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2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2空间向量与平行关系(1)》课件


3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系

1.用空间向量确定空间点、直线、平面的表达式 问题 引航 分别是怎样的? 2.如何用空间向量的方法判断与证明空间平行的

位置关系?

1.点的位置向量 (1)基点:在空间中,我们取一定点O作为基点. (2)向量表示:空间中任意一点P的位置可以用________ 向量OP 来表示.
向量OP 称为点P的位置向量. 我们把________

2.用向量表示空间直线 (1)确定空间直线l位置的两个条件: 定点A ②一个_______. 定方向 ①直线l上一个______; (2)向量表达式:点A是直线l上的一个点,向量a表示直线l的方向 向量,在直线l上取 AB =a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在 实数t,使得 AP =_____. tAB

(3)空间直线的向量表达式的两点作用:

位置 ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_____;
一点 ②定点:可以具体表示出l上的任意_____. 3.向量a为平面α 的法向量应满足的两个条件 方向向量 (1)向量a表示直线l的_________; ⊥ 平面α . (2)直线l___

4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α ,β 的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论

位置关系 向量关系 向量运算关系 l∥m l∥ α α ∥β a∥ b _____ a⊥ u _____ u∥ v _____ a=kb,k∈R __________ a·u=0 _______ u=kv,k∈R

坐标关系 a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3 a1u1+a2u2+a3u3=0 _______________ u1=kv1,u2=kv2,u3=kv3

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线上任意两个不同的点A,B表示的向量 AB 都可作为该直 线的方向向量.( )

(2)若向量n1,n2为平面α 的法向量,则以这两个向量为方向向 量的两条不重合直线一定平行.( )

(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则 该直线与平面平行.( )

【解析】(1)正确.直线的方向向量有无数多个,与直线平行的
向量都可作为直线的方向向量,故此种说法正确.

(2)正确.若向量n1,n2为平面α的法向量,则以这两个向量为方
向向量的两条直线可能重合,也可能平行.因为两条直线不重合,

所以它们一定平行,故此种说法正确.
(3)正确.由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方 向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. 答案:(1)√ (2)√ (3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向 量的坐标可以是 .

(2)若直线l的方向向量是u=(1,3,0),平面α 的法向量是v= (-3,1,5),则直线l与平面α 的位置关系为 .

(3)空间两平面α ,β 的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0), 则平面α ,β 的位置关系为 .

【解析】(1)向量 AB 可以作为直线l的方向向量,

又已知A(-1,0,1),B(1,4,7),故 AB =(2,4,6).
答案:(2,4,6)

(2)因为u·v=(1,3,0)·(-3,1,5)=0,所以直线l与平面α的位
置关系为平行或直线在平面内.

答案:l?α或l∥α
(3)由u=(1,3,0),v=(-3,-9,0)得(-3,-9,0)=-3(1,3,0),故 u∥v,所以平面α,β的位置关系为平行. 答案:平行

【要点探究】 知识点1 点、直线、平面位置的向量表示

1.点、直线、平面位置确定的关键 (1)确定点:用向量确定空间中的任意一个点,关键是确定一个 基点. (2)确定直线:用向量确定一条直线,关键是确定一个点和一个

方向向量.

(3)确定平面:
①一个定点两个向量:用向量确定一个平面,关键是理解平面向

量基本定理,即存在有序实数对(x,y)使得 OP =xa+yb,这样点O
与向量a,b不仅能确定一个平面,而且还能具体表示出平面内的

一个点.
②一个点一个向量:给定一个点和一个向量,过这个点,以这个 向量为法向量的平面惟一确定.

2.对直线方向向量的三点说明

(1)方向向量的选取:在直线上任取两点P,Q,可得到直线的一个
方向向量 PQ. (2)方向向量的不惟一性:直线的方向向量不是惟一的,可以分 为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.解题时,可以选取 坐标最简的方向向量. (3)非零性:直线的方向向量是非零向量.

3.对平面法向量的两点说明 (1)平面法向量的选取:平面α 的一个法向量垂直于与平面α 共 面的所有向量.即只需作一条垂直于平面的直线,选取该直线的 方向向量. (2)平面法向量的不惟一性:一个平面的法向量不是惟一的,一 个平面的所有法向量共线.在应用时,可以根据需要进行选取.

【微思考】

(1)若点A为定点,向量a为给定向量,对任给实数t,有 AP =
ta,那么点P的轨迹是什么?

提示:点P的轨迹是过A平行于向量a的一条直线.
(2)已知两定点A,B,点M满足 OM= 1 ? OA ? OB ?,试确定点M的
2

位置.
提示:因为 2OM=OA ? OB 所以 OM ? OA=OB ? OM 所以 , ,
AM=MB. 因此点M为线段AB的中点.

(3)在求平面的法向量时,所列的方程组中有三个变量,但只 有两个方程,如何求法向量? 提示:给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一组非零解, 即可作为法向量的坐标.

【即时练】 若a=(1,2,3)是平面α 的一个法向量,则下列向量中能作为平面 α 的法向量的是( A.(0,1,2) C.(-1,-2,3) ) B.(3,6,9) D.(3,6,8)

【解析】选B.因为a=(1,2,3),(3,6,9)=3(1,2,3)=3a,所以向量 (3,6,9)能作为平面α的法向量.

知识点2

用向量法解决空间中的平行问题

空间中平行问题的确定策略 (1)直线与直线平行:关键看直线的方向向量是否共线. (2)直线与平面平行:关键看直线的方向向量与平面的法向量是 否垂直;或者看直线的方向向量与平面内的直线的方向向量是 否共线.特别要强调直线在平面外. (3)平面与平面平行:关键看两平面的法向量是否共线.

【知识拓展】利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤 (1)适当地选取基底{a,b,c},一般情况下要知道a,b,c的长度和 两向量的夹角. (2)用a,b,c表示已知条件和明确需要解决的问题,将立体几何 问题转化为空间向量问题. (3)根据具体问题的要求通过空间向量的运算进行计算和证明.

【微思考】 (1)空间两向量的平行与空间两直线的平行含义相同吗? 提示:空间两向量平行与空间两直线平行是不同的 ,直线平行是

不允许重合的,而两向量平行,它们所在的直线可以平行也可以
重合.

(2)若两平面平行,则其中一个平面内的任一条直线的方向向量
a=(a1,a2,a3)与另一平面的法向量b=(b1,b2,b3)的关系是什么?

提示:两向量的关系为垂直,即a⊥b?(a1,a2,a3)·(b1,b2,b3)=0
?a1·b1+a2·b2+a3·b3=0.

【即时练】 根据下列条件,判断相应的平面与平面、直线与平面的位置关 系. (1)空间两平面α ,β 的法向量分别为u=(1,3,6),v=(-2,-6, -12). (2)直线l的方向向量、平面α 的法向量分别是a=(3,2,1), v=(1,-2,1).

【解析】(1)因为u=(1,3,6),v=(-2,-6,-12), 所以v=-2(1,3,6)=-2u,所以u∥v,所以α∥β. (2)因为a=(3,2,1),v=(1,-2,1), 所以a·v=3-4+1=0,a⊥v,所以l?α 或l∥α.

【题型示范】 类型一 求直线的方向向量、平面的法向量

【典例1】 (1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向 向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x= ,y= .

(2)四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面

ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.在如图所示的坐标系Axyz中,分别求平
面SCD和平面SAB的一个法向量.

【解题探究】1.题(1)中两条直线平行,两条直线对应的方向向 量关系如何? 2.题(2)中直线AD与平面SAB是否垂直,其方向向量能否作为平 面SAB的法向量,平面SCD的法向量所在的直线与直线DC,DS是否 垂直?

【探究提示】1.若两条直线平行则两条直线的方向向量共线, 其坐标对应成比例. 2.直线AD与平面SAB垂直,直线AD的方向向量可以作为平面SAB 的法向量;平面SCD的法向量所在的直线与直线DC,DS垂直.

【自主解答】(1)因为l1∥l2,所以 所以x=-14,y=6. 答案:-14 6

?7 3 4 = = , x y 8

(2)A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2). 因为AD⊥平面SAB,所以 AD =(1,0,0)是平面SAB的一个法 向量.

设平面SCD的法向量为n=(1,y,z),
1 则n·DC=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,所以y= - . 2

又n·DS=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,所以z= . 所以n= (1,- , ) 即为平面SCD的一个法向量.
1 1 2 2

1 2

【方法技巧】 1.利用待定系数法求平面法向量的步骤

2.求平面法向量的三个注意点 (1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量. (2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为一特殊值得另 两个值,就是平面的一个法向量. (3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时 一定要注意这个坐标不为0.

【变式训练】如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别 是AB,PC的中点.

(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量.

(2)若∠PDA=45°,求证 MN为平面PCD的一个法向量.

【解析】(1)取PD的中点E,
连接NE,AE,

因为N是PC的中点,
所以NE∥DC,NE= 1 DC.
2

又DC∥AB,DC=AB,
AM= 1 AB,
2

所以AM∥

1 1 CD,AM= CD,所以NE∥AM,NE=AM. 2 2

所以四边形AMNE是平行四边形,所以MN∥AE. 所以 AE 为直线MN的一个以A为起点的方向向量.

(2)在Rt△PAD中,∠PDA=45°,

所以AP=AD,所以AE⊥PD,
又因为MN∥AE,所以MN⊥PD.

因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,
又因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,

因为AE?平面PAD,所以CD⊥AE.
又因为MN∥AE,所以CD⊥MN,又因为CD∩PD=D, 所以MN⊥平面PCD. 所以MN 为平面PCD的一个法向量.

【补偿训练】两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0, -1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是 .

【解析】由直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2, 0,2),所以v2=-2v1,即v2∥v1,所以l1与l2的位置关系是平行. 答案:平行

类型二

利用空间向量证明空间平行问题

【典例2】 (1)已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),且直线l上有一点P不在 平面α 内,平面α 的一个法向量为v=(-2,1,-4),则l与α 的位置 关系为 .

(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点. 求证:平面AMN∥平面EFDB.

【解题探究】1.题(1)中直线l上有一点P不在平面α内,则直线 与平面的位置关系怎样?向量u与v共线还是垂直? 2.题(2)中依据正方体的特点如何建立空间直角坐标系才能使 尽可能多的点落在坐标轴或坐标面上?

【探究提示】1.因为直线l上有一点P不在平面α内,则直线在

平面外;向量u与v的数量积为0,故两向量垂直.
2.分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐 标系.可使大部分点落到坐标轴或坐标面上.

【自主解答】(1)因为u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0, 所以u⊥v,又因为直线l上有一点P不在平面α内,所以l∥α. 答案:l∥α

(2)如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间 直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),A1(a,0,a), D1(0,0,a),B1(a,a,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).

所以 N( , 0,a),M(a, ,a),
a a E( ,a,a),F(0, ,a), 2 2 所以 AN=(? a , 0,a), 2 a a NM=( , , 0), 2 2 DB =? a,a, 0 ?,

a 2

a 2

a DF =(0, ,a). 2

设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为

m=(x1,y1,z1)和n=(x2,y2,z2),

?m AN ? 0, 则 ? ?

? ?m NM ? 0, ? a ? x1 ? 0 ? y1 ? az1 ? 0, ? ? 2 所以 ? ? a x ? a y ? 0 ? z ? 0, 1 1 1 ? 2 ?2

所以y1=-x1=-2z1.取z1=1, 所以平面AMN的一个法向量为m=(2,-2,1).

? n DB ? 0, 同理由 ? 可得x2=-y2,y2=-2z2. ? ? ?n DF ? 0,

令 z 2= 1 ,

所以平面EFDB的一个法向量为n=(2,-2,1). 因为m=n,所以m∥n, 所以平面AMN∥平面EFDB.

【延伸探究】若把题(1)中的条件“直线l上有一点P不在平面 α 内”去掉,则结果如何? 【解析】因为直线l上有一点P不在平面α内说明了直线在平面 外,若没有这个条件则直线也有可能在平面内所以l∥α或 l?α.

【方法技巧】 1.向量法处理空间平行问题的两个应用 (1)求字母的值:通过线线、线面、面面平行转化为向量的共 线、垂直的关系,再利用向量关系构造关于字母的等量关系, 进而求出字母的值. (2)求点的坐标:可设出对应点的坐标,再利用点与向量的关 系,写出对应向量,利用空间中点、线、面的位置关系,转化

为向量的位置关系,进而建立与所求点的坐标有关的等式.

2.应用向量法证明线面平行问题的方法

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.

(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表
示.即用平面向量基本定理证明线面平行.

3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α//β?n1∥n2?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R).

【变式训练】如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′,点M,N分 别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点. 求证:MN∥侧面AD′;MN∥AD′,并且MN=
1 AD′. 2

【解题指南】证明MN∥侧面AD′可以先选取基底利用共面向量 定理证明向量 MN与平面AD′内的两不共线向量共面.

【证明】设 AB=a, AD =b,AA?=c,
1 则 AM= (a+c), AN =c+ 1 (a+b), 2 2 1 因此 MN=AN ? AM= (b+c). 2

因为M不在平面AD′内, 所以MN∥平面AD′. 又因为b+c= AD? , 所以 MN ? 1 AD?,
2

因此MN∥AD′,MN= AD′.

1 2

【补偿训练】在底面是菱形的四棱锥 P -ABCD中,F为PC的中点,点E在PD上,
PE =2.求证:BF∥平面AEC. ED 【证明】因为 BF=BC+ 1 CP 2 1 1 3 =AD ? CD +DP =AD + CD + DE 2 2 2 1 3 3 1 =AD + AD-AC + AE-AD = AE- AC, 2 2 2 2



?

?

?

? ?

?

所以 BF , AE , AC 共面.

又BF?平面AEC,从而BF∥平面AEC.

【巧思妙解】利用平面向量基本定理巧证平行问题 【典例】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.

【教你审题】

【常规解法】如图所示,以D为原点,DA,
DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建

立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,
1 1 则可求得 M(0, 1 , ),N( , 11) ,, D(0,0,0), 2 2

A1(1,0,1),B(1,1,0),
于是 MN=( , 0, ), DA1 =(1,0,1),DB =(1,1,0).
1 2 1 2

设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),
? x ? z ? 0, 则n· DA1=0,且n· DB =0,得 ? ? x ? y ? 0.

取x=1,得y=-1,z=-1.所以n=(1,-1,-1).
1 又 MN n=( 1 , 0, ) ·(1,-1,-1)=0,所以 MN⊥n. 2 2

又MN?平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.

【巧妙解法】

因为 MN=C1N-C1M= 1 C1B1- 1 C1C= 1 ? D1A1-D1D ?= 1 DA1,
2 2 2 2

所以 MN

DA1. 而MN?平面A1BD,DA1?平面A1BD,所以MN∥

平面A1BD.

【方法对比】 常规法利用建系设点求向量处理,切入点好找,缺点是计 算量大易出错,而巧妙解法则是利用平面向量基本定理直接判 断直线与平面平行,减少了计算量.

【教你一招】

平面向量基本定理妙用
(1)共面向量证明线面平行:已知两个不共线向量v1,v2与平面α

共面,一条直线l的一个方向向量为v,则由共面向量定理,得
l∥α或l在α内?存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.

(2)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转
化,得到向量的共线关系. (3)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平 行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.

【类题试解】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=3,|AD|=4, |AA1|=2.点M在棱BB1上,且|BM|=2|MB1|,点S在DD1上,且 |SD1|=2|SD|,点N,R分别为A1D1,BC的中点,求证:MN∥RS.

【常规解法】如图所示,建立空间直角坐标系,

则根据题意得M(3,0,4 ),N(0,2,2),R(3,2,0), S(0,4,
2 ). 3 3 3

2 2 所以 MN=(?3, , 2, ), RS =( ?3, 2, ), MN=RS , 所以 MN RS 3

因为M?RS,所以MN∥RS.

【巧妙解法】设 AB=a, AD=b, AA1=c,

则 MN=MB1+B1A1+A1 N=1 c-a+ 1 b,
3 1 1 RS =RC +CD +DS = b-a+ c, 2 3 2

所以 MN=RS 所以 MN RS , , 又因为R?MN,所以MN∥RS.


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