第 3 讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词 A级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1 (· 北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈 q”也是假命题，则 Q ( A 命题“綈 p∨q”是假命题 Q ) Q B 命题“p∨q”是假命题 Q C 命题“綈 p∧q”是真命题 Q D 命题“p∧綈 q”是真命题 Q 解析 由“綈 q”为假命题得 q 为真命题， 又“p∧q”是假命题， 所以 p 为假 命题，綈 p 为真命题 Q 所以命题“綈 p∨q”是真命题，A 错；命题“p∨q” 是真命题，B 错；命题“p∧綈 q”是假命题，D 错；命题“綈 p∧q”是真命 题，故选 C 答案 C 2 (· 吉林模拟)已知命题 p：有的三角形是等边三角形，则 Q Q ( ) Q A 綈 p：有的三角形不是等边三角形 Q B 綈 p：有的三角形是不等边三角形 Q C 綈 p：所有的三角形都是等边三角形 Q D 綈 p：所有的三角形都不是等边三角形 Q 解析 命题 p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所 以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定， 故有綈 p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选 D 答案 D 3 (· 开封二模)下列命题中的真命题是 Q Q ( ) Q 3 A ?x∈R，使得 sin x＋cos x＝2 Q B ?x∈(0，＋∞)，ex>x＋1 Q C ?x∈(－∞，0)，2x<3x Q D ?x∈(0，π)，sin x>cos x Q 3 ? π? 解析 因为 sin x＋cos x＝ 2sin?x＋4?≤ 2<2，故 A 错误；当 x<0 时，y＝2x ? ? π? ? 的图象在 y＝3x 的图象上方，故 C 错误；因为 x∈?0，4?时有 sin x<cos x，故 ? ? D 错误 Q 所以选 B Q 答案 B y2 4 (· 潍坊模拟)已知命题 p：?a0∈R，曲线 x ＋a ＝1 为双曲线；命题 q：x2－7x 0 2 Q ＋12＜0 的解集是{x|3＜x＜4} 给出下列结论：Q 命题“p∧q”是真命题；② Q 命题“p∧綈 q”是假命题；③命题“綈 p∨q”是真命题；④命题“綈 p∨綈 q”是假命题 A ②③ Q Q 其中正确的是________ B Q②④ Q Q Q C Q③④ D Q②③④ Q 解析 因为命题 p 和命题 q 都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题 “p∧綈 q”是假命题，命题“綈 p∨q”是真命题，命题“綈 p∨綈 q”是假 命题 Q 答案 D 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5 命题“存在 x∈R，使得 x2＋2x＋5＝0 成立”的否定是________ Q Q 答案 对任意 x∈R，都有 x2＋2x＋5≠0 6 (· 南通调研)存在实数 x， 使得 x2－4bx＋3b<0 成立， 则 b 的取值范围是________ Q Q 解析 要使 x2－4bx＋3b<0 成立，只要方程 x2－4bx＋3b＝0 有两个不相等的 3 实根，即判别式 Δ＝16b2－12b>0，解得 b<0 或 b> 4 ?3 ? 答案 (－∞，0)∪?4，＋∞? ? ? 三、解答题(共 25 分) 7 (12 分)写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈 p”形式的新命 Q Q 题，并判断其真假 Q (1)p：2 是 4 的约数，q：2 是 6 的约数； (2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分； (3)p：方程 x2＋x－1＝0 的两个实根的符号相同，q：方程 x2＋x－1＝0 的两实 根的绝对值相等 Q 解 (1)p∨q：2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数，真命题； p∧q：2 是 4 的约数且 2 也是 6 的约数，真命题； 綈 p：2 不是 4 的约数，假命题 Q (2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 綈 p：矩形的对角线不相等，假命题 Q (3)p∨q：方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题； p∧q：方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题； 綈 p：方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根符号不同，真命题 8 (13 分)写出下列命题的否定，并判断真假 Q Q Q (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形 Q 解 (1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题 (2)存在一个素数不是奇数，真命题 Q Q (3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题 (4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题 Q Q B级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1 (· 吉林二模)给出如下几个结论： Q Q 命题“?x∈R，cos x＋sin x＝2”的否定是“?x∈R，cos x＋sin x≠2”； 1 1 ②命题“?x∈R，cos x＋sin x≥2”的否定是“?x∈R，cos x＋sin x<2”； π? 1 ? ③对于?x∈?0，2?，tan x＋tan x≥2； ? ? ④?x∈R，使 sin x＋cos x＝ 2 Q 其中正确的为 A ③ Q ( Q ) Q B ③④ C ②③④ Q D Q②③④ Q 解析 根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知 Q ? π? 不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由 sin x＋cos x＝ 2sin?x＋4?∈[－ ? ? 2， 2]知④正确 答案 C 2 (· 江西六校联考)已知命题 p：“?x∈[1,2]都有 x