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【K12小初高学习】2018北师大版高中数学选修1-1学案:第二章 3.1 双曲线及其标准方程


k12 小初高学习小初高学习 3. 1 学习目标 双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方 程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 知识点一 双曲线的定义 思考 1 如图,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点 F1,F2 上,把笔尖放在点 M 处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲 线上的点应满足怎样的几何条件? 思考 2 已知点 P(x, y)的坐标满足下列条件, 试判断下列各条件下点 P 的轨迹是什么图形? (1)| ?x+5?2+y2- ?x-5?2+y2|=6; (2) ?x+4?2+y2- ?x-4?2+y2=6. 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 梳理 把平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的 集 合 叫 作 双 曲 线 . 定 点 F1 , F2 叫 作 ________________ , 两 个 焦 点 之 间 的 距 离 叫 作 ________________. 知识点二 双曲线的标准方程 思考 1 双曲线的标准形式有两种,如何区别焦点所在的坐标轴? 思考 2 如图,类比椭圆中 a,b,c 的意义,你能在 y 轴上找一点 B,使|OB|=b 吗? 类型一 双曲线的定义及应用 命题角度 1 双曲线中的焦点三角形问题 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 x2 y2 例 1 (1)如图,已知双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),点 A,B 均在双曲线的右支上, a b 线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2,|AB|=m,F1 为双曲线的左焦点,则△ABF1 的周长为 ________. 引申探究 本例(2)中若∠F1PF2=90° ,其他条件不变,求△F1PF2 的面积. x2 y2 (2)已知双曲线 - =1 的左、 右焦点分别是 F1、 F2, 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=60° , 9 16 则△F1PF2 的面积为________. 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一:①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a; ②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式; ③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|· |PF2|的值; 1 ④利用公式 S△PF1F2= ×|PF1|· |PF2|sin∠F1PF2 求得面积. 2 1 (2)方法二:利用公式 S△PF1F2= ×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标)求得面积. 2 特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2||= 2a 的变形使用,特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|· |PF2|间的关系. 跟踪训练 1 已知 F1, F2 为双曲线 C: x2-y2=2 的左, 右焦点, 点 P 在 C 上, |PF1|=2|PF2|, 则 cos ∠F1PF2 等于( 1 A. 4 3 B. 5 3 4 C. D. 4 5 ) 命题角度 2 由双曲线定义求轨迹方程 例 2 已知在△ABC 中,三边长分别为 a,b,c,B(-1,0),C(1,0),求满足 sin C-sin B= sin A 的顶点 A 的轨迹. 1 2 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点 (1)注意条件中是到定点距离之差,还是差的绝对值. (2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上. 跟踪训练 2 已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,则 动圆圆心 M 的轨迹方程为( x2 y2 A. - =1(x≥ 2) 2 14 x2 y2 C. - =1 14 2 类型二 求双曲线的标准方程 例 3 求下列双曲线的标准方程. (1)与椭圆 y2 x2 + =1 有公共焦点,且过点(-2, 10); 25 16 ) x2 y2 B. - =1 2 14 x2 y2 D. + =1 2 14 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)过点 P(3, 15 16 ),Q(- ,5),且焦点在坐标轴上. 4 3 反思与感悟 待定系数法求方程的步骤 (1)定型:即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴. (2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式. ①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为 Ax2+By2=1(AB<0); 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 x2 y2 x2 y2 ②与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为 2 - 2 =1(-b2 a b a -k b +k <k<a2). (3)计算:利用题中条件列出方程组,求出相关值. (4)结论:写出双曲线的标准方程. 跟踪训练 3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c= 6,经过点 A(-5,2),焦点在 x 轴上; (2)经过点 P(4,-2)和点 Q(2 6,2 2); x2 y2 (3)已知双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且过点( 15,4). 27 36 类型三 由双曲线标准方程求参数 x2 y2 例 4 已知曲线 -m=1. 16-m (1)当曲线为椭圆时,求 m 的取值范围,并写出焦点坐标; (2)当曲线为双曲线时,求 m 的取值范围,并写出焦点坐标. 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 x2 y2 反思与感悟 (1)对于方程 + =1,当 mn<0 时表示双曲线.进一步,当 m>0,n<0 时表 m n

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