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第一章 1.2 1.2.2 第一课时 函数的表示法_图文


1.2

第 一 章

函 数 及 其 表 示

1.2.2

第 一 课 时
函 数 的 表 示 法

1 理解教 材新知 2 突破常 考题型

知识点

题型一
题型二

函数 的表 示法

3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
随堂即时演练 课时达标检测

1.2

函数及其表示

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1.2.2

函数的表示法

第一课时

函数的表示法

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函数的表示法
[提出问题]
(1)如图是我国人口出生率变化曲线:

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(2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表 污染源距离 氰化物浓度 50 0.678 100 0.398 200 0.121 300 0.05 500 0.01

问题1:实例(1)中的图能表示两个变量之间存在函数关系 吗?如果能,自变量是什么? 提示:能.表示出生率是年份的函数,其中年份为自变 量.
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问题2:实例(2)中的表格能表示两个变量之间存在函数关 系吗?如果能,定义域是什么?值域是什么? 提示:能.表示浓度是距离的函数.其中,定义域为 {50,100,200,300,500},值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}.

问题3:实例中的函数关系能否用解析式表示?
提示:不能.并不是所有的函数都有解析式.

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[导入新知]

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[化解疑难] 三种表示方法的优缺点比较
优 解析 法 点 缺 点 一是简明、全面地概括了变量间的 不够形象、直观,而且并 关系;二是可以通过用解析式求出 不是所有的函数都可以用 任意一个自变量所对应的函数值. 量的值相对应的函数值. 解析式表示. 的有限值的对应关系.

列表 不通过计算就可以直接看出与自变 它只能表示自变量取较少 法 图象 法 直观形象地表示出函数的变化情况, 只能近似地求出自变量所 有利于通过图形研究函数的某些性 对应的函数值,有时误差 质. 较大.
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函数的表示方法
[例 1] (1)某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累

了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表 示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( )

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(2)已知函数 f(x)按下表给出, 满足 f[f(x)]>f(3)的 x 的值为 ________. x f(x)
[解析]

1 2

2 3

3 1

(1)由题意可知, 一开始速度较快, 后来速度变慢,

所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离 校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为 0.

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(2)由表格可知 f(3)=1,故 f[f(x)]>f(3)即为 f[f(x)]>1. ∴f(x)=1 或 f(x)=2, ∴x=3 或 1.
[答案] (1)D (2)3或1

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[类题通法] 理解函数的表示法应关注三点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法,无论 用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念. (2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在 于是否满足函数的定义. (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充,许多函数是可 以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.

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[活学活用] 1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车, 若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图 象可能是

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解析:由这一过程中汽车的速度变化可知, 速度由小变大→保持 匀速→由大变小. 速度由小变大时,路程曲线上升得越来越快,曲线显得陡峭;匀 速行驶中路程曲线上升速度不变; 速度由大变小时, 路程曲线上 升得越来越慢,曲线显得平缓.

答案:A

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2.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出.

x f(x)

1 2

2 1

3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1

(1)f[g(1)]=________;

(2)若g[f(x)]=2,则x=________.

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解析:(1)由表知 g(1)=3, ∴f[g(1)]=f(3)=1; (2)由表知 g(2)=2,又 g[f(x)]=2,得 f(x)=2, 再由表知 x=1.

答案:(1)1

(2)1

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函数图象的作法及应用
[例 2] 作出下列函数的图象并求出其值域.

(1)y=2x+1,x∈[0,2]; 2 (2)y=x,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2].

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[解] (1)列表: x 0 1 3 1 2 2 2

y 1 2 3 4 5

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当 x∈[0,2]时,图象是直线 y=2x+1 的一部分,观察图象可 知,其值域为[1,5].

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(2)列表 x y 2 1 3 2 3 4 1 2 5 2 5 ? ?

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2 当 x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数 y=x的一部分,观察 图象可知其值域为(0,1].

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(3)列表: x y -2 -1 0 -1 0 0 1 3 2 8

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画图象, 图象是抛物线 y=x2+2x 在-2≤x≤2 之间的部分.

由图可得函数的值域是[-1,8].

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[类题通法] 1.作函数图象的三个步骤 (1)列表.先找出一些有代表性的自变量 x 的值,并计算出 与这些自变量相对应的函数值 f(x),用表格的形式表示出来. (2)描点. 把第(1)步表格中的点(x, f(x))一一在坐标平面上描 出来. (3)连线.用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序 连接起来. 备注: 所选的点越多画出的图象越精确, 同时所选的点应该 是关键处的点.

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2.常见函数图象的画法技巧 (1)对于一次函数的图象,描出与坐标轴的交点,连线即得; (2)对于二次函数的图象,描出与坐标轴的交点、顶点,连 线即得.

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[活学活用] 作出下列函数图象: (1)y=1-x(x∈Z 且|x|≤2); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
解:(1)因为 x∈Z 且|x|≤2, ∴x∈{-2,-1,0,1,2}. 所以图象为一直线上的孤立点(如图(1)).

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(2)∵y=2(x-1)2-5,∴当 x=0 时,y=-3; 当 x=3 时,y=3;当 x=1 时,y=-5. 所画函数图象如图(2).

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3.函数解析式的求法

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[典例]

(1)已知函数 f(x)是一次函数,若 f[f(x)]=4x+8,求

f(x)的解析式. (2)已知 f(x)是二次函数, 且满足 f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x, 求 f(x)的解析式.

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[解] (1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 又 f[f(x)]=4x+8, ∴a2x+ab+b=4x+8,
2 ? ?a =4, 即? ? ?ab+b=8

a=2, ? ? ? ?a=-2, ,解之得? 8 或? ? b= , ?b=-8. ? ? 3

8 ∴f(x)=2x+ 或 f(x)=-2x-8. 3

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(2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(0)=1,∴c=1. 又∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 整理得:2ax+(a+b)=2x. 由恒等式性质知上式中对应项系数相等.
? ?2a=2, ∴? ? ?a+b=0,

解得 a=1,b=-1,

∴f(x)=x2-x+1.

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[多维探究] 上例为“已知函数的类型,求函数的解析式”的问题.解 决此类问题的方法是待定系数法,即引入参数设出函数的解析 式, 然后利用条件确定所设的参数的具体值, 即可求出其结果. 对于函数解析式的求解还有如下几种类型,应注意掌握. 1.已知 f(x)的解析式,求 f[g(x)]的解析式 解决此类问题的方法为“直接代入法”,直接代入法主要 解决已知 f(x)的解析式,求 f[g(x)]的解析式的问题,其解法为 用 g(x)替换 f(x)解析式中的所有自变量 x.
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例:已知 f(x)=2x2+1,求 f( x+1)的解析式.
解:因为 f(x)=2x2+1, 所以 f( x+1)=2( x+1)2+1=2x+4 x+3.

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2.已知 f[g(x)]的解析式,求 f(x)的解析式 解 决 此 类 问 题常 见 的方 法 有 “ 整 体代 入 法 ” 和 “ 换 元 法”.“整体代入法”是把 g(x)视为一个整体,将 f[g(x)]的解 析式转化为含 g(x)的表达式,然后直接整体代换 g(x),即可求 出解析式,此种方法不必求出 x,可以减少运算量.“换元法” 是通过引入参数 t 进行式子的变形,从而得到 f(x)的表达式,这 是解此类型题的通法.

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例:求下列函数的解析式: 1+x 1+x2 1 ①已知 f( x )= 2 +x,求 f(x); x ②已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x). 1+x 1 1 解:①法一:(换元法) 令 t= x =x+1,得 x= , t- 1
1+x 1+x2 1 1 则 t≠1.把 x= 代入 f( )= 2 + ,得 x x x t- 1 1 2 1+? ? t- 1 1 f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1. 1 2 1 ? ? t- 1 t- 1 ∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).
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法二:(配凑法) 1+x 1+x2+2x-2x 1 ∵f( x )= +x x2 1+x 2 1+x-x =( x ) - x 1+x 2 1+x =( x ) - x +1, ∴f(x)=x2-x+1. 1+x 1 又∵ x =x+1≠1, ∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1(x≠1).
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②法一:(换元法) 令 x+1=t(t≥1),则 x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2 ?t-1?2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). 法二:(配凑法) ∵x+2 x=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1. 又∵ x+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).

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1 3.已知的式子中含有 f(x),f(x)或 f(x),f(-x)形式的函数, 求 f(x)的解析式. 解决此类问题的方法为“方程组法”,即用-x 替换 x,或 1 用x替换 x,组成方程组进行求解.
例:①已知 af(x)+f(-x)=bx,其中 a≠± 1, 求 f(x); 1 ②已知 f(x)-2f(x)=3x+2,求 f(x).

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解:①在原式中以-x 替换 x,得 af(-x)+f(x)=-bx,
? ?af?x?+f?-x?=bx, 于是得? ? ?af?-x?+f?x?=-bx.

bx 消去 f(-x),得 f(x)= . a-1 b 故 f(x)的解析式为 f(x)= x. a-1

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1 1 3 ②在原式中用x替换 x,得 f(x)-2f(x)=x+2, 3 ? 1 ?f?x?-2f?x?=x+2, 于是有? ?f?x?-2f?1?=3x+2. x ? 1 2 消去 f(x),得 f(x)=-x-x-2.

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[随堂即时演练] 1.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的 乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终 点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终 点…….用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,

则下图中的st函数图象与故事情节相吻合的是(

)

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解析:由于兔子中间睡了一觉,所以有一段路程不变,而 乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点,故选B. 答案:B
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2.函数 y=f(x)的图象如图, 则 f(x)的定义域 是 A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-1,0) ( )

解析:由图象知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞).

答案:C

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3.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O、A、B的坐标 分别为(0,0)、(1,2)、(3,1),则f[f(3)]的值等于________.

解析:据图象知f(3)=1,∴f[f(3)]=f(1)=2. 答案:2

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4.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)=6x+4,则 f(x)= ________.
解析:设 f(x)=kx+b(k≠0),则 3f(x+1)=3[k(x+1)+b]
? ?3k=6, =3kx+3k+3b=6x+4,所以? ? ?3k+3b=4,

k=2, ? ? 2 解得? 所以 f(x)=2x- . 2 3 b=- , ? 3 ?
2 答案:2x- 3
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5.(1)已知函数f(x)=x2,求f(x-1); (2)已知函数f(x-1)=x2,求f(x). 解:(1)f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1.

(2)法一(配凑法)

因为f(x-1)=x2=(x-1)2+2(x-1)+1,

所以f(x)=x2+2x+1. 法二(换元法) 令t=x-1,则x=t+1,可得f(t)=(t+1)2

=t2+2t+1,即f(x)=x2+2x+1.
“课时达标检测”见“课 时跟踪检测(七)”

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