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高三一轮复习丛书(10导数的概念、导数的计算及导数与切线


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高三文科数学一轮复习

导数的概念、导数的计算及导数与切线

(选修 1 -1)

导数的概念、导数的计算及导数与切线
【知识要点】
1.导数的概念:函数 y= f ( x) 在 x ? x0 处的导数,就是当 Δ x ? 0 时,函数的增量 Δ y 与 自变量的增量 Δ x 的比
?y 的 ?x

,记作 f ( x0 ) 或 y

/

/

x ? x0

2.导函数:函数 y= f ( x) 在区间(a, b)内 的导数都存在,就说 f ( x) 在区间( a, b ) 内 ,其导数也是(a ,b )内的函数,叫做 f ( x ) 的 ,记作 f ?( x) 或 y?x , 3.导数的几何意义:设函数 y= f ( x) 在点 x0 处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示 曲线在相应点 M ( x0 , y0 ) 处的 . 4.求导数的方法 (1) 八个基本求导公式
(C)? =
(e x )? =
( x n )? = (a x )? =

; ,

;(n∈Q); (sin x)? = , (ln x)? =

, (cos x)? =

, (loga x)? =

(2) 导数的四则运算
(u ? v)? = [Cf ( x)]? =

, (uv)? =

)? = , (u v

(v ? 0)

【典例解析】
x2 ? x ? 1 例 1.求下列函数的导数 (1) y ? 2 x ? x ?1
(2) y ? 3 e ? e ln2x
x x

例 2. 设 f ( x) ? ? x ? 3x ? 1 求: 1)在 x ? ?3 处的切线方程,(2) 过(-3,1)的切线方程。
3 2

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导数的概念、导数的计算及导数与切线

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【巩固练习】
一.选择题 1.一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s= A.4s 末 2.函数 y ? mx
2 m?n

1 4 3 2 t -4t +16t ,则速度为零的时刻是 4
D.0s,4s,8s 末 ( ( ) )

B.8s 末
3

C.0s 与 8s 末

的导数为 y ? ? 4 x ,则 B.m =-1,n=2 C.m =-1,n =-2 D.m =1,n =-2

A.m = 1,n = 2
4

3.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0





D. x ? 4 y ? 3 ? 0 ( )

4.设函数 f(x)在 x0 处可导,则 lim A.f′(x0) B.0 5.下列求导运算正确的是

h ?0

( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) 等于 h
D.-2f′(x0)

C.2f′(x0)

(

)

1 1 A.( x ? )? ? 1 ? 2 x x
3

1 B.(log 2 x)? ? C. (x 2cosx)? ? -2xsinx x ln 2

D.(3x )? ? 3x log3 e

6.点 P 在曲线 y ? x ? x ? 7 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围是

? ? 3? ) ? ( , ? ) D. [0, ] ? [ , ? ) ( 2 2 2 2 4 7.曲线 y ? ln(2 x ?1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 ( A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D.0
A. [0, ? ] B. [0,

?

) ?[

3? ,? ) 4

C. [0,

?

) )

8.设 a>0,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0) )处切线的倾斜角的取值 π 范围为[0, ] ,则 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为 ( ) 4 1 1 b b ?1 A.[0, ] B.[0, ] C.[0,| |] D.[0,| |] a 2a 2a 2a 二.填空题 9.设曲线 y ? x ? ax ? b 在 x=1 处的切线方程是 y ? x ,则 a ?
4

2

,b ?

.

ex 在 x ? x0 处的导数值与函数值互为相反数,则 x0 = x 11.设 f(x)= ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) , 则 f′(1)=
10.已知函数 y ?
2 2

。 .

12.两曲线 y=x +1 与 y=a-x 在交点处的两切线的互相垂直,则 a 为_________.

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导数的概念、导数的计算及导数与切线
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(选修 1 -1)

13.曲线 y=x +1 上过点 P 的切线与曲线 y=-2x -1 相切,则点 P 的坐标 三.解答题 14.求下列函数的导数(1) y ? (2 x ? 1)(3x ? 1)
2

.

(2) y ? xe (1 ? ln x ) ;
x 3

(3) y ?

cos x sin x ? 3

(4)y=(x2-2x+3)e2x;

15.设函数 f ( x) ? ax ? bx (a ? 0) ,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线
3

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 .求 a , b 的值。

16.★已知曲线 C:y=x -3x +2x,直线 l:y=kx,且直线 l 与曲线 C 相切于点(x0,y0) (x0 ≠0) ,求直线 l 的方程及切点坐标.

3

2

【反思后记】


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