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湖北省襄阳市2013届高三调研3月统一测试数学理科试题


机密★启用前

试卷类型 A

2013 年 3 月襄阳市普通高中调研统一测试

高三数学(理科)
本试题卷共 6 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★ 祝考试顺利★ 注意事项:

1. 答卷前, 请考生认真阅读答题卡上的注意事项。 非网评考生务必将自己的学校、 班级、 姓 名、考号填写在答题卡密封线内,将考号最后两位填在登分栏的座位号内。网评考生务 必 将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置,贴好条形码或将考号对应数字涂黑。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3. 填空题和解答题的作答:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答 题区域 内,答在试题卷、草稿纸上无效。

4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂 黑。考 生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题 区域内, 答在试题卷、草稿纸上无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,监考人员将答题卡和机读卡一并收回,按 小号 在上,大号在下的顺序分别封装。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。) 1. 设复数 z 的共轭复数为 z ,若(l-i) z =2i,则复数 z= A. -1-i B. -1 +i C. I D. -i

1

2. 命题 p:“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ” ,则 ?p 是 A. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1 B. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1

C. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1

D. ?x ? R, x 2 ? 1 ? 1

3. 如图所示的韦恩图中,若 A={x|0 ? x ? 2},B={x|x>1},则 阴影部 分表示的集合为 A. {x||0<x<2} C. {x|0 ? x ? 1 或 x ? 2} B. {x|1<x ? 2} D. {x|0 ? x ? 1 或 x>2}

4. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如 图所示,则该几何体的侧视图可以为

5. 在 等 差 数 列 { a n } 中 , 若 a 4 + a 6 + a 8 + a 1 0 + a 1 2 = 90, 则

1 a10 ? a14 的 值 为 3
A. 12 : B. 14 C. 16 D. 18 6. 已知(1-2x)2013 =a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +??? + a2013x2013 (x ? R),则

a a1 a 2 a3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2013 的值是 2 2 2 2 2013
A. -2 B. -1

C. I

D. 2

7. 在矩形 ABCd 中,AB= 4, BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则 四 面体 ABCD 的外接球的体积为
A.

125? 12

B.

125? 9

C.

125? 6

D.

125? 3

2

8. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线

x2 y2 ? ?1 a2 b2

的右焦点,且两条曲线的交点的连线过 F,则该双曲线的离心率为 A. B. 2 C. D.

2

2 ?1 2 ?1

9. 已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是

10. 已知 f(x)、g(x)都是定义域为 R 的连续函数.已知:

g(x)满足:①当 x > O 时, g ?( x) ? 0

恒成立;② ?x ? R 都有 g ( x ) = g ( - x ) .

f(x)满足:① ?x ? R 都有 f ( x ? 3 ) ? f ( x ? 3 ) ;②当 x ? [? 时,f(x)=x -3x.
3

3 3 ? 2 3, ? 2 3 ] 2 2

若关于;C 的不等式 g[ f ( x)] ? g (a 2 ? a ? 2) 对 x ? [? 则 a 的取值范围是 A. R C. [ ?

3 3 ? 2 3, ? 2 3 ] 恒成立, 2 2

B. [O, 1]

1 2

3 3 1 3 3 ,? ? ] 4 2 4

D. ( - ∞ , O]U[1, +∞ )

3

二.填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填 在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 ) (一)必考题(11—14 题) 11.在△ABC 中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 所 对的边,若 b = 5, ?B ? = 2 ,则 (I ) sinA =____▲____ ; (II) a = ____▲____.

?
4

, tanA

12. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,

输出的结果 S= ____▲____

13. 随机向区域

内投一点,且该点落在区域内

的每个位置是等可能的, 则坐标原点与 该点连线的倾斜角不小 于

? 的概率为____▲____. 4
14. 某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为 1,

两两夹角为 120°; 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原 来

1 的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为 120°;?;依此规律得到 n 级分形图. 3

(I)n 级分形图中共有__▲___条线段;(II) ;a 级分形图中所有线段长度之和为__▲___.

4

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序 号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分。 )

15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,已知 AB 是 P 为 AB 上一点,PC 丄 0P,PC 交 是__▲__.

O 的一条弦,点

O 于 C,若 AP = 4, PB = 2 则 PC 的长

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中, 以坐标原点为极点, 轴正半轴为 x 极轴建 立极坐标系, 曲线 __▲__. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) (a 为参数)与曲线 ? 2 ? 2 ? cos? ? 0 的交点个数为

17. (本大题满分 12 分)

已知Δ ABC 的面积 S 满足

3 3 ? S ? ,且 2 2





的夹角为θ

(1) 求θ 的取值范围;

(2) 求函数 f (? ) ? 3 sin 2 ? ? 2 3 sin ? . cos? ? cos2 ? )=的最大值及最小值

18. (本大题满分 12 分)

已知数列{an},如 果 数 列 {bn}满足 b1 =a1,bn = an + an-1 n ? 2, n ? N ,则称数列{bn}
*

是数列{an}的“生成数列”

(1)若数列{an}的通项为 an=n 写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式;

5

(2)若数列{cn}的通项为 cn= 2n +b (其中 b 是常数),试问数列{cn}的“生成数列” {qn} 是否 是等差数列,请说明理由; (3)已知数列{dn}的通项为 dn= 2n+n,求数列{dn}的“生成数列” {pn}的前 n 项和 Tn;.

19. (本大题满分 12 分)

城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公 交 公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的 候车时间作为样本分成 5 组, 如右表所示(单位:min).

(1) 求这 15 名乘客的平均候车时间;

(2) 估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数;

(3) 若从右表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的 问卷调查,求抽到的两人恰好来 自不同组的概率.

20. (本大题满分 12 分)

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角 形, 俯视图为直角梯形. (1) 求证:BN 丄平面 C1B1N;

6

(2) 设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P,使 MP//平面 CNB1,并求

的值.

21(本大题满分 13 分)

已知椭圆 C1:

x2 y2 3 ,连接椭圆的四个顶点得到的四边 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 a b 3

形的面积为 2 6 .

(1) 求椭圆 C1 的方程;

(2) 设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程;

(3) 设 O 为坐标原点,取 C2 上不同于 O 的 点&以 OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R, 求 该圆的面积最小时点 S 的坐标.

7

22. (本大题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x x

(1) 若函数 f(x)区间 (a, a ? )( a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围;

1 3

(2) 当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
2

(3)求证: [( n ? 1)!]2 ? (n ? 1)e n?2? n?1 ( n ? N * ,e 为自然对数的底数,e = 2.71828??).

2 013 年 3 月 襄 阳 市 高 中 调 研 统 一 测 试 高三数学(理科)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:ACDBA 二.填空题:11.(Ⅰ) BCCDD
2 5 (Ⅱ) 2 10 5

12.

2013 2014

13.

31 32

8

2 14.(Ⅰ) 3 ? 2n ? 3 (Ⅱ) 9 ? 9 ? ( )n 3

15. 2 2

16.2

三.解答题:
???? ???? ???? ???? 17.(1)解:因为 AB ? BC ? 3 , AB 与 BC 的夹角为 ? 与 BC 的夹角为 ? ???? 所以 | AB | ? | BC | ? cos ? ? 3 ???? ???? 1 ???? 1 ???? 3 S ? | AB | ? | BC | ? sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | ? sin ? ? ? tan ? 2 2 2 3 3 3 3 3 3 又 ≤ S ≤ ,所以 ≤ tan ? ≤ ,即 ≤ tan ? ≤ 1 , 2 2 2 2 2 3

2分 4分

又 ? ?[0, ] ,所以 ? ? [ , ] . ? 6 4 2 (2)解: f (? ) ? 3sin ? ? 2 3 sin ? ? cos ? ? cos 2 ? ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 2
? 2sin(2? ?

?

?

6分

?

因为 分

?
6

≤? ≤

?
4

,所以

?

6

)?2 ≤ 2? ?

8分

?
6

6



?
3



10

从而当 ? ? 分

?
6

时, f (? ) 的最小值为 3,当 ? ?

?
4

时, f (? ) 的最大值为 3 ? 2 .

12

18.(1)解:当 n≥2 时,bn = an + an-1 = 2n-1 当 n = 1 时,b1 = a1 = 1 适合上式, ∴bn = 2n-1
n ?1 ?2 ? b (2)解: qn ? ? ?4n ? 2b ? 2 n ≥ 2 当 b = 0 时,qn = 4n-2, 由于 qn + 1-qn = 4,所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列 当 b≠0 时,由于 q1 = c1 = 2 + b ,q2 = 6 + 2b ,q3 = 10 + 2b 此时 q2-q1≠q3-q2 所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列. ,
n ?1 ?3 (3)解: pn ? ? 3 ? 2n ?1 ? 2n ? 1 n ? 1 ? 当 n > 1 时, Tn ? 3 ? (3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 22 ? 5) ? ? ? (3 ? 2n?1 ? 2n ? 1)

2分 4分 6分

8分 9分

= 3 ? 3(2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? (3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2n ? 1) ? 3 ? 2n ? n2 ? 4 分 又 n = 1 时,T1 = 3,适合上式,∴ Tn ? 3 ? 2n ? n2 ? 4 . 分 19.(1)解:
1 (2.5 ? 2 ? 7.5 ? 6 ?12.5 ?4 ?17.5 ?2 ?22.5 ?1) ?10.5min 15

11 12

2分

2?6 8 4分 ? 15 15 8 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? 6分 ? 32 人. 15 (2)解:将第三组乘客编号为 a1,a2,a3,a4,第四组乘客编号为 b1,b2,从 6 人中任选两人 有包含以下基本事件:

(2)解:候车时间少于 10 分钟的概率为

9

(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2), (a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2), (a3,a4),(a3,b1),(a3,b2), (a4,b1),(a4,b2), (b1,b2), 分 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 分
8 . 15

10 12

20.方法一 (1)证:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 ∴BB1C1C 是矩形,AB⊥BC,AB⊥BB1, BC⊥BB1 由三视图中的数据知:AB = BC = 4,BB1 = CC1 = 8,AN = 4 2分 C C1 ∵AB⊥BC,BC⊥BB1,∴BC⊥平面 ANBB1 ∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥平面 ANBB1 因此 B1C1⊥BN 4分 Q 在直角梯形 B1BAN 中,过 N 作 NE∥AB 交 BB1 于 E, P B E B1 则 B1E = BB1-AN = 4 故△NEB1 是等腰直角三角形,∠B1NE = 45° 6 分 M R 又 AB = 4,AN = 4,∴∠ANB = 45° A N 因此∠BNB1 = 90° ,即 BN⊥B1N 又 B1N ∩B1C1 = B1,∴BN⊥平面 C1B1N. 8分 (2)解:过 M 作 MR∥BB1,交 NB1 于 R,则 MR ?
8?4 ?6 2

过 P 作 PQ∥BB1,交 CB1 于 Q,则 PQ∥MR, PQ PC PQ a 设 PC = a,则 ? ? ? ? PQ ? 2a BB1 BC 8 4 由 PQ = MR 得:2a = 6,a = 3 分 此时,PMRQ 是平行四边形,∴PM∥RQ, ∵RQ?平面 CNB1,MP ? 平面 CNB1, BP 4 ? 3 1 ∴MP∥平面 CNB1, ? ? . PC 3 3 分 方法二 (1)证:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角 三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA、BC、BB1 两两互相垂直 2分 以 BA、BB1、BC 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系,则 A(4,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4), C(0,0,4),B(0,0,0) 4分 ????? ????? B1 N ? (4, 4, , B1C1 ? (0, , ? 0) 0 4) ???? ????? 4 0) ? 0) ∵ BN ? B1 N ? (4, , ? (4, 4, ? 0 , ???? ????? BN ? B1C1 ? (4, , ? (0, , ? 0 4 0) 0 4) ∴BN⊥B1N,BN⊥B1C1,又 B1N ∩B1C1 = B1 ∴BN⊥平面 C1B1N

10

12

z C C1

B A x

B1 y N 6分 8分

10

???? ? (2)解:设 P(0,0,a)为 BC 上一点,∵M 为 AB 的中点,∴M(2,0,0),故 MP ? (?2, , ) 0 a 设平面 CNB1 的一个法向量为 n = (x,y,z),则有 ???? ? ???? ? ? 4) ? ( x ,y,z ) ? (?4, 4, ? 0 ??4 x ? 4 y ? 4 z ? 0 ?x ? y ? a n ? NC , ? NB1 ,∴ ? n ? ? ? ? 4 0) ? ( x ,y,z ) ? (?4, , ? 0 ??4 x ? 4 y ? 0 ?x ? y

∴平面 CNB1 的一个法向量为 n = (1,1,2) 10 分 ???? ? ???? ? 要使 MP∥平面 CNB1,只需 n ? MP ,于是 n ? MP ? 0 ,即(-2,0,a)·(1,1,2) = 0 解得:a = 1 BP 1 ∵MP ? 平面 CNB1,∴MP∥平面 CNB1,此时 PB = a = 1,∴ 12 ? PC 3 分 21.(1)解:由 e ? 由题意可知
3 6 ,得 a 2 ? 3c 2 ,又 c2 ? a 2 ? b2 ,解得 a ? b 3 2



1分 2分 3分 4分

1 ? 2a ? 2b ? 2 6 ,即 ab ? 6 2 b 由①②得: a ? 3 , ? 2



所以椭圆 C1 的方程是

x y ? ?1 3 2

2

2

(2)解:∵点 M 在线段 PF2 的垂直平分线上,∴| MP | = | MF2 |, 故动点 M 到定直线 l1:x =-1 的距离等于它到定点 F2(1,0)的距离, 因此动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线, 所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4 x

6分 7分

???? ??? ? (3)解:因为以 OS 为直径的圆与 C2 相交于点 R,所以∠ORS = 90° ,即 OR ? SR ? 0 8分 ??? ? ???? 2 2 y OR y 设 S(x1,y1) ,R(x2,y2) ,则 y1 ? 4 x1 ,y2 ? 4 x2 , SR ? ( x2 ? x1 , 2 ? y1 ) , ? ( x2 , 2 ) ???? ??? ? 所以 OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0



2 2 y2 ( y2 ? y12 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 16

∵y1≠y2,y2≠0,∴ y1 ? ?( y2 ? 分
2 故 y12 ? y2 ?

16 ) y2

10

256 256 2 ? 32 ≥ 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 , 2 y2 y2

2 当且仅当 y2 ?

256 ,即 y2 ? ?4 时等号成立 2 y2
y14 1 ? y12 ? 16 4 y14 ? 16 y12 ? 1 ( y12 ? 8)2 ? 64 4

12

分 圆的直径 | OS |? x12 ? y12 ?

因为 y12 ≥ 64 ,所以当 y12 = 64 ,即 y1 ? ?8 时, | OS |min ? 8 5 所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,± 8). 分

13

1 ? x ? ?1 ? ln x ? ? 1 ln x x 22.(1)解:函数 f (x)定义域为(0,+∞), f ?( x) ? ?? 2 , 2 x x 由 f ?( x) ? 0 得:x = 1,当 0 < x <1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x > 1 时, f ?( x) ? 0 ,
11

∴f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 函数 f (x)在 x = 1 处取得唯一的极值 ?a ? 0 2 2 ? 由题意得 ? ? a ? 1 ,故所求实数 a 的取值范围为 ( , 1) 1 ? a ?1? a ? 3 3 ? 3 ? (2)解: 当 x≥1 时,不等式 f ( x) ≥ 令 g ( x) ?

2分 4分

( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ≥1) ,由题意,k≤g (x)在[1,+∞)恒成立 x x[( x ? 1)(1 ? ln x)]? ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x ? x ? ln x g ?( x) ? ? x2 x2 1 令 h( x) ? x ? ln x ( x ≥1) ,则 h?( x) ? 1 ? ≥ 0 ,当且仅当 x = 1 时取等号 x 所以 h( x) ? x ? ln x 在[1,+∞)上单调递增,h (x)≥h(1) = 1 > 0

( x ? 1)(1 ? ln x) k 1 ? ln x k 化为: ,即 k ≤ ≥ x ?1 x x ?1 x

5分 6分

7分

x ? ln x h ? x ? ? 2 ? 0 ,∴g (x)在[1,+∞)上单调递增, g ( x)min ? g (1) ? 2 x2 x 因此,k≤2,即实数 k 的取值范围为(-∞,2]

因此 g ?( x) ?

8分

2 恒成立, x ?1 1 ? ln x 2 2 2 即 ,整理得: ln x ≥1 ? ≥ ?1? x x ?1 x ?1 x 分 2 1 1 令 x = k(k + 1),k∈N*,则有 ln[k (k ? 1)] ? 1 ? ? 1 ? 2( ? ) k (k ? 1) k k ?1 分别令 k = 1,2,3,…,n,则有 1 1 1 1 1 ln(1 ? 2) ? 1 ? 2(1 ? ), ? 3) ? 1 ? 2( ? ) ,…, ln[n(n ? 1)] ? 1 ? 2( ? ln(2 ) n n ?1 2 2 3 分 将这 n 个不等式左右两边分别相加,得 1 2 ln[1 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 (n ? 1)] ? n ? 2(1 ? )?n?2? n ?1 n ?1

(3) 由(2)知,当 x≥1 时,不等式 f ( x) ≥

10

12

故 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 (n ? 1) ? e 分

n?2?

2 n ?1

,从而 [(n ? 1)!]2 ? (n ? 1)e

n ? 2?

2 n ?1

14

12


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