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高中数学知识点第五章-平面向量


高中数学第五章-平面向量 考试内容 向量 向量的加法 减法 实数 向量的 向量的数量 考试要求 1 理解向量的概念 掌握向量的几何表示 了解共线向量的概念 2 掌握向量的加法和减法 3 掌握实数 向量的 理解两个向量共线的充要条件 平面两点间的距离、平移 平面向量的坐标表示 线段的定 点 平面

4 了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算 5 掌握平面向量的数量 及其几何意 角度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 6 掌握平面两点间的距离公式 掌握平移公式 §05. 平面向量 知识要点 1“本章知识网络结构 及线段的定 点和中点坐标公式 并且能熟练运用 了解用平面向量的数量 可 处理有关长度、

?
2“向量的概念? (1)向量的基本要素 大小和方向“?(2)向量的表示 几何表示法 AB 坐标表示法 a 母表示 a



j

“?

(3)向量的长度 即向量的大小 记作|a|“?
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(4)特殊的向量 零向量 a 称 ? |a| 称“? 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO| 1“? (5)相等的向量 大小相等 方向相同?( (6) 相反向量 a义-b ? b义-a ? a+b义0 (7)平行向量(共线向量) 方向相同或相反的向量 共线向量“? 3“向量的运算? 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 为平行向量“记作 a∥b“平行向量也 为
1)

1

2

2

? x1 = x 2 ?? ? y1 = y 2

r r r r a+b =b+a
向量的 加法 1“平行四边形法则 2“ 角形法则

r r a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

r r r r r r ( a + b ) + c = a + (b + c )

AB + BC = AC
向量的 角形法则 减法 1“ 数 乘 2“ λ >0 时, 向 量

r r a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

r r r r a ? b = a + ( ?b)
uuu r uuu r AB = ? BA , OB? OA= AB r r

λa 是 一 个 向 量 , 满

r

r r 足: | λ a |=| λ || a |

λ ( ? a ) = (λ? ) a
r r r r (λ + ? ) a = λ a + ? a

λ a与a 同向;
r r

r r

λ a = ( λ x, λ y )

λ (a + b) = λ a + λ b
r r r r a // b ? a = λ b

r

r

r

r

λ 么0 时, λ a与a 异向; λ 义0 时, λ a = 0 “
r r

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向 量 的 数 量

r r a ? b 是一个数 r r r r 1“ a = 0或b = 0 时 r r a?b = 0 “ r r r r a ≠ 0且b ≠ 0时, 2“ r r r r a ?b =| a || b | cos(a, b) r r a ? b = x1 x2 + y1 y2

r r r r a?b = b?a
r r r r r r (λa) ? b = a ? (λb) = λ(a ? b) r r r r r r r ( a + b) ? c = a ? c + b ? c

r2 r u r a =| a |2 即|a|= x 2 + y 2 r r r r | a ? b |≤| a || b |

4“重要定理、公式 (1)平面向量基本定理?

e1 e2 是同一平面内两个 共线的向量 那
一对实数λ1

对于这个平面内任一向量

有且仅有

λ2 使 a λ1e1 λ2e2“?
(2)两个向量平行的充要条件?

a∥b ? a λb(b≠0) ? x1y2 x2y1 O“?
(3)两个向量垂直的充要条件?

a⊥b ? a·b O ? x1x2 y1y2 O“?
(4)线段的定 设点 P 点公式?

有向线段 P 1P 2 所成的 为λ 即 P 1P

λ PP2

则?

OP
? x= ? ? ? ?y = ? ?

1 OP 1 1+ λ

1 OP2 (线段的定 1+ λ

点的向量公式)?

x1 + λx 2 , 1+ λ (线段定 y1 + λy 2 . 1+ λ

点的坐标公式)?

当λ 1 时 得中点公式 ?

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OP

1 2

OP 1

OP2

x + x2 ? , x= 1 ? ? 2 或? ? y = y1 + y 2 . ? 2 ?

(5)平移公式 设点 P(x y)按向量 a 则 OP ′

h k 平移后得到点 P′ x′ y′

? x ′ = x + h, OP +a 或 ? ? y′ = y + k.
h k 平移后所得的曲线的函数解析式为

曲线 y f x 按向量 a

y k f x h)
(6)正、余弦定理? 正弦定理

a b c = = = 2 R. sin A sin B sin C
b2 c2 2bcco以A ?

余弦定理 a2

b2 c2 a2 2caco以B ? c2 a2 b2 2abco以C“?

7

角形面 计算公式 圆的半径

设△ABC 的 边为 a b c 其高 别为 ha hb hc 半周长为 P 外接圆、内 为 R 令“

S△义1”2aha义1”2bhb义1”2chc S△义1”2以inC·ab义1”2ac·以inB义1”2cb·以inA

S△义P令

S△义abc”4R 比海伦公式]

S△义 P (P ? a )(P ? b )(P ? c )

S△义1”2 b+c-a 令a比如 图]义1”2 b+a-c 令c义1”2 a+c-b 令b
比注] 到 角形 如图
A cD I B aE C
ra I c a E D ra ra

边的距离相等的点有 4 个 一个是内心 其余 3 个是旁心“ A
A
A b

E

F

c b

F b

B

C F

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a B

O

C B N

C

1图

图2

图3

图4

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心

S△义P令

图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心 S△义1”2 b+c-a 令a

附 重心 外心 内心 垂心 旁心

角形的五个 心 角形 条中线交点“ 角形 边垂直平 线相交于一点“ 角形 内角的平 线相交于一点“ 角形 边 的高相交于一点“ 角形一内角的平 线 另两条内角的外角平 线相交一点“
a+b+c ] 2

已知⊙O 是△ABC 的内 圆 若 BC义a AC义b AB义c 比注 以 为△ABC 的半周长,即 则

AE义 s ? a 义1”2 b+c-a BN义 s ? b 义1”2 a+c-b FC义 s ? c 义1”2 a+b-c

综合 述 由已知得 一个角的邻边的 线长 等于半周长减去对边 如图 4



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特例 已知在 Rt△ABC c 为斜边 则内 圆半径 令义

a+b?c ab = 2 a+b+c

如图 3 “

在△ABC 中 有 列等式成立 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C “ 证明 因为 A + B = π ? C , 所 在△ABC 中 D 是 BC
tan ( A + B ) = tan (π ? C )



tan A + tan B = ? tan C 1 ? tan A tan B

∴ 结论!

任意一点 则 AD 2 =

AC 2 BD + AB 2 BC ? BD ? DC “ BC

证明 在△ABCD 中 由余弦定理 有 AD 2 = AB 2 + BD 2 ?2 ? AB ? BD cos B L 在△ABC 中 由余弦定理有 cos B = 可得
AD 2 = AB 2 + BC 2 ? AC 2 L 2 AB ? BC



化简
A

AC 2 BD + AB 2 BC ? BD ? DC BC

斯德瓦定理

图5

若 AD 是 BC

的中线

ma =
ta = ha = 2 a

1 2b 2 + 2c 2 ? a 2 2
B 其中 p 为半周长 D C

若 AD 是∠A 的平 线 若 AD 是 BC △ABC 的判定 的高

2 bc ? p( p ? a ) b+c

p( p ? a )( p ? b )( p ? c )

其中 p 为半周长“

c 2 = a 2 +b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B 义 π
2

c2 c2

a 2 +b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B a 2 +b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B

π
2

π
2



证明

cos C =

a +b ?c 2ab
2 2

2

得在钝角△ABC 中

cos C p 0 ? a 2 +b 2 ?c 2 p 0, ? a 2 +b 2 pc 2

平行四边形对角线定理 对角线的平方和等于四边的平方和“
a + b 2 + a ? b 2 = 2( a 2 + b 2 )

空间向量 1.空间向量的概念 有大小和方向的量叫做向量 注

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空间的一个平移就是一个向量

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向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
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空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定 平面向量运算一样,空间向量的加法、减法

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数乘向量运算如

r v OB = OA + AB = a + b r r BA = OA ? OB = a ? b

r OP = λa (λ ∈ R)
运算律 加法交换律

r v v v a +b = b +a

加法结合律 数乘分配律 3 共线向量
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v r v v v v (a + b ) + c = a + (b + c )

λ ( a + b ) = λa + λ b

v

v

v

v

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行 向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线 或 a // b 一直线,也可能是平行直线. 4.共线向量定理及 推论 共线向量定理 空间任意两个向量 a 、 b 使 a =λ b . 推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那 对于任意一点 称, 点 P 在直线 l 的充要条件是存在实数 t 满足等式

r

r

v r

r

r

r

r

时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同

r

r

r

r

r r r r b ≠ 0 , a // b 的充要条件是存在实数λ,

r

r

r

r OP = OA + t a .
中向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
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r

5.向量 平面平行

r a 平行于平面 α ,记作

已知平面 α 和向量 a ,作 OA = a ,如果直线 OA 平行于 α 或在 α 内,那 我们说向量

r

uuu r

r

r a // α .

通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明 空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理 如 果 两 个 向 量 a, b
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r r

r r r p = xa + yb

共线, p

r

向 量 a , b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x, y 使

r r

推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ,使 uuur uuur uuur uuu r uuuu r uuur uuur ① MP = xMA + yMB 或对空间任一点 O ,有 OP = OM + xMA + yMB ①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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7 空间向量基本定理
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如果

个向量 a , b , c

r r r

共面,那

对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组

r

r r r r x, y, z ,使 p = xa + yb + zc
推论 设 O , A, B , C 是

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共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的 个

有序实数 x, y, z ,使 OP = xOA + yOB + zOC 8 空间向量的夹角及 表示
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uuu r

uuu r

uuu r

uuur
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在空间任取一点 O , 作 OA = a , OB = b , 则 ∠AOB 叫做向量 a 已知两非零向量 a , b ,

r r

uuu r

r r uuu

r

r


r r r b 的 夹 角 , 记 作 < a, b >

且 规 定 0 ≤< a , b >≤ π , 显 然 有 < a , b >=< b , a >

r r

r r

r r

π r r < a , b >= ,则 2
9.向量的模

r a

r b 互相垂直,记作

r r a ⊥b .

设 OA = a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作 10.向量的数量

uuu r

r

uuu r

r

r | a |.

r r r r rr a ? b = | a | ? | b | ? cos < a, b > . r r l 同方向的单位向量,作点 A 在 l
uuu r
或在 e 的射影 A′ ,

已知向量 AB = a 和轴 l , e 是 l 作点 B 在 l

uuu r

的射影 B ′ ,则 A′B′ 叫做向量 AB 在轴 l
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uuuu r

r

的正射影.

可以证明 A′B′ 的长度 | A′B ′ |=| AB | cos < a , e >=| a ? e | . 11.空间向量数量 的性质 1

uuuu r

uuuu r

uuu r

r r

r r

r r r r r a ? e =| a | cos < a , e > . 2

r r r r r r r a ⊥ b ? a ? b = 0 . 3 | a |2 = a ? a .

12.空间向量数量 运算律 1 (λ a ) ? b = λ ( a ? b ) = a ? (λ b ) . 2 a ? b = b ? a 交换律 分配律 . 空间向量的坐标运算 一 知识回顾 1 空间向量的坐标 空间直角坐标系的 x 轴是横轴 对应为横坐标 为纵轴

r

r

r r

r

r

r r

r r

3 a ? (b + c ) = a ? b + a ? c

r r

r

r r

r r

y 轴是纵轴 对应

z 轴是竖轴 对应为竖坐标 “

a ∥

a 义(a1,a2,a3), b = (b1 , b2 , b3 )

a + b = (a 1 ±b 1 ,a 2 ±b 2 ,a 3 ±b 3 ) λ a = (λa 1 , λa 2 , λa 3 )(λ ∈ R ) a ? b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
b ? a 1 = λ b 1 ,a 2 = λ b 2 ,a 3 = λ b 3 (λ ∈ R ) ?

a1 a 2 a 3 = = b1 b 2 b 3

a ⊥ b ? a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0

a = a ? a = a 1 2 +a 2 2 +a 3
r r r r a ?b cos < a , b >= r r = | a |?|b |

2

(用到常用的向量模 向量之间的转化
a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b3

a 2 = a?a ? a = a?a )

2 a1

2 2 2 2 + a2 + a3 ? b12 + b2 + b3

空间两点的距离公式

d = ( x 2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 + ( z 2 ? z1 ) 2 “

2 法向量 若向量 a 所在直线垂直于平面 α 如果 a ⊥ α 那 向量 a 叫做平面 α 的法向量“

则 这个向量垂直于平面 α

记作 a ⊥ α

3 用向量的常用方法 利用法向量求点到面的距离定理 如图 设 n 是平面 α 的法向量 AB 是平面 α 的一条射 线 其中 A ∈ α 则点 B 到平面 α 的距离为
| AB ? n | |n|
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利用法向量求二面角的平面角定理 设 n 1 , n 2

别是二面角 α ? l ? β 中平面 α , β 的法向量

则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 n 1 , n 2 方向相同 则为补角 n 1 , n 2 反方 则为其夹角 “
A ? B ∈ a, C ? D ∈ α

证直线和平面平行定理 已知直线 a ≠? 平面 α 则 a∥ α 的充要条件是

且 CDE

点 共线

在有序实数对 λ ? ? 使 AB = λ CD + ? CE “ 常设 AB = λ CD + ? CE 求解 若 λ, ? 在 则直线 AB
A

λ, ? 若 λ, ?

在即证

平面相交 “
B

n



B

α
C A



n1

C

D E

β n2

α

α

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