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2-5-1~2夹角的计算课件(北师大版选修2-1)


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徐 见 明 2012.12. 2

§5 夹角的计算 5.1 直线间的夹角

自学导引 1.直线间的夹角 当两条直线 l1 与 l2 共面时,我们把两条直线交角中,范围在 0, π 2 内的角叫作两直线的夹角.

当直线 l1 与 l2 是异面直线时, 在直线 l1 上任取一点 A 作 AB∥l2, 我们把直线 l1 和直线 AB 的夹角叫作

异面直线l1与l2的夹角



空间直线由一点和一个方向确定,所以空间两条直线的夹角由 它们的 方向向量 的夹角确定.

已知直线 l 1 与 l2 的方向向量分别为 s1,s2. π 当 0≤〈s 1,s2〉≤ 时,直线 l1 与 l2 的夹角等于〈s1,s2〉 ; 2 π 当 <〈s1,s2〉≤π时,直线 l 1 与 l2 的夹角等于 π-〈s1,s2〉. 2

点睛 利用向量求直线间的角 (1)线线角:直线与直线所成的角 θ ,如两直线的方向向量分 别为 a,b ,则 cos θ=|cos〈a,b 〉|.

? 例1如图在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=2 ? BC=1,AA'=3.求对角线AC'和侧面对角线A'D的夹角θ的余弦值

z A’ A’

D’

B’

C’ O(A) Dy

B x

C

? 解法一(坐标法) ? 因为A(0,0,0) , C'(2,1,3),A'(0,0, 3),D(0,1,0),所以

AC ' ? ( 2,1,3), A' D ? (0,1,?3)因此 cos? ? cos ? AC ', A' D ? 8 4 35 ? ? ? 35 140 AC ' A' D AC ' ? A' D

解法二(基向量法)

设 AA' ? a, ? b, AD ? d为一个基底 AB 则 AC ' ? a ? b ? d , A' D ? d ? a故 cos? ? cos ? AC ', A' D ? ? | (a ? b ? d ) ? (d ? a) | a?b?d d ?a 4 35 故 cos? ? 35

A
B'

'

z

D
C'

'

N'

M'
Dy N

O(A) B x

C

M

? 方法三(几何法) ? 如图在长方体ABCD-A'B'C'D'的基础上补长 方体CDNM-C'D'N'M'使其与长方体ABCDA'B'C'D'全等,连结C'M,AM因A'D//C'M ? 所以AC'与C'M的夹角即为所求,在三角形 2 2 2 AC'M中因 AC ' ? MC ' ? AM

cos ? AC ' M ?

2 AC '?MC ' 4 35 4 35 ? 所以 cos? ? 35 35

本题从三个不同的角度进行了求解,体会它们的区别 与联系,几何法要添加辅助线,而向量法中建立坐标系是很常 用的,主要是集中在运算上.

误区警示 因忽略了异面直线所成角与向量夹角的关系而出错 【示例】 在长方体 ABCD ?A1 B1C1D1 中, AB=a, BC=b, AA1=c, 求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值.

[错解] 以点 D 为坐标原点,建立如右图所示的空间直角坐标 系,则 B(b,a,0),D1(0,0,c),B1(b,a,c),C(0,a,0), → → → 所以BD1=(-b,-a,c),B1C=(-b,0,-c),从而 cos<BD1, → → BD1·B1C → b2-c2 B1C>= → → = 2 2 2 . 2+c2 a +b +c · b |BD1||B1C| 所 以 , 所 求 异 面 直 线 BD1 和 B1C 的 夹 角 的 余 弦 值 为 b2-c2 . 2 2 2 2 2 a +b +c · b +c

? 本题错解的主要原因是:(1)忽略了异面直 线所成角的范围是,其余弦值应具有非负 性;(2)误把两向量和所成的角看作两异面 直线所成的角.

→ → [正解] 同错解得 cos?〈BD1, 1C〉?= B

b2-c2 a2+b2+c2· b2+c2

所求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值为 |c2-b2| . 2 2 2 2 2 a +b +c · b +c .

? 课后小结 ? 1.直线夹角的概念 ? 2.直线间夹角与直线的方向向量间夹角的关 系 ? 3.如何用直线的方向向量计算两直线间的夹 角的余弦值

思考题:三棱柱 OAB-O1A1B1 中,平面 OBB1O1⊥平面 OAB, ∠O1OB=60°,∠AOB=90°且 OB=OO1=2,OA= 3.求异 面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值.


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