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【高考精品复习】第四篇 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理


第6讲 【高考会这样考】 正弦定理和余弦定理 1.考查正、余弦定理的推导过程. 2.考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 3.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法. 【复习指导】 1.掌握正弦定理和余弦定理的推导方法. 2.通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题过程中做到正余弦 定理的优化选择. 基础梳理 a b c 1.正弦定理:sin A=sin B=sin C=2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦 定理可以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; a b c (3)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R等形式,以解决不同的三角形问题. 2 . 余弦定理: a2 = b2 + c2 - 2bccos_A , b2 = a2 + c2 - 2accos_B , c2 = a2 + b2 - b2+c2-a2 a2+c2-b2 2abcos_C.余弦定理可以变形为:cos A= 2bc ,cos B= 2ac ,cos C a2+b2-c2 = 2ab . 1 1 1 abc 1 3.S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· r(R 是三角形外接圆 半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r. 4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A, 则 A 为锐角 A 为钝角或 直角 图形 关系 式 解的 个数 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 无解 一解 两解 一解 一解 无解 一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角 也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知两角及任一边,求其它边或 角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况 (2)中结果可能有一解、两 解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角求第三 边和其他两角;(2)已知三边,求各角. 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编)在△ABC 中, A=60° , B=75° , a=10, 则 c 等于( A.5 2 10 6 C. 3 B.10 2 D.5 6 ). 解析 由 A+B+C=180° ,知 C=45° , a c 由正弦定理得:sin A=sin C, 即 10 c 10 6 = .∴c= 3 . 3 2 2 2 答案 C sin A cos B 2.在△ABC 中,若 a = b ,则 B 的值为( A.30° B.45° C.60° D.90° ). 解析 由正弦定理知: sin A cos B . sin A= sin B ,∴sin B=cos B,∴B=45° 答案 B 3.(2011· 郑州联考)在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° B.45° C.60° D.75° ). 解析 由余弦定理得:cos A= ∵0<A<π,∴A=60° . 答案 C b2+c2-a2 1+4-3 1 = = , 2bc 2×1×2 2 1 4.在

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