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广东省惠阳高级中学2018届高三上学期9月月考 数学(文)


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惠阳高级中学 2018 届高三上学期 9 月月考

数学(文)试题
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)。 1.已知集合 M ? x x ? 0 , N ? x ? 1 ? x ? 2 ,则 M ? N =( A. x x ? 2 2. 函数 f(x ) ?

?

?

?

?

) D. ?x | ?1 ? x ? 2?

?

?
3x 2 1?x

B. x x ? ?1

?

?

C. x 0 ? x ? 2

?

?


? lg(3x ? 1) 的定义域是
1 1 , ) 3 3 1 ,1) 3



A.(?

1 , ?? ) 3

B.(?

C.(?

D.(??, ?

1 ) 3


3.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应的点在 z2
C.第三象限



D.第四象限

4.下列命题中的假命题是 A. ?x ? R, log2 x ? 0 C. ?x ? R, cosx ? 1

(

)
2

B. ?x ? R, x ? 0 D. ?x ? R,2 ? 0
x

5.已知平面向量 a ? ?1, ?2 ? , b ? ? 4, m ? ,且 a ? b ,则向量 5a ? 3b ? A. ( ?7, ?16)
x

?

?

?

?

?

?

(

)

B. ( ?7, ?34)

C. (?7, ?4) ( C. ? 0,1?

D. (?7,14) ) D. ?1, 2 ?

6. 函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间为 A. ? ?2, ?1? B. ? ?1,0?

7.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 9 4

(

)

A.

13 3

B.

2 3

C.

5 9

D.

5 3

·1·

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8.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本 数据落在区间[10,12)内的频数为 ( )

A.72

B.54

C.36 ) D.5

D.18

9.执行右图所示程序,则输出的 i 的值为( A.2 B.3 C.4

? x ? 3, ? 10.若 x, y 满足 ? x ? y ? 2, 则 x ? 2 y 的最大值为 ? y ? x, ?
A. 9 B. 5
2

(

)

C. 3

D. 1
(第 9 题)

11.已知 F 是双曲线 C: x 2 ? 3),则△APF 的面积为 A.
1 3

y ? 1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1, 3
( )
1 2

B.

C.

2 3

D.

3 2

12 .已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? ( ) A. x ?1 ? x ? 1

1 x 1 ,则 f ( x) ? ? 的解集为 2 2 2

?

?

B. x x ? ?1

?

?

C. x x ? ?1或x ? 1

?

?

D. x x ? 1

?

?

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)。

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13.

cos2

π π –sin2 = 8 8

.

14.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?
.



15.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x ) 在 x ? 3 时取得极值,则 a ? 16.若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? n ,则数列 an ? 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (2sin x, (Ⅰ)求 f ( ) 的值. (Ⅱ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. .

r

r r r 3), b ? (cos x, cos 2x), f (x) ? a ? b ? 1 ,

? 3

18.(本小题满分 12 分) 某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班 40 名学生进行了一次 幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如图(注:图中幸福指数低于 70,说明孩子幸福感弱;幸福 指数不低于 70,说明孩子幸福感强) . (Ⅰ)根据茎叶图中的数据完成 2× 2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为孩子的幸福感强与 是否是留守儿童有关?
留守儿童 非留守儿童

幸福感强 留守儿童 非留守儿童 总计

幸福感弱

总计

4 53 860 94 21 7 532 1

9 8 7 6 5 4 3 2

01566789 234679 2458 134 28 1 4

(Ⅱ)从 15 个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样,共抽取 5 人,又在这 5 人中随机抽取 2 人进行家访,求这 2 个学生中恰有一人幸福感强的概率.
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附: 2 ? 2 列联表随机变量 K 2 ?

n(ad ? bc) 2 . P( K 2 ? k ) 与 k 对应值表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072

19. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是等差数列, Sn 数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a2 ? a3 ? 5, S5 ? 15 ,

?bn ? 是各项均为正数的等比数列, b1 ? a1, b3 ? a4 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? anbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 12 分)在 ? ABC 中, a ? c ? b ? 2ac .
2 2 2

(1)求角 B 的大小; (2)求 2 cos A ? cos C 的最大值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? ln x ?

a (a ? R, a ? 0) x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,讨论 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值是

3 , 求实数 a 的值。 2

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22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合,直线 l 的参数方程

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? . 为: ? ?y ? 1 t ? ? 2
(Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点, 求 PQ 的值.

参考答案
一.选择题(共 60 分) 题号 选项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二.填空题(共 20 分)

13.

14.

15.

16.

三、解答题:(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12 分)

解:(1)f (x) ? 2sin x cos x ? 3 cos 2x ? 1 ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 1 ? ? 2sin(2x ? ) ? 1 3
………………….. 4分 6分 8分

? ? ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 1 3 3 3
(2) T ? 2? ? ?
2

………………….. …………………..

当-

? ? ? + 2k? ? 2x ? ? ? 2k?,k ? Z时,函数单调递增 , 2 3 2
·5·

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解得

-

5? ? + k? ? x ? +k ?, k? Z 12 12
5? ? ? k? , ? k ? ], k ? 12 12

所以函数的单调递增区间为:[-

………………….. 12 分 Z .

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)列联表如下: 幸福感强 留守儿童 非留守儿童 总计 6 18 24 幸福感弱 9 7 16 总计 15 25 40 …………………2 分

40 ? ? 6 ? 7 ? 9 ?18? ∴K ? ? 4 ? 3.841 , 15 ? 25 ? 24 ?16
2 2

……………

4分 6分

∴有 95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关.……………

(Ⅰ)按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子 2 人,记作: a1 , a2 ;幸福感弱的孩子 3 人,记作:

b1 , b2 , b3 .

……………

8分

―抽取 2 人‖包含的基本事件有 ? a1 , a2 ? ,? a1 , b1 ? , ? a1, b2 ? ,? a1, b3 ? ,? a2 , b1 ? ,? a2 , b2 ? ,? a2 , b3 ? ,

?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? ? a2 , b3 ? ,共 6 个
故 P ? A? ?

共 10 个

……………

9分

事件 A:―恰有一人幸福感强‖包含的基本事件有 ? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a1 , b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , …………… 10 分 12 分

6 3 ? . 10 5

……………

19.解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,依题意得 ?
·6·

?2a1 ? 3d ? 5 ?5a1 ? 10d ? 15

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解得 d ? 1 , a1 ? 1 , 所以 又 因为

an ? 1? ? n ?1? ? n ,
b1 ? 1, b3 ? b1 ? q 2 ? q 2 ? 4 ,
= q 2

……………………3 分

q ? 0 , 所以

bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ? anbn ? n ? 2n?1 ,则

………………………6 分

Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? L n ? 2n?1

① ②
n ?1

………………………7 分 ……………………8 分 ……………………10 分

2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? L ? ? n ?1? ? 2n?1 ? n ? 2n
16.-②得: ?Tn ? 1? 20 ? 1? 21 ? 1? 22 ? L ? 1? 2

? n ? 2n

?

1? ?1 ? 2n ? 1? 2

? n ? 2n ? ?1 ? n? ? 2n ?1
n

…………………12 分

所以 Tn ? ? n ?1? ? 2 ? 1.

20.⑴

∵ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ∴ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac a 2 ? c2 ? b2 2ac 2 ∴ cos B ? ? ? 2ac 2ac 2

………………… 3 分 ………………… 4 分 ………………… 5 分

Q 0?B??
∴B?
π 4

⑵∵ A ? B ? C ? π 3 ∴ A?C ? π 4 ∴ 2 cos A ? cos C 2 2 ? 2 cos A ? (? cos A) ? sin A 2 2 π 2 2 ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) 4 2 2
·7·

………………… 6 分

………………… 9 分

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3 π 4 3 ∴ A ? (0, π) 4 π π ∴ A ? ? ( , π) 4 4 π ∴ sin( A ? ) 最大值为 1 4 上式最大值为 1

∵ A?C ?

………………… 10 分 ………………… 11 分

………………… 12 分

21.解:⑴当 a ? ?1 时, f ( x ) ? ln x ?

1 1 1 x ?1 , ∴ f ?( x) ? ? 2 ? 2 x x x x

………… 2 分 ……6 分

∵ x ? 0, ∴ f ( x ) 在区间 (0,1) 上递减,在区间 (1, ??) 上递增。 ⑵由已知 f ?( x) ?

x?a , x2

(2) a ? ?1 时,而 x ? 1, ∴ x ? a ? a ? 1 ? 0, ∴ f ( x ) 在 [1, e] 上递增,于是 f ( x) min ? f (1) ? ? a ?

3 3 , 有 a ? ? 不成立……8 分 2 2

②当 a ? ? e 时,而 x ? e, ∴ x ? a ? e ? a ? 0, ∴ f ( x ) 在 [1, e] 上递减, 于是 f ( x) min ? f (e) ? 1 ?

a 3 e ? , 有 a ? ? 不成立。 e 2 2

……10 分

③当 ?e ? a ? ?1 时,在区间 [1, ?a] 上, a ? 1 ? x ? a ? 0, 则 f ?( x) ? 0, ∴ f ( x ) 递减, 在区间 (?a, e] 上, 0 ? x ? a ? a ? e, 则 f ?( x) ? 0, ∴ f ( x ) 递增,

3 ∴ f ( x) min ? f (?a) ? ln(?a) ? 1 ? , ∴ a ? ? e 2
综上所述得:实数 a ? ? e 。 ……12 分

·8·

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22.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) ? ? ? 4cos? ,? ? 2 ? 4? cos? , 由 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos? ? x ,得 x 2 ? y 2 ? 4 x ,所以曲
2 线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 . 2

…………… 2 分

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 由? ,消去 t 得: x- 3 y+1 ? 0 . ?y ? 1 t ? ? 2
所以直线 l 的普通方程为 x- 3 y+1 ? 0 . …………… 4 分

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (Ⅱ)把 ? ?y ? 1 t ? ? 2

代入 x 2 ? y 2 ? 4 x ,整理得 t 2 ? 3 3t ? 5 ? 0 ,……… 6 分

因为 ? ? 27 ? 20 ? 7 ? 0 ,设其两根分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 3 3, t1t2 ? 5, 所以 PQ ? t1 ? t2 ?

………… 8 分

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 7 .

…………… 10 分

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