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高一数学必修一 1.2.2 函数的表示法


第1课时 函数的表示法

1

问题
初中学过哪些函数的表示方法?
课本1.2.1节的三个实例分 别用了哪些表示方法?其 各自的优点是什么?

2

(1)炮弹发射 h=130t-5t2 (0≤t≤26) (解析法) (2)南极臭氧层空洞 (图象法)

(3)恩格尔系数

(列表法)

3

1. 解析法: 把两个变量的关系, 用一个等式 表示, 这个等式就叫做函数的解析式.

如 : S ? 60t , A ? ? r , S ? 2? rl ,
2 2

y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

优点: ①函数关系清楚、精确;②容易从自变量的 值求出其对应的函数值;③便于研究函数的性质。 解析法是中学研究函数的主要表达方法。
4

2. 图象法:
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 如:一次函数y=kx+b (k<0、b>0) 的图象是一条直线;
O x y

优点:能形象直观地表示出函数的变化趋势,
是今后利用数形结合思想解题的基础.
5

下图是我国人口出生率变化曲线.

图象法可以较好反映函数的哪些要素? 定义域,值域
6

3. 列表法:
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
如:平方表,平方根表,汽车、火车站的里程价目 表、银行里的“利率表”等。 优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函

数的对应值,当自变量的值的个数较少时使用,列
表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
7

列表法 观察下面的表格,思考下列问题(a,b,c∈R):

x y

a 0

b 0

c 0

1.上述表格表示y是x的函数吗? 提示:是.根据函数的定义知,对x每取一个确定的值, y都有唯一的值与之相对应,因此y是x的函数.

8

2.所有的函数都能用列表法来表示吗? 提示:并不是所有函数都能用列表法来表示,如 函数y=2x+1,x∈R.因为自变量x∈R不能一一列出,

所以不能用列表法来表示.

9

某种笔记本的单价是5元,买 x ? x ? ?1, 2,3, 4,5?? 个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数 例1

y=f(x).
解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5} 用解析法表示为 y ? 5x, x ? ?1, 2,3, 4,5? 列表法表示如下:
笔记本 数x

1

2

3

4

5

钱数y

5

10

15

20 25

用图象法可将函数表示为右图: 函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折 10 线、离散的点等等。

(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的 取值范围? 函数的定义域是函数存在的前提,写函数解析式 的时候,一般要写出函数的定义域. (2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么?

本题中的图象为什么不是一条直线?
列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线)
11

变式1

如图,把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料, 如果矩形的一边长为xcm,面积为ycm2,把y表示为x的 函数.
A D

B

x

C

y ? x 2500 ? x , (0 ? x ? 50)
2

12

例4. 下表是某校高一(1)班三名同学在高一 学年六次数学测试的成绩及班级平均分表.

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况 13 做一个分析.

分析:从表中可以知道每位同学在每次测试 中的成绩,但不太容易分析每位同学的成绩变化 情况.如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系 用函数图象表示出来,那么就能比较直观地看到 成绩变化的情况.

14

y

一、函数的三种表示法
王伟

班 平 均 分 张城

赵磊
1 0 2 3 4 5 6
15

x

0

王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习 情况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均 分水平上下波动,而且波动幅度较大.
赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的成 绩曲线呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.
16

【提升总结】
作函数图象时应注意的事项:

(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域
内作图;

(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线
来衬托整个图象; (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐 标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心 点.
17

针对练习(课本23页 2)
下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下 的那个图象写出一件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家 里找到了作业本再上学;D (2)我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽 搁了一些时间; A (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加 速.B
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

时间

时间

时间

时间

(A)

(B)

(C)

(D)

18

例5 画出函数y=|x|的图象.
解:由绝对值的概念,我们有

y=

x, x≥0, -x, x<0.

y

1

0

1

x
19

1. 画出下列函数图象: (1) f (x) ? 2x, x ? R, 且 x ? 2; (2) f (x) ? x ? 2,(x ? N, 且 x ? 3);

解:(1)

y 4

?

(2)

2

?2

?1 O ?2

1

2

x

?

?4

20

2.某路公共汽车,行进的站数与票价关系如下表:
行进的站 数x 票价y

1

2

3

4
1

5
1

6
1

7

8

9

0.5 0.5 0.5

1.5 1.5 1.5

此函数关系除了用列表法表示之外,能否用其他方法 表示? 解:
? 0.5, ? y ? ?1, ?1.5, ? x ? {1, 2,3}, x ? {4,5,6}, x ? {7,8,9}.
21

探究点4 求函数解析式 一、函数的解析式: 把两个变量的函数关系,用一个等式来表示, 这个等式就叫函数的解析式,简称解析式. 二、求函数解析式的常用方法有: 1.代入法 2.待定系数法

3.换元法(构造法)
4.消元法
22

例3 已知f(x)是一次函数,f(f(x))=4x-1,求 f(x)的解析式.

解:设f(x)=kx+b(k≠0)
则 f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b =k2x+kb+b=4x-1
? ? k2 ? 4 ? k ? ?2 ? ? 或 则有 ? ? 1 ? b ? ? ? b ?1 ? ?kb ? b ? ?1 3 ? k?2

待定系 数法

1 ? f (x) ? 2x ? 或f (x) ? ?2x ? 1 3

适合:已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反

比例函数等)求函数解析式.

23

【变式练习】
已知二次函数 f(x)的图象过点 A(0,-5),B(5,0),其对称 轴为 x=2,求其解析式.

[解析]

因为抛物线的对称轴为 x=2,

所以设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+k(a≠0). 把(0,-5)、(5,0)分别代入上式得
? ?- 5 = 4 a + k ? ? ?0 = 9 a + k ? ?a=1 ,解得? ? ?k=-9



所以解析式为 y=(x-2)2-9.
24

[点评]
求二次函数解析式时, (1)若已知对称轴或顶点坐标; 常设配方式 f(x)=a(x-m)2 +n(a≠0); (2) 若 已 知 f(x) 过 三 点 , 常 设 一 般 式 f(x) = ax2 + bx + c(a≠0); (3)若已知 f(x)与 x 轴两交点横坐标为 x1、 x2 , 常设分解式, f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

25

例4

2 f (x ? 1) ? x ? 2x ? 2 ,求 f (x). 已知

解: 令t = x +1, 则x = t-1
∴f ?t? = ?t-1? + 2?t-1? + 2 = t2 +1
2

换元法

?f ? x ? = x +1
2

适合:已知f(g(x))的解析 式,求f(x).
26

1 x 例3.函数f ( ) ? ,求f ( x)的解析式。 2 x 1? x
分析:构造法求函数解析式,主要是要抓住给出的表达式的特征。 此题要把
1 x 1 x

看着一个整体,把所给表达式中的x都改成

的形式。

1 x x 解析:f ( ) ? ? ?函数的解析式为f ( x) ? 2 , x ? ?1且x ? 0。 2 x 1 ? x ( 1 )2 ?1 x ?1 x

1 x

点评:

构造法

已知f [ g ( x)]表达式,只需在表达式中把x构造成g ( x).即得f ( x)解析式。 27

练习

f (3)及f ? x? , f ? x ? 3?

2 f ( x ? 1 ) ? x ? 2 x ? 2 ,求 已知

解: 方法一:f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 2 2 ? x ? 2x ?1 ?1 ? ( x ? 1) 2 ? 1
2

构造法

f ? 3? ? 10 ? f ( x) ? x ? 1 2 2 ? y ? f ? x ? 3? ? ( x ? 3) ?1 ? x ? 6x ?10
28

? x ? 1, 则x ? t ? 1 2 2 ? f ? t ? ? f ? x ? 1? ? ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1 2 ? f ? x? ? x ?1 t 方法二:令
? y ? f ? x ? 3? ? ( x ? 3) ?1 ? x ? 6x ?10
2 2

换元法

注意点:注意换元的等价性 ,即要求出 t 的取值范围
29

例5

1 已知 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? x( x ? 0),求 f (x). x

1 ? 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? ? x 解:由 ? ?3 f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? 1 ? x x ?
3x 2 ? ( x ? 0) 解得 f ( x) ? 5 5x

消元法

1 适合: 同时含有 f (x)与f ( ),或f (x)与f (? x)的表达式. x
30

1.已知函数f(x)由表给出:

x -1 f(x) 4 则f(2)的值为( D )
A.4 B.2 C.0

0 2
D.1

1 0

2 1

5 2 x+ 1 2.函数 y= 的图象过点(p,4),则实数 p=______. 2 x- 1
31

1.已知反比例函数f(x),满足f(3)=-6,求f(x)的解析式. 解:设反比例函数

k k f(x) = (k≠0),则f(3)= = -6. x 3 解得k = -18. 18 故f(x)= - . x

32

1 x 2. 若f ( ) ? , 求f (x). 2 x 1? x

1 1 解 : 设t ? , 则x ? (t ? 0), x t
1 t t f (t) ? ? 2 t2 ?1 ?1? 1? ? ? ?t?
? f (x) ? x (x ? 0,x ? ?1). x2 ?1

33

3.已知 f (x) ? 2f (?x) ? 3x ? x2 , 求f(x)的解析式.
2 ? f (x) ? 2f ( ? x) ? 3x ? x 解:? ? 2 ? ?f (? x) ? 2f (x) ? ?3x ? ? ? x ?

1 2 ? f ? x ? ? x ? 3x. 3

34

4. 作出下列函数的图象,并求值域:

(1) y=x2-2x(x∈[0,3)); x ? ? -1,0≤x≤2 (2)y=?2 . ? ?2x-4,2<x≤3

35

[解析]

(1)因为 0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线

y=x2-2x 介于 0≤x<3 之间的一部分,如图所示. 值域为[-1,3). (2)分别画出 0≤x≤2 时和 2<x≤3 时的图象,如图所示. 值域为[-1,2].

36

1.函数的三种表示方法的优缺点比较
优点
解 析
一是简明、全面地概括了变 量间的关系;二是通过解析式可

缺点
不够形象、直观、具体,而

以求出任意一个自变量所对应的

且并不是所有的函数都能用解析
式表示出来 它只能表示自变量取较少的 有限值的对应

法 函数值 列 表
不需要计算就可以直接看出 与自变量的值相对应的函数值



能形象、直观地表示出函数的变
化情况

关系




只能近似地求出自变量的值所对
应的函数值,而且有时误差较大
37

2.函数的三种表示方法相互兼容和补充,许多函数
是可以同时用这三种方法来表示的,但在实际操作

中,仍以解析法和图象法为主.

38


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