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【中小学资料】宁夏石嘴山市第三中学2016届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文


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石嘴山三中 2016 届第三次模拟考试

数学(文科)能力测试
2016.5 注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名 和考生号,并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损.
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定
区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.
第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1、设集合 M ? {x | x2 ?,x} N ? {x | lg x,? 0则} M N ? ( )

A.[0,1)

B.(0,1]

C.[0,1]

D.(0 ,1)

2、在复平面内,复数 z 满足 z ?1? i? ? 1? 3i ,则 z 的共轭复数对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

3. 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(

D.第四象限 )

A. 20 ? 2? C. 24 ? 2?

B. 20 ? 3? D. 24 ? 3?

12

2

2

正视图

侧视图

4、已知 f(x)=

2 俯视图

则 f(f(2))的值是(

A.0

B.1

) C.2

D.3

5、已知等差数列?an ?满足 an?1 ? an ? 4n ,则 a1 ? ( )

A. ?1

B.1

C. 2

D. 3

6、在区间 [0上,1]随机取两个实数 a、b ,则函数 f (x) ? 1 x3 ? ax ? b 在区间 2

上有[0且,1只] 有一个

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零点的概率是( )

A. 1 8

B. 1 4

C. 3 4

D. 7 8

?2x ? y ? 2 ? 0 7、直线 y=k(x+1)(k∈R)与不等式组 ??2x ? y ? 2 ? 0
??x ? 0

表示的平面区域有公共点,

则 k 的取值范围是( ) A . [-2,2]

B. (-∞, -2] [2,+ ∞)

C. [- 1 , 1 ] 22

D. (-∞,- 1 ] [ 1 , +∞)

2

2

8、已知抛物线 C : y2 ? 8x 与点 M ??2, 2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若

MA MB ? 0 ,则 k ? ( )

A. 1 2

B. 2 2

C. 2

D. 2

9、已知 a 是常数,函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 (1? a)x2 ? ax ? 2 的导函数 y ? f '(x) 的图像如右图所示, 32

则函数 g(x) ?| ax ? 2 | 的图像可能是 ( )

10、公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无 限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两 位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序 框图,则输出 n 的值为( )(参考数据:sin15° =0.2588,sin7.5°=0.1305)

A.6 B.12

C.24

D.48

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11、已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

?

0, b

?

0) 以及双曲线

y2 a2

?

x2 b2

? 1 (a

? 0,b

?

0) 的渐近线将第一象

限三等分,则双曲线 x2 ? y2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为( ) a2 b2

A. 6 或 2 3 3

B. 2 或 2 3 3

C.2 或 3

D. 3 或 6

12、设函数 f (x) ? e x (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2016? ) ,则函数 f (x) 的各极小值之和为( )

A.

?

e2?

(1 ? e2016? 1? e2?

)

B.

?

e2?

(1 ? 1?

e1008? e?

)

C.

?

e

2?

(1 ? e1008? 1? e2?

)

D.

?

e2?

(1 ? e2014? 1? e2?

)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13、已知α 是锐角, =( ,sinα ), =(cosα , ),且 ∥ ,则 α =_________

14、已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=3S2,a3=-2,则 a7=________.
15、下列命题:①已知 m ,n 表示两条不同的直线,? ,? 表示不同的平面,并且 m ? ? ,n ? ? ,

则“? ? ? ”是“ m / /n ”的必要不充分条件;②不存在 x ??0,1?,使不等式 log2 x ? log3 x 成立;

③“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题为真命题;④ ?? ? R ,函数 f (x) ? sin(2x ?? ) 都不是偶

函数.正确的命题序号是 .

16、在球 O 的内接四面体 A ? BCD 中, AB ? 6, AC ?10,?ABC ? ? ,且四面体 A ? BCD 体 2

积的最大值为 200,则球 O 的半径为



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分 12 分)

已知

f

?x?

?

4 cos

x

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

,

x

?

R.

(I)求 f ? x? 的最小正周期和单调递增区间;

(II)在 ?ABC 中, BC ? 4 , sin C ? 2sin B ,若 f ? x? 的最大值为 f ? A? ,求 ?ABC 的面积.
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18、(本小题满分 12 分)

一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,

某月的产量如右表(单位:辆):

按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.

(Ⅰ)求 a 的值;

(Ⅱ)用分层抽样的方法在 A,B 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中

任取 2 辆,求至少有 1 辆 A 类轿车的概率;

(Ⅲ)用随机抽样的方法从 A,B 两类轿车中各抽取 4 辆,进行综合指标评分,经检测它们的得分如

右图,比较哪类轿车综合评分比较稳定.

A 类轿车得分

B 类轿车得分

6385 129423

19、(本小题满分 12 分)
如 图 , 在 边 长 为 4 的 菱 形 ABCD 中 , ?DAB ? 60? , 点 E, F 分 别 是 边 CD , CB 的 中 点 , AC ? EF ? O , 沿 EF 将 ?CEF 翻 折 到 ?P E F, 连 接 PA, PB, PD , 得 到 如 图 的 五 棱 锥

P ? ABFED,且 PB ? 10 . (Ⅰ)求证: BD ? PA; (Ⅱ)求四棱锥 P ? BFED的体积.

20、(本小题满分 12 分)

已知椭圆 E : x2 a2

? y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F

,短轴长为

2,点 M

为椭圆 E 上一个动点,且

| MF |的最大值为 2 ?1. (1)求椭圆 E 的方程;

(2)若点 M 的坐标为 (1, 2 ),点 A, B 为椭圆 E 上异于点 M 的不同两点,且直线 x ?1 平分 2

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?AMB ,求直线 AB 的斜率.

21、(本小题满分 12 分)
设 a ?R ,函数 f (x) ? ln x ? ax .

(Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调区间和极值;

(Ⅱ)已知 x1 ? e ( e 是自然对数的底数)和 x2 是函数 f (x) 的两个不同的零点,求 a 的值并证

3
明: x2 ? e2 .

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。 注意:只能做所选定的题目。如果多做,

则按所做的第一题计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,AB 是 O 的直径,弦 BD、CA 的延长线

E

相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F.

D

求证: (I) ?DEA ? ?DFA ;

(II)AB2=BE?BD-AE?AC.

F A

O

B

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 α

的直线

l:

?? x=2+tcos? ???y= 3+tsin?

(t 为参数)与

曲线

C:

? x=2cos? ??y=sin?

(θ

为参数)相交于不同的两点 A,B.

(Ⅰ)若 α = ? ,求线段 AB 中点 M 的坐标: 3

(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP| 2 ,其中 P(2, 3 ),求直线 l 的斜率.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 。 (I)画出函数 y=f(x)的图像; (II)若不等式 a ? b ? a ? b ? a f ( x) ,(a 0,a、b R)恒成立,求实数 x 的范围.
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参考答案 一.选择题

1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.C 11.B 12.D

二、填空题 13. 15°或 75° 14. 8 三、解答题

15. ①

16. 13

17、试题解析:

f (x) ? 4cos x(sin x cos π ? cos x sin π)

6

6

? 2 3 cos x sin x ? 2cos2 x ? 3 sin 2x ? cos 2x ?1 ? 2sin(2x ? π) ?1 --------------5 分 6

(I)T ? 2π ? π 2

--------------6 分

(II)? A, B,C 为 ?ABC的内角,且 sin C ? 2sin B,?c ? 2b ,--------------8 分

又 f (A) ? 2sin(2A ? π) ?1 是 f (x) 的最大值, 6

2A ? π ?(? π ,11π),?2A ? π ? π ,? A ? π

6 66

62

3

在 ?ABC中,由余弦定理得 b2 ? 4b2 ? 4b2 cos? ? 16 3

--------------10 分

?b2

?

16 3

? S?ABC

?

1 bcsin 2

A

?

3 b2 ? 8 3

2

3

--------------12 分

18、试题解析:

(Ⅰ)由题意得,

50

? 400 ? 10 ,所以 a ?1000 --------------2 分

400 ? 600 ? a

(Ⅱ)设抽取一个容量为 5 的样本中有 m 辆 A 类轿车,根据分层抽样可得, 400 ? m ,解得 m ? 2 即 1000 5

样本中有 A 类 2 辆 B 类 3 辆,分别记作 A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(A1,A2()A1,B1),

(A1,B2),(A1,B3)(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆

A 类轿车的基本事件有 7 个:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3)(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),,所以
从中任取 2 辆,至少有 1 辆 A 类轿车的概率为 7 . 10
-------------

-8 分

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(Ⅲ)由茎叶图得

xA

?

86 ? 83 ? 92 ? 91 4

?

352 4

?

88 ,

xB

?

85 ? 94 ? 92 4

? 93

?

364 4

?

91,

所以

sA2

?

4?

25 ?16 ? 9 4

? 13.5 ,

sB2

?

36 ? 9 ?1? 4

4

? 12.5 ,--------------11



因为12.5 ?13.5 ,

所以 B 类轿车成绩较稳定. --------------12 分

19、试题解析:

(1)证明:∵点 E, F 分别是边 CD,CE 的中点,

∴ BD∥EF .--------------2 分 ∵菱形 ABCD的对角线互相垂直,∴ BD ? AC .∴ EF ? AC.

∴ EF ? AO, EF ? PO ,--------------4 分

∵ AO ? 平面 POA, PO ? 平面 POA, AO? PO ? O , ∴ EF ? 平面 POA,∴ BD ? 平面 POA,∴ BD ? PA.--------------6 分

(2)解:设 AO? BD ? H 。连接 BO,∵ ?DAB ? 60? ,

∴ ?ABD为等边三角形,∴ BD ? 4, BH ? 2, HA ? 2 3, HO ? PO ? 3 ,

在 RT?BHO中, BO ? BH2 ? HO2 ? 7 ,

在 ?PBO中, BO2 ? PO2 ? 10 ? PB2 ,∴ PO ? BO.--------------8 分

∵ PO ? EF , EF ? BO ? O , EF ? 平面 BFED, BO ? 平面 BFED,

∴ PO ? 平面 BFED,

--------------10 分

梯形 BFED的面积 S ? 1 (EF ? BD) ? HO ? 3 3 , 2

∴四棱锥 P ? BFED的体积V ? 1 S ? PO ? 1 ? 3 3 ? 3 ? 3 .--------------12 分

3

3

20、试题解析:(1) 2b ? 2 , b ? 1,



??a2 ?

?

c2

??a ? c ?

?1 2



??a ?

?

?1 ??c ? 1

2

,所以椭圆 E

的方程为

x2 2

+y2 =1.----------4



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(2)设点 A , B 的坐标分别为 (x1, y1) , (x2 , y2 ) ,由题意可知直线 MA 的斜率存在,

设直线 MA的方程为 y ? 2 =k(x ?1) , 2

?



? ?

y

?

2 2

=k

(

x

?1)



x2

+2[kx+(

2 ? k)]2 =2 ,

??x2 +2y2 =2

2

(2k 2 +1)x2 +4k( 2 ? k)x+2( 2 ? k)2 ? 2=0 ,

2

2

(2k 2 +1)x2 +k(2 2 ? 4k)x+(1? 2k)2 ? 2=0 ----------7 分

因为

1? x1

?

(1? 2k)2 ? 2 , 2k 2 ?1

所以

x1

?

(1? 2k)2 ? 2k 2 ?1

2

--------------8



又因为直线 x ? 1 平分 ?AMB ,所以直线 MA , MB 的倾斜角互补,斜率互为相反数.

同理可得:

x2

?

(1? 2k)2 ? 2k 2 ?1

2

,--------------10



k AB

?

y1 ? y2 x1 ? x2

?

kx1 ?

2 2

?

k

?

(?kx2

?

x1 ? x2

2 ?k) 2

?

k(x1 ? x2 ) ? 2k

?

k

?

2

? 4k 2k 2

2
?

? 1

4

?

2k

?

k(4k 2

? 2) ? 2k(2k 2 ?1)

x1 ? x2

?4 2k

?4 2k

2k 2 ?1

2k2 ?1? (2k2 ?1)

?

?

?2

?

2 .--------------12 分

?2 2

?2 2 2

21、试题解析:

(Ⅰ)由已知得 x ? ?0, ??? , f ?? x? ? 1 ? a ? 1? ax ,

x

x

①若 a ? 0 ,则 f ?? x? ? 0 , f ? x? 是区间 ?0, ??? 上的增函数,无极值;----------2 分

②若 a ? 0 ,令 f ?? x? ? 0 ,得 x ? 1 ,
a
在区间 (0, 1 ) 上, f ?? x? ? 0 ,函数 f ? x? 是增函数,
a
在区间 (1 ,??) 上, f ?? x? ? 0 ,函数 f ? x? 是减函数,
a

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所以在区间 ?0, ??? 上, f ? x? 的极大值为 f ( 1 ) ? ln 1 ?1 ? ? ln a ?1.----------5 分
aa
综上所述,①当 a ? 0 时,函数 f ? x? 的递增区间为 ?0, ??? ,无极值;②当 a ? 0 时,函数 f ? x?

的递增区间为 (0, 1 ) ,递减区间是 ( 1 ,??) ,函数 f ? x? 的极大值为 f ( 1 ) ? ? ln a ?1 .---------6

a

a

a



(Ⅱ)因为 f ( e) ? 0 ,所以 1 ? a e ? 0 ,解得 a ? 1 ,

2

2e

所以 f ? x? ? ln x ? 1 x ,--------------8 分
2e



f

3
(e2 )

?

3

?

e

?

0,

f

5
(e2 )

?

5

?

e2

?

0,

22

22

3

5

所以 f (e2 ) ? f (e2 ) ? 0 ,--------------10 分

由(Ⅰ)函数 f ? x? 在 (2 e,??) 递减,

35
故函数 f ? x? 在区间 (e2 , e2 ) 有唯一零点,
3
因此 x2 ? e2 . --------------12 分

选做题 22、 解:(I)连结 A D

因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90°

则 A、D、E、F 四点共圆 ---4 分

∴∠DEA=∠DFA--------5 分

(II)由(I)知,BD?BE=BA?BF

又△ABC∽△AEF

E

∴ AB ? AC AE AF ---------7 分
即:AB?AF=AE?AC ∴ BE?BD-AE?AC

D

F A

O

B

=BA?BF-AB?AF

=AB(BF-AF) =AB2

C

--------------10 分

23.解析:(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程是 x2 ? y2 ? 1 .当? ? ? 时,设点 M 对应的参数

4

3

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t0

.直线

l

方程为

?

??

?

? ??

y

x? ?

2 3

? ?

1t 2
3 2

t



t

为参数),代入曲线

C

的普通方程

x2 4

?

y2

?1

,得

13t2 ? 56t ? 48 ? 0 ,设直线 l 上的点 A , B 对应参数分别为 t1 , t2 .

则 t0

?

t1 ? t2 2

?

? 28 13

,所以点 M

的坐标为 (12 , 13

?

3) . 13

……………………5 分

(2)



?? ?

x

?

2

? t cos?

代入曲线 C 的普通方程 x2 ? y2 ? 1 ,

?? y ? 3 ? t sin?

4

得 (cos2 ? ? 4sin2 ? )t2 ? (8 3 sin? ? 4 cos? )t ? 12 ? 0 ,

因为 |

PA | ? |

PB

|?|

t1t2

|?

cos2 ?

12 ? 4sin2

?

,|

OP

|2 ?

7



所以 cos2 ?

12 ? 4sin2 ?

? 7 ,得 tan2 ?

?5 16



由于 ? ? 32cos? (2 3 sin? ? cos? ) ? 0 ,

故 tan? ? 5 .所以直线 l 的斜率为 5 .

4

4

………………………10 分

?2x ? 3 ( x ? 2)

24.解:(I) f ( x) ? ??1

(1 ? x ? 2)

??3 ? 2x ( x ? 1)

图略

--------2 分 -----4 分

(II)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)

a+b + a-b f (x) ?
a

恒成立

只需

a+b + a-b

f (x) ? [

a

]max

a+b + a-b a+b+a-b

?

=2

a

a

? f (x)? 2

------7 分

?解不等式

x

-1

+

x

-2

?

2,即???2xx?-32?

2,或1<x<2或

?3-2x ??x ?1

?

2

------10 分

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