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江西省玉山县第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 文(重点班)


玉山一中 2015—2016 学年度第二学期高二第一次考试 数学试卷(7-8 班)
满分:150 分 考试时间:120 分钟

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. ) 1.下列说法正确的是(
2



A.命题“若 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆命题是“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ” B.命题“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的否命题是“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ” C.已知 a,b ? R ,则“ a ? b ”是“ | a |?| b | ”的充要条件 D.已知 a,b ? R ,则“ ab ? 0 ”是“ a ? 0 ”的充分条件 2.设集合 A={x∈R|x﹣2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x﹣2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.下列命题中是假命题的是( A. ?x ? (0, B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件 ) B. ?x0 ? R, sin x0 + cos x0 =2 D. ?x0 ? R, lg x0 =0

?
2

),x > sin x

C. ?x ? R,3x >0

x2 y 2 2 4.已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点,若椭圆的离心率 为 ,焦 a b 2
距 为 2,则线段 A. 的长是( B. )

2 2 3

4 2 3

C. 2

D.2

2 y2 5.已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 相交于 A,B 两点,若|AB|=2, a b

则该双曲线的离心率为( A.8
2

) B. 2 2 C.3 D. 3 2

6. 已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点, 点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是 (4,a ) ,则当 | a |? 4 时, | PA | ? | PM | 的最小值是( A. a2 ? 9 B. a 2 ? 9 ? 1 ) C. a ? 3 D. a2 ? 3

2 7.已知点 A 在抛物线 y ? 4 x 上,且点 A 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 ,则点 A 的个数为 ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

(0,b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( 8.若曲线 y ? x ? ax ? b 在点
2



A. a ? 1, b ? 1

B. a ? ?1, b ? 1

C. a ? 1, b ? ?1

D. a ? ?1, b ? ?1
1

9.曲线 y ? A.

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?
B.



2 9

1 9


C.

1 3
1 x ln 2

D.

2 3

10.下列求导运算正确的是(

1 1 )? ? 1 ? 2 x x x x C. (3 )? ? 3 ? log3 e
A. ( x ?

B. (log 2 x)? ?
2

D. ( x cos x)? ? ?2 sin x )

11.在 R 上可导的函数 f ( x ) 的图象如图示, f ?( x ) 为函数 f ( x ) 的导数,则关于 x 的不等式

x ? f ?( x) ? 0 的解 集为( A. (??,?1) ? (0,1)
B. (?1,0) ? (1,??) C. (?2,?1) ? (1,2) D. (??,?2) ? (2,??)

12.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在 R 上不是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. ? ? 3, 3 ?



?

?

B. (? 3, 3) D. (??, ? 3) ? ? 3, ??

C. (??, ? 3) ? ( 3, ??)

?

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)

?3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ? 2 2 2 13.设命题 p : ?2 x ? y ? 8 ? 0 ( x, y ? R ) ,命题 q : x ? y ? r ( x, y, r ? R, r ? 0 ) ,若命题 q ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
是命题 ? p 的充分非必要条件,则 r 的取值范围是 14.已知 f ( x) ? x2 ? 2 xf '(1) ,则 f ' (0) = 15.设椭圆 . 。

???? ???? x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 ,点 在椭圆上,且 F , F PF1 ? PF2 ? 0 , 1 2 a 2 b2

3 ,则该椭圆的离心率为 . 3 y2 2 ? 1右支上一点, M 、 N 分别是圆 16. P 为双曲线 x ? (x ? 4)2 ? y 2 ? 4 和 (x ? 4)2 ? y 2 ? 1 上的点, 15 则 | PM | ? | PN | 的最大值为________. tan ?PF1 F2 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17. (10 分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体 1000 名学生中随 机 抽取了 100 名学生的体检表,并得到如图的频率分布直方图.

2

(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在 5.0 以下的人数; (2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是 否有关系,对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的学生进行了调查,得到右表中数据,根据 表中的数据,能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? 附:

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18. (12 分)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小值和最小正周期;

(2) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 且 c ? 3 ,f ?C ?= 若向量 m 0, =(1 , sin A) 与向量 n =(2, sin B) 共线,求 a, b 的值.

??

?

0 19. (12 分) 如图, 三棱锥 P ? ABC 中,PB ? 底面 ABC ,?BCA ? 90 , PB ? BC ? CA ? 4 ,点 E 、F

分别为 PC 、 PA 的中点. (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求三棱锥 F ? ABE 的体积.

P

E

F B

C

A

3

20. (12 分)已知抛物线 y ? ? x 与直线 l : y ? k ( x ? 1) 相交于 A,B 两点.
2

(1)求证:OA⊥OB;

(2)当△OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值.

21. (12 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和 F2 ,且 | F1 F2 |? 2 ,
3 点 (1, ) 在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ?AF2 B 的面积为 相切圆的方程.
12 2 ,求以 F2 为圆心且与直线 l 7

22. (12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 m ?1 2 1 x ? x , g ( x) ? ? mx, m 是实数. 3 2 3

(1)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值,求 m 的值;

(2, ? ?) (2)若 f ( x ) 在区间 为增函数,求 m 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有三个零点,求 m 的取值范围.

4

玉山一中 2015—2016 学年度第二学期高二第一次考试 数学参考答案 (7-8 班) 1. D 2.C 3.B 4.B 5.C 15. 6.B 7.C 16.5 8.A 9.B 10.B 11.A 12.C

13. (0,

12 ] 5

14.-4

17. (1) 820 ; (2)在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系; (3) 试题解析: (1)设各组的频率为 fi (i ? 1, 2,3, 4,5,6) , 由图可知,第一组有 3 人,第二组 7 人,第三组 27 人, 因为后四 组的频数成等差数列, 所以后四组频数依次为 27, 24, 21,18 所以视力在 5.0 以下的频率为 3+7+27+24+21=82 人, 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000 ?

3 . 14

82 ? 820 100

(2) k ?
2

100 ? (41 ? 18 ? 32 ? 9)2 300 ? ? 4.110 ? 3.841 50 ? 50 ? 73 ? 27 73

因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系. 18. (1)最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? ; (2) a ? 1, b ? 2 . 试题解析: (1) 因为 f ( x) ?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 = sin(2 x ? ) ? 1 , 6 2 2
?
6 , k ? Z 时,

当 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z , 即 x ? k? ?

f ( x) 取得最小值 ?2 , f ( x) 的最 小正周期为 ? .
(2)由 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,得 C ?
2 2 由余弦定理得 a ? b ? ab ? 3 .

?
3



由向量 m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线,得 sin B ? 2sin A . 由正弦定理得 b ? 2a ,

??

?

?a 2 ? b2 ? ab ? 3 解方程组 ? ,得 a ? 1, b ? 2 . b ? 2a ?
19. (1)证明见解析; (2)

8 . 3

试题解析: (几何法) (1)? PB ? 底面 ABC , AC ? 平面 ABC ,所以 PB ? AC ,又 ?BCA ? 900 ,即

AC ? BC , 而 PB ? BC ? B , 所以 AC ? 平面 PBC , 又 BE ? 平面 PBC ,BE ? AC ,由 PB ? BC , E
是 PC 的中点,得 BE ? PC ,而 AC ? PC ? C ,? BE ? 平面 PAC ;

1 1 1 VF ? ABE ? VE ? ABF ? VE ? ABP ? VC ? ABP ? VP ? ABC 2 4 4
? 1 1 1 1 1 8 ? S ?ABC ? PB ? ? ? ? 43 ? . 4 3 4 3 2 3 1 . 6

20. (1)证明见解析; (2) ?

2 ? ? y ? ?x 2 试题解析: (1)证明:联立 ? ,消去 x,得 ky +y-k=0.设 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,则 y1 y ? k x ? 1 ? ? ? ?

+y2=-

1 2 2 2 ,y1·y2=-1.因为 y1 =-x1,y2 =-x2,所以(y1·y2) =x1·x2,所以 x1·x2=1,所以 x1x2 k

+y1y2=0,即 OA ? OB =0,所以 OA⊥OB. (2)设直线 l 与 x 轴的交点为 N,则 N 的坐标为(-1,0) , 所以 S△AOB=

??? ? ??? ?

1 |ON|·|y1-y2| 2



1 ×|ON|× 2
1 ×1× 2
2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2



1 ? 4 = 10 , k2

解得 k =

1 1 ,所以 k=± . 6 36

x2 y 2 ? ?1 2 2 3 21. (1) 4 ; (2) ( x ? 1) ? y ? 2 .

x2 y2 ? ?1 试题解析: (1)椭圆 C 的方程为 4 3
3 3 (2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,- 2 ) ,B(-1, 2 ) , ? A F2 B 的面积为 3,不合题意.
②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代 入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,
x1 ? x 2 ? ? 8k 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) x x ? 1 2 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k 2 ,可得|AB|= 3 ? 4k 2



12 | k | k 2 ? 1 12 2 1 2 3 ? 4k 2 又圆 F2 的半径 r= 1 ? k ,∴ ? A F2 B 的面积= 2 |AB| r= = 7 ,
4 2 化简得:17 k + k -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2

2|k |

2

2

22. (Ⅰ)0; (Ⅱ) (﹣∞,1]; (Ⅲ) (﹣∞,1﹣ 试题解析: (Ⅰ)f′(x)=x ﹣(m+1)x,
2

) .

由 f(x)在 x=1 处取到极大值,得 f′(1)=1﹣(m+1)=0, ∴m=0, (符合题意) ; (Ⅱ)f′(x)=x ﹣(m+1)x, ∵f(x)在区间(2,+∞)为增函数, ∴f′x)=x(x﹣m﹣1)≥0 在区间(2,+∞)恒成立, ∴x﹣m﹣1≥0 恒成立,即 m≤x﹣1 恒成立, 由 x>2,得 m≤1, ∴m 的范围是(﹣∞,1]. (Ⅲ)h(x )=f(x)﹣g(x)=
2

1 3 m ?1 2 1 x﹣ x +mx﹣ , 3 2 3

∴h′(x)=(x﹣1) (x﹣m)=0,解得:x=m,x=1, m=1 时,h′(x)=(x﹣1) ≥0,h(x)在 R 上是增函数,不合题意, m<1 时,令 h′x)>0,解得:x<m,x>1,令 h′(x)<0,解得:m<x<1, ∴h(x)在(﹣∞,m) , (1,+∞)递增,在(m,1)递减,
2

∴h(x)极大值=h(m)=﹣ m + m ﹣ ,h(x)极小值=h(1)= 要使 f(x)﹣g(x)有 3 个零点,

3

2

m ?1 , 2

? 1 3 1 2 1 ? m ? m ? ?0 ? ? 6 2 3 需? ,解得:m<1﹣ 3 , ? m ?1 ? 0 ? ? 2
∴m 的范围是(﹣∞,1﹣ 3 ) .


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