
承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体 现数学的文化功能与人文价值.

教学重难点
离散型随机变量的均值或期望的 概念.

重点

难点

根据离散型随机变量的分布列求 出均值或期望 .

思考

18



kg

24



kg

36



kg

某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36 元/kg的三种糖果按3:2:1的比例混合 ,如何对 混合糖果定价才合理?

由于平均每1kg的混合糖果中,3种糖果的质 量分别是1/2kg,1/3kg和1/6kg,所以混合糖果的

合理价格应该是
18× (1/2)+24× (1/3)+36× (1/6)=23(元/kg). 它是三种糖果价格的一种加权平均,这里的 权数分别是1/2,1/3和1/6.

权是秤锤,权数是起权衡轻重作用 的数值.加权平均是指在计算若干个数 量的平均数时,考虑到每个数量在总量 中所具有的重要性不同,分别给予不同 的权数.

如果混合糖果中每一颗糖果的质 量都相等,你能解释权数的实际含义 吗?

根据古典概型计算概率的公式可知,在混合 糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果为第一、二、 三种糖果的概率分别为1/2,1/3,1/6,即取出的 这颗糖果的价格为18元/kg,24元/kg或36元/kg的 概率分别是1/2,1/3,1/6.用X表示这颗糖果的价 格,则它是一个离散型随机变量,其分布列为 X 18 24 36

P

1/2

1/3

1/6

因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率.

知识要点
1.均值
一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X P 则称 x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn

为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型 随机变量的平均水平.

2. E(aX+b)=aE(X)+b
若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机 变量.因为 P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,…,n, 所以,Y的分布列为 X ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b

P

p1

p2



pi



pn

于是

E(Y)
= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b) pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn =aE(X)+b, 即

E(aX+b)=aE(X)+b

例题1
已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下 ξ P 4 0.02 5 6 7 0.09 8 9 10 0.22

0.04 0.06

0.28 0.29

在n次射击之前,可以根据这个分布列估计 n次射击的平均环数.

解:
由该射手射击所得环数ξ的分布列可知

E(ξ)
=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9 ×0.29+10×0.22 =8.32

所以,可以估计该射手n次射击的平均环数 为8.32.

例题2
随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数X的均值. x P 1 2 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6

1/6 1/6

1 1 1 7 解:  EX = 1 ? + 2 ? + ... + 6 ? = 6 6 6 2

例题3
在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得 0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他 罚球1次的得分X的均值是多少?

解:因为P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以
E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0) =1×0.7+0×0.3 =0.7

知识要点
2. 两点分布的均值
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么

E(X)=1×p+0× (1-p)=p.
于是有

若X服从两点分布,则E(X)=p.

3.二项分布的均值
如果X~B(n,p),那么由kCnk=nCn-1k-1,可得 E(X)=∑kCnkpkqn-k =∑ npCn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)
k=1
k=0 n n

=np∑Cn-1kpkqn-1-k
k=0

n-1

=np 于是有

若X~B(n,p),则E(X)=np.

例题4
一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选 择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答 案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错 不得分,满分100分. 学生甲选对任一题的概率为0.9, 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选 择一个. 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中 的成绩的均值.

解:
设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正 确答案的选择题个数分别是ξ和η,则 ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25), Eξ=20×0.9=18,Eη=20×0.25=5. 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次英 语测验中的成绩分别是5ξ和5η.所以,他们在测验中 的成绩的均值分别是

E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, E(5η)=5Eη=5×5=25.

例题5
某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不 超出4km时租车费为10元,若行驶路程超出4km, 则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按 lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送 旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转 换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是 一个随机变量.设他所收租车费为η.

(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式; (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为
ξ P 15 0.1 16 0.5 17 0.3 18 0.1

求所收租车费η的数学期望. (Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车 实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计 最多几分钟?

解:
(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10,即 η=2ξ+2; (Ⅱ)Eξ=15*0.1+16*0.5+17*0.3+18*0.1=16.4 ∵ η=2ξ+2 ∴ Eη= 2Eξ+2=34.8 (元) 故所收租车费η的数学期望为34.8元. (Ⅲ)由38=2ξ+2,得ξ=18,5(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 .

课堂小结
1. 期望的概念
E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn

2. 期望的意义
离散型随机变量的期望,反映了随机变量

取值的平均水平.

3. 期望的计算公式
E(aX+b)=aE(X)+b

4.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤
(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值; (2)求ξ取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,由期望的定义求出Eξ.

5. 两个特殊随机变量的均值
(1)二次分布的期望:Eξ=np; (2)两点分布的期望:Eξ=p.

高考链接
1. (2006年四川卷)设离散性随机变量 可能
取的值为1,2,3,4 ,P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3, 4)又ξ的数学期望Eξ=3,则a+b=
1 _______. 10

2.(2008年山东卷理18)甲乙两队参加奥运知识竞 赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢 得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均 为 ,乙队中3人答对的概率分别为 且各人正确与否 相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量ξ分布列和数学期望; (Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件,求P(AB).

(I)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,且
2 3 1 P(ξ = 0) = C0 ? (1 ) = , 3 3 27 2 2 2 2 P(ξ = 1) = C1 ? ? (1 ) = , 3 3 3 9 2 2 2 4 P(ξ = 2) = C2 ? ( ) ? (1 ) = , 3 3 3 9 2 3 8 P(ξ = 3) = C3 ? ( ) = , 3 3 27

所以ξ的分布列为
ξ P

0 1/27

1 2/9

2 4/9

3 8/27

所以ξ的数学期望为

Eξ = 0 ?

1 2 4 8 +1 ? + 2 ? + 3 ? = 2. 27 9 9 27

(II)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件, 用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件, AB=C∪D,C,D互斥.
2 2 2 ? 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? 10 P(C) = C2 ? ( ) ? (1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 4 , 3 3 3 ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3

4 P(D) = 5 , 3
10 4 34 34 P(AB) = P(C) + P(D) = 4 + 5 = 5 = . 3 3 3 243

课堂练习
1.填空
(1)某射手对目标进行射击,直到第一次命中为 止,每次命中率为0.6,现共有子弹4颗,命中后尚 剩余子弹数目ξ的数学期望是___________ . 2.376 (2)有两台在两地独立工作的雷达,每台雷 达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现 目标的雷达台数为ξ,则Eξ=___________ 1.75 .

2.选择
(1)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手 打出的分数如下:

9.4

8.4

9.4 9.9

9.6 9.4

9.7

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据 的平均值和方差分别为( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016

C.9.5,0.04



D.9.5,0.016

(2)口袋中有5只相同的球,编号为1、2、 3、4、5,从中任取3球,用ξ表示取出的球的 最大号码,则Eξ= ( ) A.4

(3)一个袋中装有大小相同的3个红球和2 个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个 数的均值是( ) A、0.4 B、 1 C、1.2 √ D、1.5



B.4.5

C.4.75

D.5

3.解答题
(1)离散型随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 0.01 100 0.99

①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值

解:① X = 1 + 100 = 50.5
② EX = 1? 0.01+100 ? 0.99 = 99.01
2

( 2)若一部机器在一天内发生故障的概

率为 0.2 ,机器发生故障时全天停止工作。一
周5个工作日里无故障可获利 10万元,发生一

次故障可获利5万元,发生两次故障没有利润,
发生三次或三次以上故障就亏损 2万元,求一 周内平均获利多少元? (保留三位有效数字).

解:设一周内机器发生故障的次数为ξ,则
ξ的分布列为: ξ
P(ξi)

0
0.85

1
C510.2×0.84

2

≥3

1- 0.85C520.22×0.83 C510.2×0.84C520.22×0.83 0 0.2048 -2 0.05792

那么,随机变量利润η的分布列为:
η P(ηi) 10 0.32768 5 0.4096

Eη=10×0.32768+5×0.4096+(2)×0.05792 =5.20896≈5.21

(3)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从 装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出 一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得 奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、 乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ表示甲、 乙两人摸球后获得的奖金总额,求: (1)ξ的分布列; (2)ξ的数学期望.

(1) ζ的所有可能的取值为0,10,20,50,60.
9 3 729 ) = ; 10 1000 1 9 9 18 243 P(ξ = 10) = ? ( )2 + ? 2 = ; 10 10 10 10 1000 P(ξ = 0) = (
1 18 18 ? 2 = ; 10 10 1000 9 1 9 P(ξ = 50) = ? 2 = ; 10 10 1000 1 1 P(ξ = 60) = 3 = ; 10 1000 P(ξ = 20) =

729 243 18 9 1 (2)Eξ = 0 ? +10 ? + 20 ? + 50 ? + 60 ? = 3.3 1000 1000 1000 1000 1000

习题解答
1. 不一定.比如掷一枚硬币,出现正面的次数X 是随机变量,它取值0,1,取每个值的概率都为 0.5,其均值是0.5,即不是1,也不是0.再比如随机 变量X的分布列为

X
P

-10
0.4

10
0.6

X的均值是2,而不是10.

2. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1 +5×0.1=2.3 3. X的分布列为 X P 所求均值为 -1 0.5 1 0.5

E(X)=-1×0.5+1×0.5=0.
4. 第1台机床生产零件的平均次品数

E(X1)=0×0.4=1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,

第2台机床生产零件的平均次品数
E(X2)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.

因为第2台机床生产零件的平均次品数E(X2) 小于第1台机床生产零件的平均次品数E(X1),所 以第2台机床更好,其实际意义是随产量的增加, 第2台机床生产出的次品数要比第1台机床生产出 的次品数小.
5. 同时抛掷5枚质地均匀的硬币,相当于做5次重 复试验,出现正面向上的硬币数X服从二项分布 B(5,0.5),所以E(X)=np=5×0.5=0.25.


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