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2018版高中数学人教B版必修二学案:第二单元 2.2.4 点到直线的距离 Word版含答案


2.2.4 学习目标 点到直线的距离 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式,并能灵活应 用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法. 知识点一 点到直线的距离 思考 1 你能说出求点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离的一个解题思路吗? 思考 2 根据思考 1 的思路,点 P 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d 怎样用 A,B,C 及 x0,y0 表示? 思考 3 点到直线的距离公式对于当 A=0 或 B=0 时的直线是否仍然适用? 梳理 点到直线的距离及公式 (1)定义:点到直线的________的长度. (2)图示: (3)公式:d=________________. 知识点二 两条平行直线间的距离 思考 直线 l1:x+y-1=0 上有 A(1,0)、B(0,1)、C(-1,2)三点,直线 l2:x+y+1=0 与直线 l1 平行,那么点 A、B、C 到直线 l2 的距离分别为多少?有什么规律吗? 梳理 两条平行直线间的距离及公式 (1)定义:夹在两平行线间的________________的长. (2)图示: (3)求法:转化为点到直线的距离. (4)公式:两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d= |C1-C2| . A2+B2 类型一 点到直线的距离 例 1 (1)求点 P(2,-3)到下列直线的距离. 4 1 ①y= x+ ;②3y=4;③x=3. 3 3 (2)求过点 M(-1,2),且与点 A(2,3),B(-4,5)距离相等的直线 l 的方程. 反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式. ②当点 P 在直线 l 上时,点到直线的距离为 0,公式仍然适用. ③直线方程 Ax+By+C=0,当 A=0 或 B=0 时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标 轴垂直),故也可用数形结合求解. (2)当用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意. 跟踪训练 1 (1) 若 点 (4 , a) 到 直 线 4x - 3y = 0 的 距 离 不 大 于 3 , 则 a 的 取 值 范 围 为 ________________. (2) 已 知 直 线 l 过 点 P(3,4) 且 与 点 A( - 2,2) , B(4 , - 2) 等 距 离 , 则 直 线 l 的 方 程 为 ________________________. 类型二 两平行线间的距离 例 2 (1)两直线 3x+y-3=0 和 6x+my-1=0 平行,则它们之间的距离为____________. (2) 已知直线 l 到直线 l1 : 2x - y + 3 = 0 和 l2 : 2x - y - 1 = 0 的距离相等,则 l 的方程为 ________________. 反思与感悟 求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线 l1:y= |b1-b2| kx+b1,l2:y=kx+b2,且 b1≠b2 时,d= 2 ;当直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+ k +1 C2=0 且 C1≠C2 时,d= |C1-C2| A2+B2 .但必须注意两直线方程中 x,y 的系数对应相等. 跟踪训练 2 (1)求与直线 l:5x-12y+6=0 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程; (2)两平行直线 l1,l2 分别过 P1(1,0),P2(0,5),若 l1 与 l2 的距离为 5,求两直线方程. 类型三 利用距离公式求最值 命题角度1 由点到直线的距离求最值 例 3 已知实数 x,y 满足 6x+8y-1=0,则 x2+y2-2y+1的最小值为________. 反思与感悟 解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义,将“数”转化为“形”,从而 利用图形的直观性加以解决. 跟踪训练 3 (1)动点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,求|OP|最小时点 P 的坐标; (2)求过点 P(1,2)且与原点距离最大的直线方程. 命题角度2 有关两平行线间距离的最值 例 4 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕着点 A,B 旋转,如果 两条平行直线间的距离为 d. (1)求 d 的取值范围; (2)求 d 取最大值时,两条直线的方程. 反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离,通过两点间的距离利用数形结合思 想得到两平行线间距离的最值. 跟踪训练 4 已知 P,Q 分别是直线 3x+4y-5=0 与 6x+8y+5=0 上的动点,则|PQ|的最小 值为( A.3 C. 3 2 ) B. 3 3 D. 2 1.已知点(a,1)到直线 x-y+1=0 的距离为 1,则 a 的值为( A.1 C. 2 B.-1 D.± 2 ) 2.直线 x-2y-1=0 与直线 x-2y-C=0 的距离为 2 5,则 C 的值为( A.9 C.-11 B.11 或-9 D.9 或-11 ) 3.已知点 M(1,2),点 P(x,y)在直线 2x+y-1=0 上,则|MP|的最小值是( A. 10 C. 6 3 5 B. 5 D.3 5 ) 4.两平行直线 3x+4y+5=0 与 6x+ay+30=0 间的距离为 d,则 a+d=________. 5.直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是________________. 1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值,利用点到直线的距离公式,解题 时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程,有时需结合图形,数形结合,使问题更清晰. 3.已知两平行

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