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4.1.2 圆的一般方程1优质课



圆的一般方程

复习圆的标准方程
1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. 其中圆心坐标为C(a,b),半径为r.
2.当圆心在坐标原点上,这时a=b=0, 那么圆的方程为x2+y2=r2. 3.圆的标准方程的两个基本要素: 是 圆心坐标 和 半径 .

圆的一般方程

研究圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
将圆的标准方程展开,化简,整理,可得 x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0, 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 也就是说: 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程 的形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
请大家思考一下,反过来讲,形 如①的方程的曲线是否一定 是一个圆呢?下面我们来深 入研究这一方面的问题.

研究二元二次方程表示的图形
再将上述方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
得(x+
D 2
2

圆的一般方程
2 2

①左边运用配方法,

)2+(y+ E 2
2

)2= D ? E ? 4F
4



D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (1)当D +E -4F>0时,②式可化为(x+ 2) +(y+ 2 ) =( )2 2 D E 1 2 D ? E 2 ? 4F 为半径的圆. 方程表示以(- 2 ,- 2 )为圆心、以 2 显然②是不是圆方程与 D2 ? E2E? 4F D 2 2 2 是什么样的数 (2)当D +E -4F=0时,②式可化为(x+ 2 ) +(y+ 2 )2=0 4

D D E E 方程只有实数解x=- ,y=- ,表示一个点 (- ,- ). 密切相关 2 2 2 2
2 2

(3)当D +E

D 2 E 2 -4F<0时,②式可化为(x+ 2) +(y+ 2 ) <0

方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.

得结论、给定义

圆的一般方程

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹.

我们把D2+E2-4F>0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的 圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2明确指出了圆心和半径 学过两种形式的圆的方 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 突出了形式上的特点: 程(标准方程和一般方程 ) (1)x2和y2的系数相同 ,且不等于0 之后,谁能指出它们各自 (2)没有xy这样的二次项 . 的优点呢? 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的 必要不充分条件条件. 充要条件 是什么呢?

例题分析

圆的一般方程

例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求 出这个圆的圆心坐标和半径. 分析:圆的一般方程需确定三个系数,用待定系数法. 方法:待定系数法 2 2 解:设所求的圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0,因为O、M1、M2 和配方法 三点在圆上,所以它们的坐标是方程的解 ,

?F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ? 4D ? 2E ? F ? 20 ? 0 ?

解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0.

∴所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0. 将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52, 于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5.

圆的一般方程

例题分析
例2.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆 C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹. 解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2), 半径为2.设P(x,y)是轨迹上任意一点.∵CP⊥MP
y?2 y ∴kCP?kMP=-1,即 x ? 3 ? x ? 6 =-1.

化简得x2+y2+3x-2y-18=0, 点C在曲线上,并且曲线为圆C内部的一段圆弧.

课堂练习

圆的一般方程

注意:圆(x-a)2+(y-b)2=m2的半径是|m|. 1.补充练习: (1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3) 为圆心,4为半径的圆.求D、E、F的值
答案:D=4,E=-6,F=-3

(2)求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆 的方程. 待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.

课时小结

圆的一般方程

通过本节学习,首先要掌握圆的一般方程,能 进行圆的一般方程与圆的标准方程的互化. 其次,还应该根据已知条件与圆的两种形式的 方程的不同特点灵活选取恰当的方程,再利用待 定系数法和配方法求解. 若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程; 若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一 般方程.


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