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2013青海省青海师大附属第二中学高一数学课件《1.1.2余弦定理》_图文


1.1.2余弦定理

复习回顾

正弦定理:

a?b sin A sin B

?

c sin C

?

2R

变型: a ? 2Rsin A,b ? 2Rsin B,c ? 2Rsin C

a : b : c ? sin A : sin B : sin C

可以解决两类有关三角形的问题?

(1)已知两角和任一边。 (2)已知两边和一边的对角。

研究:在三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b, 求a
∵ BC ? AC ? AB

2
BC

?

(AC ?

AB) 2

2

2

2

BC ? AC ? AB ? 2AC? AB

?| AC |2 ? | AB |2 ?2 | AC | ? | AB | ?cosA

即: a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其 他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。
a2=b2+c2-2bccosA
b2= a2+c2-2accosB c2 =a2+ b2-2abcosC
应用:已知两边和一个夹角,求第三边.

余弦定理推论:
b2 ? c2 ? a2
cosA=
2bc

a2 ? c2 ? b2

cosB=

2ac

a2 ? b2 ? c2

cosC=

2ab

应用:已知三条边求角度.

由a2=b2+c2-2bccosA可得
(1)若A为直角,则a?=b?+c? (2)若A为锐角,则a?<b?+c? (3)若A为钝角,则a?>b?+c?

利用余弦定理,可以解决以 下两类有关三角形的问题:
(1)已知两边和它们的夹角,求 第三边和其他两个角;
(2)已知三边,求三个角。

4.定理的应用
例1.已知b=8,c=3,A=600求a.
解: ∵a2=b2+c2-2bccosA =64+9-2×8×3cos600 =49
? a=7

练习
1. 在 ABC中,已知a=2 ,c ? 6 ? 2, B ? 1350,解此三角形
b ? 2 2, A ? 300 , C ? 150

例2.在△ABC中,已知a= 6,b=2,

c= 3 ?1 ,解三角形
解:由余弦定理得

cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 22 ? ( 3 ?1)2 ? ( 6)2 ? 1

2bc

2? 2?( 3 ?1)

2

?A ? 60?

cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? ( 6)2 ? ( 3 ?1)2 ? 22 ? 2

2ac

2? 6 ? ( 3 ?1)

2

?B ? 45?

C ?180? ? A? B ?180? ? 60? ? 45? ? 75?

练习 1 在 ?ABC中,已知 b= 4 3 ,c= 2 3 , A=1200 ,求 a. a ? 2 21
2 在 ?ABC 中,已知 a= 2 3 ,b= 2 2 , c= 6 ? 2 ,求 A、B、C 的值。
A ? 600, B ? 450,C ? 750

例3、在△ABC中,a2 ? b2 ? c2 ,
那么A是(A)

A. 钝角 C. 锐角

B. 直角 D. 不能确定

提炼:设a是最长的边,则
△ABC是钝角三角形 ? a 2 ? b 2 ? c 2
△ABC是锐角三角形 ? a 2 ? b2 ? c 2
△ABC是直角三角形 ? a 2 ? b2 ? c 2

练习:
4. 在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状
分析: △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。
B?(90 ,180 )?b2?a2?c2
变式:若已知三边的比是7:10:6,怎么求解

5.在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值

13 14

,

分析:求最大角的余弦值,最主要的是判断 哪个角是最大角。由大边对大角,已知两边 可求出第三边,找到最大角。

解: c2 ?a2?b2?2abcosC

?72

?82

?

2?7?8?13 14

?9

?c?3

则有:b是最大边,那么B 是最大角

cos

B

?

a2

?c2?b2 2ac

?

32?72?82 2?3?7

?

?17

四.小结:
(1)余弦定理:
a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A b2 ? a2 ? c2 ? 2accosB c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC
(2)推论:
cos A ? b2 ? c2 ? a2 2bc cos C ? a2 ? b2 ? c2 2ab
cos B ? c2 ? a2 ? b2 2ca

(3)余弦定理可以解决的有关三角形 的问题: 1) 已知两边及其夹角,求第三边和其他
两个角。 2) 已知三边求三个角。 3) 判断三角形的形状。


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