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D8_7方向导数与梯度_图文


第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度

三、物理意义

一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处

l

沿方向 l (方向角为 ? , ? , ? ) 存在下列极限: ?f lim
? ?0

?

P?

P( x, y, z )

f ( x ? ?x, y ? ?y, z ? ?z ) ? f ( x, y, z ) 记作 ? f ? lim ? ?l ? ?0 ?

?

?f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. ?l

定理: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 ?f ?f ?f ?f l ? cos ? ? cos ? ? cos ? ?l ? x ?y ?z

?

P?

证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 ?f ?f ?f ?f ? ?x? ? y? ? z ? o (? ) ?x ?y ?z

P( x, y, z )

??


?

? ? o (? )

?f ?f ? f ?f ?f ? lim ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? l ? ?0 ? ? x ?y ?z

对于二元函数 f ( x, y ) , 在点 P( x, y ) 处沿方向 l (方向角
为?, ? ) 的方向导数为 ?f f ( x ? ?x, y ? ?y ) ? f ( x, y ) ? lim ? l ? ?0 ?

y
l

l

? f x ( x, y ) cos ? ? f y ( x, y ) cos ?

P

o

x

特别:

?f ?f ? ? 当 l 与 x 轴同向 ?? ? 0 , ? ? ? 时, 有 2 ?l ? x ?f ?f ? ? 当 l 与 x 轴反向 ?? ? ? , ? ? ?时, 有 ?? ?l ?x 2

?

例1. 求函数
3) 的方向导数 .

在点 P(1, 1, 1) 沿向量

解: 向量 l 的方向余弦为

?u ? ?l

P

2 ? ? ? 2x yz ? 14 ?

3 ? ? x y? ? 14 ?
2

例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.

在点P(2, 3)沿曲线

解:将已知曲线用参数方程表示为 ?x? x ? y ? x2 ?1 ? 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x ? 2 ? (1, 4) 1 4 ? cos ? ? , cos ? ? 17 17

y

P

o

?1 2

x

60 ? 17

例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:

在点 P(1, 1, 1 )处

在点P 处沿

n ? (4 x , 6 y , 2 z ) P ? 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos ? ? , cos ? ? , cos ? ? 14 14 14 ?u 6x 6 ? ? 而 2 2 P ?x P z 6x ? 8 y 14
同理得

?

?u ?n

P

1 11 ? ?6 ? 2 ? 8 ? 3 ? 14 ? 1 ? ? 14 7

二、梯度

?f ?f ?f ?f ? cos ? ? cos ? ? cos ? 方向导数公式 ?l ? x ?y ?z ? ?f, ?f, ?f ? 令向量 G ? ? ? ? ?x ?y ?z ? l 0 ? (cos ? , cos ? , cos ? )

当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值: ?f ?? G max ? ?l
这说明 G : 方向:f 变化率最大的方向

模 : f 的最大变化率之值

1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),

记作 grad f , 即

? ?f, ?f, ?f ? ?? ? ? ?x ?y ?z ?
同样可定义二元函数 在点 P( x, y ) 处的梯度

说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义

? z ? f ( x, y ) 在 xoy 面上的投 对函数 z ? f ( x, y) ,曲线 ? ? z ?C * 影 L : f ( x, y ) ? C 称为函数 f 的等值线 .

设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为 y f ? c3 ( f x , f y ) P ? grad f P f ? c2 同样, 对应函数 P 有等值面(等量面) f ? c1 o x 当各偏导数不同时为零时, 其上 ( 设 c1 ? c2 ? c3 ) 点P处的法向量为 grad f P .
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,

指向函数增大的方向.

3. 梯度的基本运算公式

(2) grad (C u ) ? C grad u (4) grad ( u v ) ? u grad v ? v grad u

例4.
处矢径 r 的模 , 试证

证:

x ? f ?(r ) ? f ?(r ) 2 2 2 r x ?y ?z

x

? f (r ) y ? f (r ) z ? f ?(r ) , ? f ?(r ) ?y r ?z r ? f (r ) ? ? f (r ) ? ? f (r ) ? ? grad f (r ) ? j ? k i? z P ?y ?z ?x r ? ? 1 ? ? f ?(r ) ( x i ? y j ? z k ) o r y 1? ? x ?(r ) r ? f ?(r ) r 0 ? f r

三、物理意义
数量场 (数性函数)

函数



如: 温度场, 电位场等 向量场(矢性函数)

(物理量的分布)

如: 力场,速度场等
可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f ( P) (向量场)

注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.

例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 q 处所产生的电位为 u ? ( r ? x 2 ? y 2 ? z 2 ), 试证 4? ? r q grad u ? ? E (场强 E ? r 0) 4π ε r 2 证: 利用例4的结果 grad f (r ) ? f ?(r ) r 0

grad u ? ?

q 4? ? r

? r 0? ? ?

q 4? ? r

r 0 ? ?E 2

这说明场强: 垂直于等位面,

且指向电位减少的方向.

内容小结
1. 方向导数

? 三元函数

在点

沿方向 l (方向角

为? , ? , ? ) 的方向导数为 ?f ?f ?f ?f ? cos ? ? cos ? ? cos ? ?l ?x ?y ?z
? 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为

? , ? )的方向导数为
?f ?f ?f ? cos ? ? cos ? ?l ?x ?y

2. 梯度 ? 三元函数

在点

处的梯度为

? ?f ,?f ,?f ? grad f ? ? ? ? ?x ? y ?z ?
? 二元函数 3. 关系 在点 处的梯度为

grad f ? ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
? 可微 方向导数存在
0

偏导数存在

?f ? grad f ? l ? ?l

梯度在方向 l 上的投影.

思考与练习
1. 设函数

(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 ? . 2. P73 题 16

解答提示:
1. (1) 曲线 在点

M (1,1,1) 处切线的方向向量

l
函数沿 l 的方向导数 ?f ? ? f x ? cos ? ? f y ? cos ? ? f z ? cos ? ? (1,1,1) ?l M

(2) grad f

M

? (2 , 1 , 0)

cos? ?

?f ?l M l ? grad f M l

6 ? ? ? arccos 130
2. P73 题 16
?u ?n 2 x0 2 y0 2 z0 2 x0 ? 2 ? 2 y0 ? 2 ? 2 z0 ? 2 a b c ? ? x0 2 y0 2 z0 2 2 4 ? 4 ? 4 a b c

2 x0 2 y 0 2 z 0 2 ? 4 ? 4 4 a b c

M0

作业
P51 2,3,6,7,8,9,10

备用题 1. 函数
处的梯度 解: 则

在点

2 (1, 2 , ? 2) 9

(92考研)

注意 x , y , z 具有轮换对称性

2 ? (1, 2 , ? 2) 9

u ? ln(x ? y 2 ? z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, -2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 则
1 2

. (96考研)

? {cos? , cos ? , cos ? }

ln( x ? 1)
ln(1 ? y ? 1)
2

1 ? 2


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