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江苏省南京市2014届高三第三次模拟考试数学试题 Word版含解析


一、填空题(每题 5 分,满分 70 分,将答案填在答题纸上)
1. 已知全集 U=R,集合 A={x|x≤-2,x∈R},B={x|x<1,x∈R},则(?UA)∩B= ▲ .

2 2 2. 已知(1+ ) =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 a+b= i





3. 某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测,甲校有学生 800 人,乙校有学生 500 人,现用分层抽 样的方法在这 1300 名学生中抽取一个样本.已知在甲校抽取了 48 人,则在乙校应抽取学生人数为 ▲ .

4. 现有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 共五张牌,从这五张牌中随机取 2 张牌,则所取 2 张牌均为红心的概率 为 ▲ .

5. 执行右边的伪代码,输出的结果是





6.已知抛物线 y =2px 过点 M(2,2),则点 M 到抛物线焦点的距离为

2





π 7. 已知 tanα =-2, ,且 <α <π ,则 cosα +sinα = 2





8. 已知 m,n 是不重合的两条直线,α ,β 是不重合的两个平面.下列命题:

①若 α ⊥β ,m⊥α ,则 m∥β ; ③若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α ; 其中所有真命题的序号是 ▲ .

②若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β ; ④若 m∥α ,m?β ,则 α ∥β .

π π 9. 将函数 f(x)=sin(3x+ )的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x) 4 3 π 2π 在[ , ]上的最小值为 3 3 ▲ .

10. 已知数列{an}满足 an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),它的前 n 项和为 Sn.若 S9=6,S10=5,则 a1 的值为 ▲ .

a6 ? a1 ? a2 ; a7 ? a1 ; a8 ? a2 ,如此下去,则可发现它的规律周期为6的数列,又 S6 ? 0 ,则 S13 ? a1 ,

故 11. 已知函数 f (x)=?
?x,x≥0, ?x ,x<0,
2

,则关于 x 的不等式 f(x )>f(3-2x)的解集是

2





→ → 12. 在 Rt△ABC 中,CA=CB=2,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN= 2,则 CM · CN 的取值范围为 ▲ .

13. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1) +y =4,P 为圆 C 上一点.若存在一个定圆 M,过 P 作圆 M 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,当 P 在圆 C 上运动时,使得∠APB 恒为 60?,则圆 M 的方程 为 .

2

2

PM ? 2 AM ? 2r ,联想圆的定义知:点 M 和点 C 重合,又 PC ? 2 ,则 r ? 1 ,故圆 M:( x ?1)2 ? y 2 ? 1 .
源:学。科。网]

[来

考点:1.圆的定义;2.圆的几何性质;3.直线和圆的位置关系 14. 设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a, b, c 为常数)的导函数为 f′(x). 对任意 x∈R, 不等式 f(x)≥f′(x) 恒成立,则
2

b2 的最大值为 a +c2
2





三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
tanB 2c 15. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 +1= . tanA a (1)求 B; π 1 (2)若 cos(C+ )= ,求 sinA 的值. 6 3

16. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,O 为 AC 与 BD 的交点,AB?平面 PAD,△PAD 是正三角形,

DC//AB,DA=DC=2AB.
(1)若点 E 为棱 PA 上一点,且 OE∥平面 PBC,求 的值; (2)求证:平面 PBC?平面 PDC.

AE PE

∶OC=AE ∶EP 结合比例线段关系即可求得 的知识易得: AO

AE 1 ? ;(2)中要证明面面垂直,根据面 PE 2

由 DF ? PC,DF ? FB,PC ? FB=F,PC、FB ? 平面PBC ,所以 DF ? 平面PBC .

17. 某种树苗栽种时高度为 A(A 为常数)米, 栽种 n 年后的高度记为 f(n). 经研究发现 f(n)近似地满足 f(n) 2 9A 3 = ,其中 t=2 ,a,b 为常数,n∈N,f(0)=A.已知栽种 3 年后该树木的高度为栽种时高度的 3 a+btn 倍. (1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的 8 倍; (2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.

2 9A 所以 f(n)+ ,其中 t ? ? 3 . 1? 8? tn

第 n 年的增长高度为 ?=f ? n?-f (n- 1)=

9A 9A ? . ……………………9 分 n 1 ? 8 ? t 1 ? 8 ? t n ?1

18. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭圆的半焦距,且 c= 2b.过点 P 作 两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程.

x2 y2 a b

两种情况分类讨论:当 x1+x2=0 时,再利用 PM ? PN ,可转化为 PM ? PN =0 ,进一步确定出两点的坐

???? ? ??? ?

(3)设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,则

因为 PM ? PN ,所以 PM ? PN =0 ,得 y12=( x1+ 1)2+ 1.

???? ? ??? ?

19. 已知函数 f(x)=lnx-mx(m∈R). (1)若曲线 y=f(x)过点 P(1,-1),求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值; (3)若函数 f(x)有两个不同的零点 x1,x2,求证:x1x2>e .
2
[来源:Z|xx|k.Com]

函数的最小值大于零,即可得证.

(3)不妨设 x1>x2>0 .因为 f ? x1 ?=f ? x2 ?= 0 ,所以 lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0 ,

20. 已知 a,b 是不相等的正数,在 a,b 之间分别插入 m 个正数 a1,a2,…,am 和正数 b1,b2,…,

bm,使 a,a1,a2,…,am,b 是等差数列,a,b1,b2,…,bm,b 是等比数列. a3 5 b (1)若 m=5, = ,求 的值; b3 4 a

[来源:学*科*网]

(2)若 b=λ a(λ ∈N ,λ ≥2),如果存在 n (n∈N ,6≤n≤m)使得 an-5=bn,求 λ 的最小值及此时 m 的值; (3)求证:an>bn(n∈N*,n≤m).

*

*

1 .当 n ? N *,n ? m 时, 的大小关系不确定,故要对其分类讨论:①当 b>a 时, q>

S m ?1 S n ? .即 m ?1 n

因为 ?,m,n ? N ,所以 1+
*

(? ? 1)( n ? 5) 为有理数. m ?1

(3)设 cn>0 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项的和.

南京市 2014 届高三年级第三次模拟考试 数学Ⅱ(附加题)

21.A.选修 4—1:几何证明选讲 已知圆 O 的内接△ABC 中,D 为 BC 上一点,且△ADC 为正三角形,点 E 为 BC 的延长线上一 点,AE 为圆 O 的切线,求证:CD =BD·EC.
2

21.B.选修 4—1:矩阵与变换 已知矩阵 A=?

[来源:Zxxk.Com]

?a k? ? k? -1 ? (k≠0)的一个特征向量为 α =? ?,A 的逆矩阵 A 对应的变换将点 - 1 ? ? 0 1 ? ?

(3,1)变为点(1,1).求实数 a,k 的值.

21.C.选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 M 是椭圆 + =1 上在第一象限的点,A(2,0),B(0,2 3) 4 12 是椭圆两个顶点,求四边形 OAMB 的面积的最大值.

x2

y2

考点:1.椭圆的参数方程;2.三角函数的图象性质 21.D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a,b,c∈R,a +2b +3c =6,求 a+b+c 的最大值.
2 2 2

1 22. 如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=AB= 2,点 M,N 分别在线段 PA 和 BD 上,BN= BD. 3 1 (1)若 PM= PA,求证:MN⊥AD; 3 π (2)若二面角 M-BD-A 的大小为 ,求线段 MN 的长度. 4

空间直角坐标系.

??? ? 1 n ? OP 所以 cos =| ??? ? | ,解得 ? ? , 2 4 |n||OP |

?

[来源:学§科§网]

23. 已知非空有限实数集 S 的所有非空子集依次记为 S1,S2,S3,……,集合 Sk 中所有元素的平均 值记为 bk.将所有 bk 组成数组 T:b1,b2,b3,……,数组 T 中所有数的平均值记为 m(T). (1)若 S={1,2},求 m(T); (2)若 S={a1,a2,…,an}(n∈N ,n≥2) ,求 m(T).
*

1 1 1 1 ? Cn ?11 ? Cn ?1 2 ? ? ? Cn ?1n ? 1 n 3 n = 2 ? ai ………………………………………6 分 i ?1 C n 1 ? Cn 2 ? C n 3 ? ? ? C n n


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