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江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编13 等比数列及其前n项和 苏教版


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 13: 等比数列及其前 n 项和 (教师版)
填空题 1 . (江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a7 ? 3a3a4 , 则数列 {an } 的公比 q =____. 【答案】 3 2 . (江苏省苏南四校 2013 届高三 12 月月考试数学试题)设 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项的和,若

a3 ? 2a6 ? 0 ,则
1 【答案】 2
3

S6 的值是___________. S3

.( 2013 江 苏 高 考 数 学 ) 在 正 项 等 比 数 列 {an } 中 , a5 ?

1 , a6 ? a7 ? 3 , 则 满 足 2

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值为_____________.
【答案】解析:本题主要考察等比数列的有关概念及性质.指数函数二次函数的单调性.猜想与证明等 知识及推理论证能力. 由 a5 ?

1 ,及 a6 ? a7 ? 3 得方程组: 2
2 两式相除得: q ? q ? 6 ? 0 ,∴ q ? 2 ( q ? ?3 舍)∴ a1 ?

? 4 1 ?a1 q ? 2 ? 5 ?a q (1 ? q ) ? 3 ? 1

1 32

∵ a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an

a (1 ? q n ) n ∴ 1 ? a1 q1? 2???( n?1) 1? q
∴ 2 > 2 ?1 ? 2
n

∴ 2 ?1 ? 2
n

( n ?1)( n ?10 ) 2



n

( n ?1)( n ?10 ) 2

∴2 >2
x

n

( n ?1)( n ?10 ) 2



先通过②式利用函数 f ( x) ? 2 大致确定 n 的取值范围: ∴n ?

(n ? 1)( n ? 10) 13? 129 13? 129 2 ∴ n ? 13n ? 10 < 0 ∴ <n< 2 2 2
?

又∵ n ? N 且

13 ? 121 13? 129 13 ? 169 ? 12 < ? 13∴最大正整数 n 的值为 12 < 2 2 2
n

再通过①式利用函数 g (n) ? 2 ? 1 及 h(n) ? 2

( n ?1)( n ?10 ) 2

在区间 ?6,??? 上是单调性说明最大正整数 n
1

的值为 12 又∵ 2
12

?1 ? 2

(12 ?1)(12 ?10 ) 2

213 ? 1 < 2

(13 ?1)(13 ?10 ) 2

且函数 g (n) ? 2 ? 1 及 h(n) ? 2
n

( n ?1)( n ?10 ) 2

在区间 ?6,??? 上是单调增函数

∴最大正整数 n 的值为 12

h(n)

g (n)

4 . 江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ) ( 各项是正数的等比数列 {an } 中, a2 ,

1 a 3 , a1 成等差数列,则数列 {an } 公比 q= __. 2

【答案】

5 ?1 2
2

5 . (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 ,

a2 =1,则 a1 =
【答案】 a1 ?



.

a2 1 2 ? ? q 2 2

6 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)在 1 和 9 之间插入三个正数,使 这五个数成等比数列,则插入的三个数的和为______. 【答案】 4 3 ? 3 7 . (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)某厂去年的产值为 1,若计划在今后五年 内每年的产值比上年增长 10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产值约为_________.(保留 一位小数,取 1.15 ? 1.6 ) 【答案】6.6 8 . (2011 年高考(江苏卷) 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 )设 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________ 【答案】 【命题立意】本题主要考查的等差数列和等比数列的概念以及函数的相关知识,着重考查了学 生的推理论证能力、运算求解能力.
3

3 【解析】

2

当 m ? 1 时,q 取最小值 3 3 . 9 . (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )在等比数列{ an }中, 若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的值是__________. 【答案】4 10. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)若等比数列 ?an ? 满足 am?3 ? 4 且
2 am am?4 ? a4 ( m ? N * 且 m ? 4 ),则 a1a5 的值为________.

【答案】16 1 11. (江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题(数学)WORD 版)已知等比数列{an}的公比 q=- ,Sn 为 2 其前 n 项和,则 =_________. 【答案】-5 12. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)已知等比数列 {a n } 的前 n 项 和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是_____. 【答案】 ?2 13. (苏州市第一中学 2013 届高三“三模”数学试卷及解答)设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项 和为 Sn .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , Sk ? 63 ,则 k ? _____. 【答案】 6 14. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)各项均为正数的 等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a 3 取最小值时,数列 ?an ? 的通项公式 an=______. 【答案】 2 n ?1 15. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)正项等比数列{an}中, a3a11 =16,则 log2 a2 ? log2 a12 =______. 【答案】4; 16. (江苏省泰兴市 2013 届高三上学期期中调研考试数学试题)已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数,它的 前三项依次为 1, a ? 1 , 2a ? 5 则数列 ?an ? 的通项公式是 an =___________.
3

S4 a4

【答案】 an = 3

n?1

17 . (镇 江市 2013 届 高三上 学期 期末考 试数 学试题 )在 等比数 列 {an } 中 , S n 为 其前 n 项 和 ,已 知

a5 ? 2 S 4 ? 3 , a6 ? 2 S5 ? 3 ,则此数列的公比 q 为______.
【答案】 3; 18. (江苏省泰兴市 2013 届高三上学期期中调研考试数学试题)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ,满足

Sn ?

(an ? 1)2 ,则 S20 的值为____. 4

【答案】0.

19.2009 高考(江苏)) ( 设

令 | ( 2 , ? ?an ? 是公比为 q 的等比数列, q |? 1, bn ? an ? 1 n 1 ) 有连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q ? ___★___. 【答案】 【答案】 ?9 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减 1,观察即可得解.

?

若数列

?bn ?

20. (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题) 各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 若 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 ,则 a4 的取值范围是_________ 【答案】 ? ,8? 2 解答题 21. (江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) )已知等比数列 {an } 的首项

?9 ? ? ?

1 a1 ? 2012 ,公比 q ? ? ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn ,前 n 项积记为 ? (n) . 2
(Ⅰ)求数列 ?Sn ? 的最大项和最小项; (Ⅱ)判断 ?(n) 与 ?(n ? 1) 的大小,并求 n 为何值时, ? ( n) 取得最大值; (Ⅲ)证明 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些等差数列的 公差按从小到大的顺序依次设为 d1 , d2 , d3 ,?dn ,证明:数列 {dn } 为等比数列.

a1[1 ? (? 1 ) n ] 2 ? 2 a [1 ? (? 1 ) n ] 【答案】解:(Ⅰ) S n ? 3 1 2 1 ? (? 1 ) 2
2 n (1)当 n 是奇数时, Sn ? 2 a1[1 ? ( 1 ) ] , 单调递减,? S1 ? S3 ? S5 ? ??? ? S 2 n ?1 ? a1 , 3 2 n (2)当 n 是偶数时, Sn ? 2 a1[1 ? ( 1 ) ] , 单调递增,? S2 ? S4 ? S6 ? ??? ? S2 n ? a1 ; 3 2 3
综上,当 n=1 时, Sn有最大值为S1 ? 2012 ; 当 n=2 时, Sn有最小值为S2 ? 1006
4

3

2

(Ⅱ)? ?(n) |?| a1a2 a3 ?an | ,? |

| ? (n ? 1) | ?| an ?1 |? 2012( 1 )n , | ? ( n) | 2

? 2012 ? 1 ? 2012 , 211 210
则当 n ? 10 时, | ?(n ? 1) |?| ?(n) | ;当 n ? 11 时, | ?(n ? 1) |?| ?(n) | , 又 ?(10) ? 0, ?(11) ? 0, ?(9) ? 0, ?(12) ? 0 ,

? ?(n) 的最大值是 ?(9)和?(12) 中的较大者.
? ? (12) ? a10 a11a12 ? a113 ? [2011(? 1 )10 ]3 ? 1 ,??(12) ? ?(9) , ? (9) 2

因此当 n=12 时, ? ( n) 最大 (Ⅲ) | an | 随 n 增大而减小,数列 {an } 的奇数项均正数且递减,偶数项均负数且递增. ①当 n 是奇数时,调整为 an ?1 , an ? 2 , an .则

a a an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? 1 , 2an?2 ? 2a1 (? 1 )n?1 ? 1 , n 2 2 2 2 2n
? an?1 ? an ? 2an? 2 , an?1 , an? 2 , an 成等差数列;
②当 n 是偶数时,调整为 an , an ? 2 , an ?1 ;则

a a an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 , 2an?2 ? 2a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 , n 2 2 2 2 2n
? an?1 ? an ? 2an? 2 , an , an? 2 , an?1 成等差数列;
综上可知,数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列

3a1 ; 2 2 2n?1 3a ②n 是偶数时,公差 dn ? an?2 ? an ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n?1 ] ? n?11 . 2 2 2
①n 是奇数时,公差 dn ? an?2 ? an?1 ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n ] ? 无论 n 是奇数还是偶数,都有 d n ?

d 3a1 ,则 n ? 1 , n ?1 d n ?1 2 2

因此,数列 {dn } 是首项为 3 a1 ,公比为 1 的等比数列 4 2 22. 江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题) ( 设数列 ?an ? 的各项均为正数,其前 n 项 的和为 S n ,对于任意正整数 m , n , S m ? n ?

2a2 m (1 ? S 2 n ) ? 1 恒成立.
5

(1)若 a1 ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 及数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a4 ? a2 (a1 ? a2 ? 1) ,求证:数列 ?an ? 成等比数列. 【答案】

6

7


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