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高中数学北师大版必修5第2章3《解三角形的实际应用举例》(第2课时 角度和物理问题)ppt同步课件_图文


第二章 解三角形

第二章
§3 解三角形的实际应用举例 角度和物理问题

第2课时

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

课前自主预习

珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰,海拔8 848.13米,29 029英尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下,于 1966 ~ 1968,1975 年测定的, 1992 年又对其进行了复测 ) ,是地 球上的第一高峰,位于东经86.9°,北纬27.9°.

8 848.13米——这个珠峰原“身高”是如何测定的,以及在
那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法我们可能感到不 可思议,从简单处说,那就是数字的测量与解三角形的应用.

正弦定理 和 _________ 1. 测量角度就是在三角形内利用 __________ 余弦定理
求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角. 2 .坡度与坡角: 如图所示,把坡 面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫作

坡度 或叫作 ________) 坡比 ________( ,用字母 i
h 表示,即 i= l ,坡度一般写成 h l 的形式.坡面与水平面的夹 h 坡角 角 α 叫作________,坡角与坡度之间有如下关系:i= l =tanα.

1.在某测量中,设A在B的南偏东34°27′,则B在A的(

)

A.北偏西34°27′
C.北偏西55°32′ [答案] A

B.北偏东55°33′
D.南偏西55°33′

3 2.如果在测量中,某渠道斜坡的坡比为4,设 α 为坡角, 那么 cosα 等于( 3 A.5 3 C.4 ) 4 B.5 4 D.3

[答案] B

[ 解析]

3 sinα 3 由题意,得 tanα=4,∴cosα=4,
2

1-cos α 9 sin2α 9 ∴cos2α=16,即 cos2α =16,∵α 为锐角, 4 ∴cosα=5.

3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A

在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则
灯塔A在灯塔B的( A.北偏东10° C.南偏东10° [答案] B [解析] 如图,由题意知 ∠ACB=180°-40°-60°=80°, ∵AC=BC,∴∠ABC=50°, ) B.北偏西10° D.南偏西10°

∴α=60°-50°=10°.

4.一船以 22 6km/h 的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 45° ,1 小时 30 分后航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的南偏东 15° ,则灯塔 S 与 B 之间的距离为( A.66 km C.96 km B.132 km D.33 km )

[答案] A

[ 解析]

如图,∠ASB=180° -15° -45° =120° ,

3 AB=22 6×2=33 6, 33 6 SB 由正弦定理,得sin120° =sin45° , ∴SB=66km.

5.一只蚂蚁沿东北方向爬行 xcm后,再向右转105°爬行
20cm,又向右转135°,这样继续爬行可回到出发点处,那么x =________.
[ 答案] 20 6 3 cm

[ 解析]

如图△ABC 中,∠A=45° +

15° =60° ,∠B=45° +30° =75° ,∠ACB 20 x =45° ,由正弦定理知 = , sin∠ACB sinA 20 6 ∴x= 3 .

课堂典例讲练

测量角度问题

在地面上某处,测得塔顶的仰角为 θ,由此处向 塔走 30 米,测得塔顶仰角为 2θ,再向塔走 10 3米,测得塔顶 仰角为 4θ,试求角 θ 的度数.
[ 分析] 如图所示, 求角

θ,必须把角 θ、2θ、4θ 和边 长 30、 10 3尽量集中在一个 三角形中,利用方程求解.

[ 解析]

解法一:∵∠PAB=θ,∠PBC=2θ,

∴∠BPA=θ,∴BP=AB=30, 又∵∠PBC=2θ,∠PCD=4θ, ∴∠BPC=2θ,∴CP=BC=10 3, 在△BPC 中,根据正弦定理得:

PC PB sin2θ=sin?π-4θ?, 10 3 30 即sin2θ=sin4θ, 2sin2θcos2θ 30 ∴ sin2θ = , 10 3 3 由于 sin2θ≠0,∴cos2θ= 2 , ∵0° <2θ<90° ,∴2θ=30° ,∴θ=15° .

解法二:在△BPC 中,根据余弦定理得: PC2=PB2+BC2-2PB· BC· cos2θ 把 PC=BC=10 3,PB=30 代入上式得, 300=302+(10 3)2-2×30×10 3cos2θ 3 化简得:cos2θ= 2 , ∵0° <2θ<90° ,∴2θ=30° ,∴θ=15° .

解法三:如下图,过顶点 C 作 CE⊥PB,交 PB 于 E, ∵△BPC 为等腰三角形, ∴PE=BE=15, 在 Rt△BEC 中, 15 3 BE cos2θ=BC= =2, 10 3 ∵0° <2θ<90° ,∴2θ=30° ,∴θ=15° .

[ 方法总结]

解答此类问题,首先应明确各个角的含义,

然后分析题意,分清已知和所求,再根据题意画出正确的示意 图,将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边 与角的关系,运用正、余弦定理求解.

(2016· 南昌模拟)当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相 距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营 救, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30° 相距 10 海里 C 处的乙 船,乙船立即朝北偏东 θ+30° 角的方向沿直线前往 B 处营救, 则 sinθ 的值为( 21 A. 7 3 C. 2 [ 答案] ) 2 B. 2 5 7 D. 14

A

[ 解析]

连接 BC.在△ABC 中,AC=10,AB=20,∠BAC

=120° ,由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AB· AC· cos120° = BC AB 700,∴BC=10 7,再由正弦定理,得 =sinθ, sin∠BAC 21 ∴sinθ= 7 .

角度与营救问题
如图,A,B 是海面上位于 东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测 点,现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位 于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即 前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需 要多长时间? [ 分析] 根据题意先由正弦定理求出 BD,再利用余弦定理

求出 CD,最后作答.

[ 解析]

由题意知 AB=5(3+ 3),

∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=45° , ∴∠ADB=105° 2 1 3 且 sin105° = sin45° · cos60° + sin60° · cos45° = 2 ×2+ 2 2+ 6 2 ×2= 4 .

BD AB 在△ABD 中,由正弦定理得, = sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin45° ∴BD= = sin105° sin∠ADB 2 5?3+ 3?·2 10 3?1+ 3? = = =10 3. 2+ 6 1+ 3 4 又∠DBC=180° -60° -60° =60° .BC=20 3,

在△DBC 中,由余弦定理得 CD2 = BD2 + BC2 - 2×BD×BC×cos60° = 300 + 1200 - 1 2×10 3×20 3×2=900. 30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t=30=1(小时). 答:救援船到达 D 点需要 1 小时.

[ 方法总结]

解决本题应明确两点,一是理解方位角的概

念,二是选择适当的三角形,根据已知量利用正、余定理求解 未知量.

某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔船在方位角为 45° ,距离 A 为 10 海 里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105° 的方向,以 10 海里/ 时的速度向小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 10 3海里/时的速 度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.

[分析]

画出图形.设出时间t,利用舰艇和渔船相遇时所

用时间相等,建立等量关系,然后解三角形.

[ 解析]

设所需时间为 t 小时,

则 AB=10 3t,CB=10t, 在△ABC 中,根据余弦定理,则有 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos120° , 1 整理得 2t -t-1=0,解得 t=1 或 t=-2(舍去).
2

即舰艇需 1 小时靠近渔船,此时 AB=10 3,BC=10, BC AB 在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin∠CAB sin120°

3 10× 2 BCsin120° 1 所以 sin∠CAB= = =2, AB 10 3 所以∠CAB=30° , 所以舰艇航行的方位角为 75° ,所需时间为 1 小时.

角度与追击问题 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我 海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在距A处北偏东45°方

向、距离为 10n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿东偏南 15°的方
向,以9 n mile/h的速度向小岛B靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时 间.(注:cos21°47′=0.9286)

[ 分析]

根据题意画出图形 ( 如图 ) ,由题意知AC= 10 ,设

渔轮向小岛B靠近,舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′处
相遇,则∠ ACB′ = 120°,利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔 轮由C到B′所用时间相同这一条件,解△AB′C即可.

[ 解析] 海里,

设舰艇与渔轮相遇所需时间为 t h,则 AB′=21 t

B′C=9t 海里.在△AB′C 中,根据余弦定理,则有 AB′2=AC2+B′C2-2AC· B′Ccos120° , 1 可得 21 t =10 +81t +2×10×9t×2,
2 2 2 2

整理,得 360t2-90t-100=0. ∴362t-9t-10=0,∴(12t+5)(3t-2)=0.

2 5 ∴t=3或 t=-12(舍去), 2 ∴舰艇靠近渔轮所需的时间为3h.即 40 分钟. 此时 AB′=14n mile,B′C=6n mile. AB′2+AC2-B′C2 由余弦定理 cos∠CAB′= ≈0.9286. 2· AB′· AC ∴∠CAB′=21° 47′,45° +21° 47′=66° 47′. ∴ 舰艇航行的方位角为北偏东 66° 47′.所需时间 40 分钟.

[方法总结] 解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题; (2)画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角和距 离,这样借助于正弦定理或余弦定理,就容易解决问题了;(3) 最后把数学问题还原到实际问题中去.

我舰在敌岛A南偏西50°,相距12海里处的B处,发现敌舰 正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行,我舰要

用2小时追上敌舰,则需要的速度大小为多少海里/小时?

[ 解析]

假设 2 小时后在 C 点相遇,

则 AC=20 海里, 设我舰速度为 v 海里/小时, 则 BC=2v 海里 ∠CAB=180° -10° -50° =120° , 据余弦定理: BC2=AC2+AB2-2AC· AB· cos120° 1 ∴4v =20 +12 -2×20×12×(-2)
2 2 2

∴v=14 海里/小时.

正、余弦定理在力学中的应用 如图,在墙上有一个三角形支架OAB,吊着一

个重力为 12N 的灯, OA 、 OB 都是轻杆,只受沿杆方向的力,
试求杆OA、OB所受力的大小.

[ 解析]

O 点受三个力的作用,灯线的拉力 F,方向向下,

→ 灯杆 OA 的拉力 F1,方向与OA同向,灯杆 OB 的支持力 F2 方 → 向与BO同向,三力平衡,∴F+F1+F2=O.

→ → → 设OE=F, 将力 F 沿AO, OB两个方向进行分解, 作?OCED, → → → 则OD=-F1, OC=-F2 由题设条件知|OE|=12, ∠COE=60° , ∠OCE=45° ,∴∠OEC=75° , 12 OC CE 在△OCE 中,由正弦定理得,sin45° =sin75° =sin60° , 12sin60° 12sin75° ∴CE= sin45° =6 6,OC= sin45° =6( 3+1), → ∴|F1|=|OD|=CE=6 6(N), → |F2|=|OC|=OC=6( 3+1)(N). ∴杆 OA、OB 所受力的大小分别为 6 6N,6( 3+1)N.

作用在小车 A 上的两个水平力 F1、F2,|F1|=40N,|F2|= 20N,夹角为 60° ,小车的摩擦力大小为 20 7N,则小车在力的 作用下能否保持静止?
[ 解析] 如图所示.在?ABCD 中,由题意 AB

=20,AD=BC=40,∠ABC=120° , 在△ABC 中,由余弦定理,得 AC= AB2+BC2-2AB×BC×cos120° =20 7, ∴|F 合|=AC=20 7(N).∴小车能保持静止.

易混易错点睛

在海岸 A 处, 发现北偏东 45° 方向, 距 A 处( 3- 1)n mile 的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75° 的方向, 距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走 私船. 此时, 走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

[ 误解]

设缉私船用 t 小时, 在 D 处追上走私船, 在△ABC

中,由余弦定理,得 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· AC· cos ∠ CAB = ( 3 - 1)2 + 22 - 2×( 3-1)×2×cos120° =6, ∴BC= 6. 在△BCD 中,BD=10t,CD=10 3t, 由余弦定理,得 CD2=BC2+BD2-2BC· BD×cos∠CBD,

1 ∴(10 3t) =6+(10t) -2× 6×10t×(-2),
2 2

整理,得 100t2-5 6t-3=0, 6 解得 t= 10 . ∴BD= 6,又 BC= 6,∠CBD=120° . ∴∠BCD=∠BDC=30° . 故缉私船沿东偏北 30° 的方向能最快追上走私船.

[辨析]

上述解法错误的原因在于默认为∠CBD=120°,

而没有给出证明,并且多余的求出时间t.

[ 正解]

设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船.在△ABC,

由余弦定理,得 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· AC· cos ∠ CAB = ( 3 - 1)2 + 22 - 2×( 3-1)×2×cos120° =6, ∴BC= 6. 在△BCD 中,由正弦定理,得 2 AC sin∠ABC=BCsin∠BAC= 2 , ∴∠ABC=45° ,∴BC 与正北方向垂直.

∴∠CBD=120° .在△BCD 中,由正弦定理,得 CD BD = , sin∠CBD sin∠BCD 10 3t 10t ∴sin120° = , sin∠BCD 1 ∴sin∠BCD=2,∴∠BCD=30° . 故缉私船沿东偏北 30° 的方向能最快追上走私船.

本节思维导图

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