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新课标2012年高三年级高考模拟文科数学试题


新课标 2012 年高三年级高考模拟文科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ? N }的真子集 的个数是( ... A.16 2.若复数 z ? A. ?3 B.8 C.7 ) C. 0 D. 3 ) ) D.4

x ? 3i ( x ? R) 是实数,则 x 的值为( 1? i
B. 3

3.曲线 C: y ? x 2 ? x 在 x ? 1 处的切线与直线 ax-y + 1 = 0 互相垂直,则实数 a 的值为( A. 3 B. -3 C.

1 3
)

D. -

1 3

3

4.下列四个函数中,在区间 (0,1) 上为减函数的是( A. y ? log2 x

1 B. y ? x

1 x C. y ? ?( ) 2

D. y ? x

1 3

2 3 正视图 侧视图

5.设图 1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

9 9 ? ? 12 ? ? 18 A. 2 B. 2
C. 9? ? 42 D. 36? ? 18 俯视图 图1 6. 下列命题: ①若 p,q 为两个命题,则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件. ②若 p 为: ? ?? R, x 2 ? 2 x ? 0 ,则 ?p 为: ? ?? R, x 2 ? 2 x ? 0 . ③命题“ ?x, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否命题是“ ?x, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”. ④命题“若 ?p, 则 q”的逆否命题是“若 p,则 ?q ”. 其中正确结论的个数是 A.1 7.双曲线 B. 2 C.3 D.4

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则它的渐近线方程是 a2 b2
B. y ? ?

A. y ? ? 2 x

2 x 2

C. y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2

8.将函数 y ? cos (x ?

?
3

的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平移 )

? 个单 6

位,所得函数的最小正周期为 A.π B.2π C.4π D.8π

9.阅读右侧的算法框图,输出的结果 S 的值为 A. 1 B.

1 2

C. 3

D.

3 2

10. ? ABC 中,三边之比 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,则最大角的余弦值等于 A.

1 4

B.

7 8

C. ?

1 2

D. ?

1 4

第 9 题图

11. 数列 {an } 中, a3 ? 2, a5 ? 1, 如果数列 { A. 0

1 } 是等差数列,则 a11 ? an ? 1
1 13
D. ?

B.

1 11

C. ?

1 7

12.已知 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2, x ? 0 ?3x ? 2, x ? 0

,若 | f ( x) |? ax 在 x ? [?1,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 B. [ ?1,0] C. [0,1] D. [ ?1,0)

A. (?? ? 1] ? [0,?? )

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 . 13.已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5

.

14.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ?

?1 2? ?2, 2 ? ? ,则 log2 f (2) ? _______. ? ?

15、在△ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a, b,c,若 a= A= 。

2 ,b=2, sin B ? cosB ? 2 ,则∠

16 、 已 知 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当

x < 0 时 , f ( x) ? x2 ? 2x , 则 当 x ≥ 0 时 ,

f ( x) =



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2x ? a ( x ? R ), 若 f ( x ) 有最大值 2 . (1) ,求实数 a 的值;

(2)x ? [0,

? ]求函数 f ( x ) 的值域。 2

18.(本小题满分 12 分) 右边茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树 棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认, 在图中以 X 表示. (1)如果 X ? 8 ,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X ? 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. (注:方差 s 2 ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n

( xn ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数)

19. (本小题满分 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯 形, AB DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且

PA ? AD ? DC ?

1 AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:平面 PAD ⊥平面 PCD ; (Ⅱ)求异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值;

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 ①若 a ? 2 ,求 f ( x) 的单调区间; ②设 f ( x) 在(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 G : B 两点.

x2 ? y 2 ? 1 . 过点(m,0)作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 I 交椭圆 G 于 A, 4

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.

22 .[选做题]本题包括 A、B、 C、三小题,请选定其中一题 ,并在相应的答题区域内作答 。 ....... ............ 若多做,则按作答的第一题评分。解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 A. 选修 4-1: 几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图, 已知 EB 是半圆 O 的直径, A 是 BE 延长线上一点, AC 切半圆 O 于点

D , BC ? AC 于点 C , DF ? EB 于点 F ,若 BC ? 6, AC ? 8 ,求 DF 的长。
B.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 已知直线 l 经过点 P(1,1) , 倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。 C.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 解不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 .

?
6



2012 年3月高三数学月考 文科 试卷答题卡
班级:
题号 答案 二、填空题目(每题 5 分,共 20 分) 13、________________________ ;

姓名:

学号:
9 10 11 12

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8

14、________________________ 16 、________________________

15、________________________ ;

三、解答题: (注意:17~21 小题为必做题,22~24 小题为选做题,共 70 分)

17:

18、

19,、

20、

21

选做题:题号(



(注意:请考生将选做题坐在此页背面)

高三数学科参考答案(文科)
题号 答案

1 C
7 ; 25

2 A

3 D
14.

4 B
1 2


5 B

6 A

7 A

8 C

9 D

10 D

11 A

12 B

二. 13.

15. 30° 16. -x 2-2x

三. 17, 解: (1)f(x)=cos2x+ 3 sin2x+a+1 =2sin(2x+

? )+a+1 6

因为 f(x)的最大值是 2,所以 a= -1┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分 (2)∵0≤x≤

? ? ? 7? 1 ? , ∴ ≤2x+ ≤ , ∴- ≤sin(2x+ )≤1 6 2 2 6 6 6

∴-1≤2sin(2x+

? )≤2,即 f(x)的值域是[-1,2] ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分 6
8 ? 8 ? 10 26 ? 3 3
???????2 分

18. (本小题满分 12 分)解: (1) x ?
s2 ?

2 2 2 1 ?? 26 ? 26 ? 26 ? ? ? ? ? 8 ? ? 10 ? ?? 8 ? ? ? ? ? ? ? 3? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ?? ?

1 ? 4 4 16 ? = ? ? ? ? 3? 9 9 9 ? 8 = ?????????6 分 9 (2 ) 从甲乙两组各抽取一名同学的样本空间为: (9[1],9) ; (9[1],8) ; (9[1],10) ; ( 9[2],9 ) ; ( 9[2],8 ) ; (9[2],10) ; ( 11,9 ) ; ( 11,8 ) ; (11,10) , 共 9 个。 ??????8 分

其中甲乙两数之和为 19 的有三组:(9[1],10);(9[2],10); (11,8) 。???????10 分 所以,两名同学的植树总数为 19 的概率为 P=

3 1 ? 。 9 3

????????12 分

19.解:方法一: (Ⅰ)证明:∵PA⊥面 ABCD,CD⊥ AD, ∴由三垂线定理得:CD⊥P D. 因而,CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD,PD 都垂直, ∴CD⊥面 PA D. 又 CD ? 面 PCD,∴面 PAD⊥面 PC D.

(Ⅱ)解:过点 B 作 BE//CA,且 BE=CA, 则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角. 连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE=

2 ,又 AB=2,

所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90° 在 Rt△PEB 中 BE=

2 ,PB= 5 ,

? cos?PBE ? 10 . 5

BE 10 ? . PB 5

所以异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为

方法二:因为 PA⊥PD,PA⊥ AB, AD⊥ AB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐 标系,则各点坐标为 A(0,0,0) B(0,2,0) , C(1,1,0) ,D(1,0 ,0) ,P(0,0,1) ,M (0,1, ) . (Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD⊥DC,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC⊥面 PA D. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PC D. (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

1 2

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

20. 解:当 a ? 2 时 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 3x ? 1 ∴ f 1 ( x) ? 3x 2 ? 12x ? 3 ? 3( x 2 ? 4x ? 1) 由 f 1 ( x)>0 得: x< 2 ? 3 或 x>2 ? 3 ∴ f ( x) 的单调增区间为 (??,2 ? 3), (2 ? 3,??) 单调减区间为 (2 ? 3,2 ? 3)
2 2 (2) f 1 ( x ) ? 3 x 2 ? 6ax ? 3 ? 3 ? ?( x ? a ) ? 1 ? a ? ?

(2 分)

(6 分)

当 1 ? a ? 0 时, f 1 ( x) ? 0 f ( x ) 为增函数,故 f ( x ) 无极值点
2

当 1 ? a < 0 时由 f 1 ( x) ? 0 得: x ? a ? a ?1
2

2

∴2 <a ? a ?1 <3或 2 <a ? a ?1 <3
2 2

∴ <a<

5 4

5 3

故 a 的取值范围为 ( , ) ????????(12 分)

5 5 4 3

21.解: (Ⅰ )由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) 离心率为 e ?

c 3 ? . a 2

(Ⅱ )由题意知, | m |? 1 . 当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,

点 A、B 的坐标分别为 (1,

3 3 ), (1,? ), 此时 | AB |? 3 2 2

当 m=-1 时,同理可得 | AB |?

3

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),

? y ? k ( x ? m), ? 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 由 ? x2 2 ? ? y ? 1. ?4

设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
| km | k ?1
2

又由 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, 得

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

? (1 ? k 2 )[ ? 4 3|m| . m2 ? 3

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 所以 | AB |?

3,

4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. 22(A)设圆的半径为 r,AD=x,连结 OD,得 OD⊥AC. 故 AD OD x r 4 = ,即 = ,故 x= r. AC BC 8 6 3 16 2 15 r =(10-2r)× 10,故 r= . 9 4

又由切割线定理 AD2 =AE · AB , 即

由射影定理知 DF =3.

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 22(B)解: ( 1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1? 1 t ? y ? 1 ? t sin ? ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 ( 2)把直线 ? 代入 x ? y ? 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2

得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
(C) (方法一)当 x ? ?3 时,∵原不等式即为 ? ?x ? 3? ? ?x ? 2? ? 3 ? ?5 ? 3 ,这显然不可能,∴

x ? ?3 不适合.
当 ? 3 ? x ? 2 时, ∵原不等式即为 ?x ? 3? ? ?x ? 2? ? 3 ? x ? 1 , 又 ?3? x ? 2, ∴ 1 ? x ? 2 适合. 当 x ? 2 时,∵原不等式即为 ?x ? 3? ? ?x ? 2? ? 3 ? 5 ? 3 ,这显然恒成立,∴ x ? 2 适合. 故综上知,不等式的解集为 x 1 ? x ? 2或x ? 2 ,即 x x ? 1

?

?

?

?

? ? 5, x ? ?3, ? (方法二)设函数 f ?x? ? x ? 3 ? x ? 2 ,则∵ f ? x ? ? ?2 x ? 1,?3 ? x ? 2, ∴作函数 f ?x ? ? 5, x ? 2, ?
的图象,如图所示,并作直线 y ? 3 与之交于点 A . 又令 2 x ? 1 ? 3 ,则 x ? 1 ,即点 A 的横坐标为 1 . 故结合图形知,不等式的解集为 x x ? 1 .

?

?


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