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湖北省宜昌市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆学案新人教A版2-1 精


§2.2.1

椭圆及其标准方程(一)

教学目标:掌握椭圆定义。采用坐标法,在探求椭圆几何特征的基础上,建立其标准方程。 教学 重点: (1)理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程; (2)能根据已知条件求椭圆的标准方程; 教学过程: 1.探究椭圆的定义。思考:什么常数要大于 F1 F2 呢? 2.推导方程
2 2 1. 如何进一步化简方程,如果把 a, c, a ? c 看作一个直角三角 形的三边,你能从椭圆图形中找

出这样的直角三角形吗? 2.焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程是什么? 3.类比推广 1.如果焦点 F1 , F2 在 y 轴上,且 F1 , F2 的坐标分别为 (0, ?c), (0, c) , a , b 的意义同上, 这时椭圆的 方程是什么?





不 同 点





标准方程 焦点坐标

相 同 点
2.完成表格: 4.例题探究

a、b、c 的关系 焦点位置的判断

例 1、判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上,并写出 a, b, c 的值。

(1)

x2 y2 ? ?1 25 16

(2)

x2 y2 ? ? 1(m ? 0) m2 m2 ? 1

(3) 9 x ? 4 y ? 36
2 2

1

例 2、求满足下列条件的椭圆的标准方程。 (1)两焦点坐标分别是 (?2, ?0),(2,0) ,且椭圆经过点 ( , ? )

5 2

3 2

(2)两焦点坐标分别是 (0, ?2), (0, 2) ,且椭圆经过点 ( ?

3 5 , ) 2 2

(3)焦距(即 2c ? 8 )为 8,椭圆上一点 P 到两焦点距离之和为 10

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6, 5. 当堂检测: 如果椭圆 那么点 P 到另一个焦点 F2 的 100 36
距离是 §2.2.1 1.填表 椭圆及其标准方程(二)





不 同 点





标准方程 焦点坐标

相 同 点

a、b、c 的关系 焦点位置的判断

2.例题探究 例 1.如图,在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在
2 2

圆上运动时,求线 段 PD 的中点 M 的轨迹方程

2

l y P M D x

由此可看出椭圆和圆的关系是 例 2.如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?10,0? , ?10,0? , 直线 AM ,BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积为 ? 求点 M 的轨迹方程.

4 , 9

例 3.已知动圆 P 过定点 A(-3,0),并且在定圆 B: (x-3) +y =64 的内部与其相切,求动圆圆心 P 的 轨迹方程。

2

2

课堂练习: (1)课本 42 页练习 4

(2)课本 49 页练习 7

3.课堂小结 §2.2.1 椭圆及其标准方程 (三)
3

例 1、设 F1,F2 是椭圆 标。

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 ? P F1F2 的面积为 1,求点 P 的坐 5 4

[变式训练]设 F1,F2 是椭圆 求 ? P F1F2 的面积。

4 x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|P F1|:|P F 2|=4:3, 49 6

例 2、点 M 与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x ? 8 的距离之比为 1:2,求点 M 的轨迹方程,并说明 轨迹是什么图形。

[变式训练]如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ? 求点 M 的轨迹方程.

25 4 的距离的比是常数 , 4 5

总结:

4

若点 P ? x, y ? 与定点 F ? c,0? 的距离和它到定直线 l : x ?

c a2 的距离比是常数 e ? ? a ? c ? 0? , a c

则点 P 的轨迹方程是__________________________。 (证明同上自己完成)
2 2 当堂检测:方程 x ? ( y ? 3) ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 表示什么曲线?写出它的方程

2.2.2

椭圆的简单几何性质(一)

一、教学目标:通过对椭圆的标准方程的研究,发现 a, b, c, e 的几何意义;掌握椭圆的简单几何性质; 了解在解析几何中如何用代数的方法研究曲线的性质. 二、课前预习 1.椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

三、教学过程
2 2 问题 1:观察右边椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的图象,想一想我们 a b

应该关注椭圆的哪些方面的性质?

2 2 问题 2:请小组同学合作,借助椭圆的方程 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b

研究椭圆的范围、对称性、及与坐标轴的交点坐标。 问题 3:你能快速地作出椭圆的简图吗? 问题 4:用什么量来刻画椭圆的扁平程度呢? 问题 5:你能用三角函数的知识解释为什么 e ?

c c 越大,椭圆越扁; e ? 越小椭圆越圆吗? a a

2 2 研究问题 6:利用本节所学知识,总结椭圆 y 2 ? x 2 ? 1(a ? b ? 0) 的几何性质,填写下列表格。 a b

5

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

图象

范围

对称性

顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 e

a、b、c 的关系

四、当堂检测 已知椭圆方程为 x ? 4 y ? 16
2 2

(1) 它的长轴长是: (2) 焦点坐标是: (3) 顶点坐标是: (4) 离心率等于: (5) 外切矩形的面积等于: 五、课堂小结 .

;短轴长是: . 焦距是:

. . .

2.2.2

椭圆的简单几何性质(二) ⑵长轴长等于 20 ,

课前复习:求适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴ 经过点 P(?3,0), Q(0,?2);

6

离心率等于 教学过程

3 ; ⑶焦距是 8 ,离心率等于 0 .8 。 5

例 1、如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面) 的一部分.过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个 焦点 F2 . 有椭圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 . 已知

BC ? F1 F2 , F1 B ? 3cm, F1 F2 ? 4cm. 试建立适当的坐标系,求截口
BAC 所在椭圆的方程.(精确到 0.1cm)

例 2、已知椭圆的一个焦点 F (6,0) ,点 B, C 是短轴两端点, ?FBC 是等边三角形,求此椭圆方程。

例 3、点 M ( x, y ) 与定点 F (1,0) 的距离和它到直线 l : x ? 5 的距离的比是常数 迹.

5 ,求点 M 的轨 5

问题 3:结合上述例题,阅读课本 51 页的阅读材料,完成下面的问题: 椭圆又可看作 的点的集合.
7

常数的范围是 四、当堂检测

,这条直线叫做

a2 8 3 x2 y2 3 ? , 则椭圆方程为 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 1. 已知椭圆 2 的离心率为 , 2 2 2 3 2 a b a ?b

.

2.已知点 M 到定点 F (2,0) 的距离与点 M 到定直线 l : x ? 8 的距离的比为 方程为

1 ,则动点 M 的轨迹 2

2.2.2 教学过程

椭圆的简单几何性质(三)

(一)如何研究直线与椭圆的位置关系? 问题 1:已知直线 l : y ? x ? m 与椭圆 9 x 2 ? 16y 2 ? 144,当 m 为何值时直线 l 与椭圆(1)相切? (2)相交?(3)相离?

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : x ? y ? 3 3 ? 0 .椭圆上是否存在一点 ,它到直线 l 的距 问题 2:已知椭圆 2
离最小?最小距离是多少?

当堂检测:已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 .椭圆上是否存在一点,它到直线 l 的 25 9

距离最大?最大距离是多少?

8

(二)如何解决求椭圆的弦长问题 问题 3: 经过椭圆 求 AB 的长.

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 600 的直线 l ,直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点, 2

变式训练:已知斜率为 1 的直线 L 经过椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点交椭圆于 A、B,求弦 AB 的长。 4

(三)如何解决求椭圆的弦中点问题 问题 4:已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦的中点横坐标 为

1 ,求此椭圆的方程。 2

变式训练:直线 L 与椭圆 4 x ? 9 y ? 36 交于 A、B 两点,且 AB 中点坐标为(1,1) ,求 L 的方程。
2 2

9

当堂检测:椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 450 的直线 l ,直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点, 2 求 ?ABF 1 的面积.精品推荐 强力推荐 值得拥有

10


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