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2011届高三数学一轮复习精品课件:数列求和(必修5)


第4课时

数列求和

基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 求数列的前 项和的方法 1.公式法 . (1)等差数列的前 项和公式 等差数列的前n项和公式 等差数列的前 n(a1+an) n(n-1) - na1+ d 2 S n= 2 = .

基础知识梳理
(2)等比数列前 项和公式 等比数列前n项和公式 等比数列前 ①当q=1时,Sn=na1; = 时
a1(1-qn) - S ②当 q≠1 时, n= ≠ = 1-q - a1-anq . 1-q -

基础知识梳理
2.分组转化法 . 把数列的每一项分成两项, 把数列的每一项分成两项,使其 转化为几个等差、等比数列, 转化为几个等差、等比数列,再求 解. 3.裂项相消法 . 把数列的通项拆成两项之差求 正负相消剩下首尾若干项. 和,正负相消剩下首尾若干项.

基础知识梳理
4.倒序相加法 . 把数列正着写和倒着写再相加(即 把数列正着写和倒着写再相加 即 等差数列求和公式的推导过程的推 广). . 5.错位相减法 . 主要用于一个等差数列与一个等 比数列对应项相乘所得的数列的求 和,即等比数列求和公式的推导过程 的推广. 的推广.

三基能力强化
1.数列 n}的前 n 项和为 Sn,若 .数列{a 的前 1 an= 等于( ) ,则 S5 等于 n(n+1) + 5 A.1 B. . 6 1 1 C. D. 6 30 答案:B 答案:

三基能力强化
2. 已知数列 n}的通项公式是 an . 已知数列{a 的通项公式是 n 2 -1 321 = n ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 64 2 n 等于 等于( )

A.13 . C.9 . 答案: 答案:D

B.10 . D.6 .

三基能力强化
3.数列{(-1)nn}的前 .数列 - 的前2010项的 的前 项的 ) 和S2010为( A.- .-2010 B.- .-1005 .- .- C.2010 . D.1005 . 答案: 答案:D

三基能力强化
4.(教材习题改编 已知 an=n . 教材习题改编 教材习题改编)已知 1 则数列{a 的前 + n,则数列 n}的前 n 项和 Sn= 3 ________.
1 2 1 答案: 答案: (n +n+1- n) + - 2 3

三基能力强化
5.在数列{an}中,a1=1,a2= .在数列 中 , 2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*), , +- ∈ , + 则S100=________. 答案:2600 答案:

课堂互动讲练
考点一 分组转化求和

分组转化求和就是从通项入手, 分组转化求和就是从通项入手, 若无通项,则先求通项, 若无通项,则先求通项,然后通过对 通项变形, 通项变形,转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之 项和的数列来求之. 数列前 项和的数列来求之.

课堂互动讲练
例1 已知数列 }的前几项是 +2- 已知数列{an 的前几项是 的前几项是3+ - 1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,写出 + + + , 的通项并求其前n项和 数列{a 的通项并求其前 项和S 数列 n}的通项并求其前 项和 n.

课堂互动讲练
【思路点拨】 思路点拨】
先求通项 → 转化为几个易求和数列形式 → 分别求和 → 得结论

课堂互动讲练
由已知得,数列{a 的 【解】 由已知得,数列 n}的 通项公式为a 通项公式为 n=3n+2n-1=3n-1+ + = - + 2 n, ∴Sn=a1+a2+…+an + =(2+5+…+3n-1)+(2+22 + + + - + + …+ +…+2n) n(2+ 3n-1) 2(1- 2n) + - - = + 2 1- 2 - 1 + = n(3n+1)+ 2n 1-2. + + 2

课堂互动讲练
【规律小结】 分组转化求和常见 规律小结】 类型及方法. 类型及方法. (1)an=kn+b,利用等差数列前 项 + ,利用等差数列前n项 和公式直接求解; 和公式直接求解; - (2)an=aqn-1,利用等比数列前 项 利用等比数列前n项 和公式直接求解; 和公式直接求解; (3)an=bn±cn,数列 n},{cn}是等 数列{b , 是等 比数列或等差数列, 比数列或等差数列,采用分组求和法求 {an}的前 项和. 的前n项和 的前 项和. 提醒:应用等比数列前n项和公式 提醒:应用等比数列前 项和公式 要注意公比q的取值 的取值. 时,要注意公比 的取值.

课堂互动讲练
互动探究
例 1 中如果已知数列的通项公式 an= n 项和 Sn. a 1 解: n 项和为 Sn= (1+ 1)+ ( + 前 + + a 1 1 4)+ ( 2 + 7)+ … + ( n- 1+ 3n- 2)= (1 + + - = a a 1 1 1 + + 2+ …+ n- 1)+ [1+ 4+ 7+ …+ + + + + a a a (3n- 2)], - , - , n- 1+ 3n-2,求其前 1

课堂互动讲练
1 1 1 设 S1=1+ + 2+…+ n- 1, + a a a 当 a=1 时,S1=n;当 a≠1 时, = ; ≠ an-1 S1= n n- 1, a -a S2 = 1 + 4 + 7 + … + (3n - 2) = (3n- 1)n - . 2

课堂互动讲练
∴ 当 a = 1 时 , Sn = S1 + S2 = n + (3n- 1)n (3n+ 1)n - + = ; 2 2 an-1 a≠ 当 a≠1 时,Sn= S1+S2= n n- 1+ a -a (3n- 1)n - . 2

课堂互动讲练
考点二 裂项相消求和

1.利用裂项相消法求和时,应 .利用裂项相消法求和时, 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项,也有可能前面剩两项, 最后一项,也有可能前面剩两项,后 面也剩两项, 面也剩两项,再就是将通项公式裂项 有时候需要调整前面的系数, 后,有时候需要调整前面的系数,使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等. 公式相等.

课堂互动讲练
2. 一般情况如下, 若 {an}是等差 . 一般情况如下, 是等差 1 1 1 1 1 数列, ), 数列, 则 = ( - , = anan+1 d an an+1 anan+2 1 1 1 ( - ). 此外根式在分母上时可 . 2d an an+2 考虑利用有理化因式相消求和. 考虑利用有理化因式相消求和.

课堂互动讲练
例2 已知等差数列 n}的首项 1≠0,前n项 已知等差数列{a 的首项 的首项a , 项 和为S 等比数列{b 满足 和为 n,且S4+a2=2S3;等比数列 n}满足 b1=a2,b2=a4. (1)求证:数列 n}中的每一项都是数 求证: 求证 数列{b 中的每一项都是数 中的项; 列{an}中的项; 中的项 2 (2)若 a1=2,设 cn= 若 , ,求数 log2bnlog2bn+1 列{cn}的前 n 项和 Tn. 的前 (3)在(2)的条件下,若有 的条件下, 在 的条件下 若有f(n)=log3Tn, = 的和T 求f(1)+f(2)+…+f(n)的和 n. + + + 的和

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)由已知条件寻 思路点拨】 由已知条件寻 的关系, 表示出 表示出c 找a1与d的关系,(2)表示出 n采用裂项 的关系 法. 【解】 (1)证明:设等差数列 证明: 证明 {an}的公差为 , 的公差为d, 的公差为 由S4+a2=2S3,得 4a1+6d+a1+d=6a1+6d, + = , , ∴a1=d, 则an=a1+(n-1)d=na1, - = ∴b1=2a1,b2=4a1,

课堂互动讲练

b2 等比数列{b 的公比 = 等比数列 n}的公比 q= = 2, , b1 n- 1 n 则 bn=2a12 =2 a1, n * ∵2 ∈N ,∴{bn}中的每一项都是 中的每一项都是 {an}中的项. 中的项. 中的项

课堂互动讲练
(2)当 a1= 2 时, 当 bn= 2
n+ 1

2 1 , cn= = 2( - (n+1)(n+2) n+ 1 + + +

1 ) n+ 2 + 则 Tn= c1+ c2+…+ cn 1 1 1 1 1 1 =2( - + - +…+ - ) 2 3 3 4 n+ 1 n+ 2 + + 1 1 n )= . =2( - = 2 n+ 2 n+ 2 + +

课堂互动讲练
n (3)f(n)=log3Tn=log3 . = n+2 + Tn=f(1)+f(2)+…+f(n) + + 1 2 n =log3 +log3 +…+log3 3 4 n+2 + 12 n ) =log3( … … 34 n+2 + 2 . =log3 (n+1)(n+2) + +

课堂互动讲练
规律总结】 常见的拆项公式有: 【规律总结】 常见的拆项公式有: 1 1 1 (1) = - ; n n+ 1 n(n+ 1) + + 1 11 1 (2) ); = ( - ; n(n+ k) k n n+ k + + 1 1 1 1 (3) ); = ( - ; (2n- 1)(2n+ 1) 2 2n- 1 2n+ 1 - + - +

课堂互动讲练
1 1 1 (4) = [ - n(n+ 1)(n+ 2) 2 n(n+ 1) + + + 1 ]; ; (n+1)(n+2) + + 1 (5) = n+ 1- n; + - ; n+ n+ 1 + + 1 1 (6) = ( n+ k- n). + - . n+ n+ k k + +

课堂互动讲练
考点三 错位相减法求和

1.如果数列{an}是等差数列, .如果数列 是等差数列, 是等差数列 {bn}是等比数列,求数列 nbn}的前 是等比数列, 的前n 是等比数列 求数列{a 的前 项和时,可采用错位相减法. 项和时,可采用错位相减法. 2.用乘公比错位相减法求和 . 时,应注意

课堂互动讲练
(1)要善于识别题目类型,特别是 要善于识别题目类型, 要善于识别题目类型 等比数列公比为负数的情形; 等比数列公比为负数的情形; (2)在写出 n”与“qSn”的表达式 在写出“S 与 在写出 的表达式 时应特别注意将两式“错项对齐 以便 时应特别注意将两式 错项对齐”以便 错项对齐 下一步准确写出“S 的表达式. 下一步准确写出 n-qSn”的表达式. 的表达式

课堂互动讲练
例3 (2009年高考山东卷 等比数列 n} 年高考山东卷)等比数列 年高考山东卷 等比数列{a 的前n项和为 项和为S 的前 项和为 n,已知对任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数 =bx+ 均在函数y= ∈ , 均在函数 r(b>0且b≠1,b,r均为常数 的图象 均为常数)的图象 且 , , 均为常数 上. (1)求r的值; 的值; 求 的值 n+1 + (2)当 b= 2 时 , 记 bn= 当 = 4an (n∈N*), 求数列{b 的前 ∈ , 求数列 n}的前 n 项和 Tn.

课堂互动讲练
表示出a 【思路点拨】 (1)表示出 n,利 思路点拨】 表示出 用等比数列的定义求得r; 用等比数列的定义求得 ; (2)采用错位相减法求和. 采用错位相减法求和. 采用错位相减法求和 【解】 (1)由题意,Sn=bn+r, 由题意, , 由题意 - 当n≥2时,Sn-1=bn-1+r. 时 - - 所以a 所以 n=Sn-Sn-1=bn-1(b-1). - . - 由于b>0且b≠1, 由于 且 , 所以n≥2时,{an}是以 为公比的 是以b为公比的 所以 时 是以 等比数列, 等比数列, 又a1=b+r,a2=b(b-1), +, - ,

课堂互动讲练
b(b- 1) - a2 =-1. =b,即 , =b,解得 r=- , =- a1 b+ r + * n- 1 (2)由 (1)知 , n∈N , an= (b- 1)b 由 知 ∈ - n- 1 =2 , n+ 1 n+ 1 + + 所以 bn= n- 1= n+ 1 . 4×2 2 × n+ 1 + 2 3 4 Tn= 2+ 3+ 4+…+ n+ 1 , 2 2 2 2

课堂互动讲练
n+ 1 + 1 2 3 n Tn= 3+ 4+…+ n+ 1+ n+ 2 , 2 2 2 2 2 n+ 1 + 1 2 1 1 1 两式相减得 Tn= 2+ 3+ 4+…+ n+ 1- n+ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 - 3× (1- n- 1) 2 n+ 1 3 n+ 1 + + 1 2 1 = + - n+ 2 = - n+ 1- n+ 2 , 2 1 4 2 2 2 1- - 2 + + 3 1 n+ 1 3 n+ 3 故 Tn= - n- n+ 1 = - n+ 1 . 2 2 2 2 2

课堂互动讲练
【误区警示】 利用错位相减法 误区警示】 求和时,转化为等比数列求和. 求和时,转化为等比数列求和.若公 比是个参数(字母 字母), 比是个参数 字母 ,则应先对参数加 以讨论,一般情况下分等于1和不等 以讨论,一般情况下分等于 和不等 两种情况分别求和. 于1两种情况分别求和. 两种情况分别求和

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考点四 数列求和的综合应用

对于由递推关系给出的数列, 对于由递推关系给出的数列,常 借助于S + 借助于 n+1-Sn=an+1转换为 n与an+1 + 转换为a + 的关系式或S 的关系式或 n与Sn+1的关系式,进而 + 的关系式, 求出a 使问题得以解决. 求出 n或Sn使问题得以解决.

课堂互动讲练
例4 (解题示范 本题满分 分) 解题示范)(本题满分 解题示范 本题满分12分 设数列{a 满足 满足a 设数列 n}满足 1=a,an+1=can , + 其中a, 为实数且 +1-c,n∈N*,其中 ,c为实数且 - , ∈ c≠0. (1)求数列 n}的通项公式; 求数列{a 的通项公式 的通项公式; 求数列 1 1 (2)设 a= ,c= ,bn=n(1-an), 设 = = - , 2 2 n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ∈ 求数列 的前

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)通过已知条件 思路点拨】 通过已知条件 递推变形, 递推变形,构造等比数列或用迭代法 求解a 求解 n; (2)利用错位相减法求 n. 利用错位相减法求S 利用错位相减法求

课堂互动讲练
1), , 法一: 【解】 (1)法一:∵an+1-1=c(an- 法一 = +

是首项为a- , ∴当a≠1时,{an-1}是首项为 -1, 时 是首项为 公比为c的等比数列. 公比为 的等比数列. 的等比数列 - ∴an-1=(a-1)cn-1, = - - 即an=(a-1)cn-1+1. - 仍满足上式. 3分 当a=1时,an=1仍满足上式 = 时 仍满足上式 分 数列{a 的通项公式为 ∴数列 n}的通项公式为 - an=(a-1)cn-1+1(n∈N*). 4分 - ∈ 分

课堂互动讲练
法二:由题设得: 法二:由题设得:n≥2时, 时 an-1=c(an-1-1)=c2(an-2-1) = = - -
- - =cn-1(a1-1)=(a-1)cn-1. = - - ∴an=(a-1)cn-1+1.3分 - 分 n=1时,a1=a也满足上式. 也满足上式. = 时 也满足上式 ∴{an}的通项公式为 的通项公式为 - 4分 分 an=(a-1)cn-1+1(n∈N*). - ∈

=…

课堂互动讲练
(2)由 (1)得 bn= n(1-a)c 由 得 -
n- 1

1n =n( ) , 2

Sn=b1+b2+…+ bn 1 12 1n = + 2( ) + …+n( ) , 6 分 2 2 2 1 12 13 1n Sn= ( ) + 2( ) + …+ (n- 1)( ) + - 2 2 2 2 1 n+ 1 n( ) , 2

课堂互动讲练
1 1 12 1n 1 n+1 ∴ Sn= + ( ) +…+ ( ) - n( ) , 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n- 1 ∴ Sn = 1 + + ( ) + … + ( ) - 2 2 2 1n n( ) 2 1n 1n =2[1- ( ) ]- n( ) . - - 2 2 1n ∴Sn= 2- (2+ n)( ) . - + 2

12 分

课堂互动讲练
【名师点评】 数列综合问题、 名师点评】 数列综合问题、 数列通项、 数列通项、数列求和从近几年高考看 考查力度非常大, 考查力度非常大,常以解答题形式出 同时数列与三角函数、 现,同时数列与三角函数、解析几何 以及不等式证明问题相结合更是高考 考查的重点. 考查的重点.本例既考查了数列通 又考查了数列求和, 项,又考查了数列求和,同时也考查 了不等式的证明, 了不等式的证明,解题时注意分类讨 论思想的应用. 论思想的应用.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分 分)已知数列 n}满足 n= 本题满分12分 已知数列 已知数列{a 满足 满足a 本题满分 2an-1+2n+2(n≥2),a1=2. , - (1)求a2,a3,a4; 求 an+λ (2)是否存在一个实数 λ,使得数列{ (2)是否存在一个实数 λ,使得数列{ n } 2 成等差数列,若存在,求出λ的值 的值; 成等差数列,若存在,求出 的值;若不存 在,请说明理由; 请说明理由; (3)求数列 n}的前 项和 n. 求数列{a 的前 项和S 的前n项和 求数列

课堂互动讲练
解:(1)a2=4+4+2=10,a3=20 + + = , +8+2=30, + = , a4=60+16+2=78. 3分 + + = 分
(2)假设存在一个实数 λ,使得数列 假设存在一个实数 , an+ λ { n }成等差数列, 成等差数列, 成等差数列 2 an- 1+ λ an+ λ - = 则 n n- 1 2 2 2an-1+ 2n+2+ λ-2an-1-2λ + - 2n

课堂互动讲练
2- λ - 恒为常数, 5分 =1+ n 恒为常数, + 2 ∴2- λ= 0 即 λ=2, - = = , a1+ 2 a2+ 2 a1+ 2 此时 =2, 2 - , =1. 2 2 2 an+ λ ∴当 λ=2 时数列 = 时数列{ n }是首项为 是首项为 2 2、公差为 1 的等差数列 的等差数列. 7分 、

课堂互动讲练
an+2 a1+ 2 (3)由 (2)得 n = 由 得 + (n- 1)= - = 2 2 n+ 1 + 9分 ∴an= (n+1)2n- 2 +

Sn=2×2+3×22+4×23+…+(n × + × × + +1)2n-2n 2Sn=2×22+3×23+4×24+…+ × × × + + (n+1)2n+1-4n + 两式相减得: 两式相减得:

课堂互动讲练
-Sn=2×2+22+23+…+2n-(n × + + + +1)2n+1+2n =-n× + =- ×2n+1+2n ∴Sn=n×2n+1-2n. × + 12分 分

规律方法总结
1.求数列通项的方法技巧:(1) .求数列通项的方法技巧: 通过对数列前若干项的观察、分析, 通过对数列前若干项的观察、分析, 找出项与项数之间的统一对应关系, 找出项与项数之间的统一对应关系, 猜想通项公式;(2)理解数列的项与前 猜想通项公式; 理解数列的项与前 n项和之间满足 n=Sn-Sn-1(n≥2)的 项和之间满足a 项和之间满足 的 - 关系, 关系,并能灵活运用它解决有关数列 问题. 问题.

规律方法总结
2.数列求和,如果是等差、等 .数列求和,如果是等差、 比数列的求和, 比数列的求和,可直接用求和公式求 公式要做到灵活运用. 解,公式要做到灵活运用. 3.非等差、等比数列的一般数 .非等差、 列求和,主要有两种思路: 列求和,主要有两种思路: (1)转化的思想,即将一般数列设 转化的思想, 转化的思想 法转化为等差或等比数列, 法转化为等差或等比数列,这一思想 方法往往通过通项分解或错位相消来 完成; 完成;

规律方法总结
(2)不能转化为等差或等比的特殊 不能转化为等差或等比的特殊 数列,往往通过裂项相消法、 数列,往往通过裂项相消法、错位相 减法、倒序相加法等来求和, 减法、倒序相加法等来求和,要将例 题中的几类一般数列的求和方法记 牢.

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