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2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:1.2 第2课时 导数的运算法则


第2课时 导数的运算法则

基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数),则f′(x)=

0
a xa- 1 ;



(2)若f(x)=xa(a∈Q*),则f′(x)=
(3)若f(x)=sin x,则f′(x)= cos x



-sin x ; (4)若f(x)=cos x,则f′(x)= ________

(5)若f(x)=ax,则f′(x)= (6)若f(x)=ex,则f′(x)=

axln a ;

ex ; 1 (7)若f(x)=logax,则f′(x)= x ln a ; 1 x (8)若f(x)=ln x,则f′(x)= .

观察下图你能作出判断吗?

h( x)

=
f( x) + g(x)

f ?? x ?

求 导

+

g ?? x ?

求 导

h?? x ?
本节课我们就主要解决这一问题



=

1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.(重点)
2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导

问题. (难点)
3.运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导. (难点)

探究点1 导数的运算法则:
法则1: 两个函数和(差)的导数,等于这两个函数 导数的和(差),即

? f ( x ) ? g ( x ) ?? ?

f ?( x ) ? g ?( x )

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导
数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的 导数,即:

? f ( x ) ? g ( x ) ?? ?

f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

由法则2:

?c ? f ( x)?? ? c ' f ( x) ? c ? f ?( x) ? c ? f ?( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的
导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函 数的导数,再除以第二个函数的平方.即:
? f ( x ) ?? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ( g ( x ) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x)?

例1 求函数y=x3-2x+3的导数. 解:y?=(x3-2x+3)?=(x3)?-(2x)?+(3)?=3x2-2 所以,所求函数的导数是y?=3x2-2

【变式训练】

求下列函数的导数:

(1) y ? x 7 ? x3 ? x ? 1; 2 5 (2) y ? x ? . x

答案: (1)y? = 7x6 +3x 2 -1;
2 (2)y? = 5x + 2 ; x
4

解 :净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数 的导数.
5284 c '( x)=( )' 100 ? x 5284 '? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x) ' ? (100 ? x) 2
0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) ? (100 ? x)2 5284 ? (100 ? x) 2

5284 (1)因为 c '(90 ) ? ? 52.84 2 (100 ? 90 )

所以纯净度为90%时,净化费用的 瞬时变化率是52.84元/ 吨.
5284 (2)因为 c '(98 ) ? ? 1321 2 (100 ? 98 )

所以纯净度为98%时,净化费用的瞬时变化率 是1321元/ 吨.

【总结提升】 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附
近变化的快慢.由上述计算可知 c′ (98) ? 25c′ (90) .它 表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯 净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用 增加的速度也越快.

探究点2

复合函数的求导法则

一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变 量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y= 复合函数 记作y=f(g(x)). f(u)和u=g(x)的___________, 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导 数间的关系为yx′=yu′· ux′,即y对x的导数等于 y对u的导数 与_____________ u对x的导数 的乘积. ____________

例3 求下列函数的导数:

(1) y ? (2 x ? 3)

2
2 2

解:函数y =(2x +3) 可以看作函数y = u 和u = 2x +3的复合函数. 根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '? u x ' ? (u 2 ) '? (2 x ? 3) ' ? 4u ? 8 x ? 12

(2) y ? e

?0.05 x ?1
-0.05x+1

解:函数y = e

可以看作函数y = e 和

u

u = -0.05x + 1的复合函数. 根据复合函数求导法则有

yx ' ? yu '? u x ' ? (e ) '? (?0.05 x ? 1) '
u

? ?0.05e

u

? ?0.05e ?0.05 x ?1

(3) y ? sin(?x ? ? )(其中?,?均为常数)

y x ' ? yu '? u x ' ? (sin u ) '? (?x ? ? ) ' ? ? cos u ? ? cos(?x ? ? )

【总结提升】
利用复合函数求导法则求复合函数的导数的

步骤:
1. 分解复合函数为基本初等函数 , 适当选取中间

变量;
2.求每一层基本初等函数的导数;

3.每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量
的函数.

1.若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,
且f(x),g(x)满足f ?(x)=g ?(x),则f(x)与g(x) 满足(

B )

A.f(x)=g(x) B.f(x)-g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数

y?=cos2x+cosx 2.函数 y=sinx(cosx+1)的导数为______________.

3.曲线y=x3+x2+l在点P(-1,1)处的切线方程 为 y = x +2 .

4.求下列函数的导数: 1 2 1 4 (1) y ? ? 2 ; 答案:(1)y? ? ? 2 ? 3 ; x x x x x 2 1 ? x (2) y ? ; 2 (2)y? ? ; 2 2 1? x (1 ? x )
(3) y ? tan x;
2 2

(3)y? ?

1 ; 2 cos x

(4) y ? (2 x ? 3) 1 ? x ; (4)y? ?

6 x3 ? x 1? x
2

;

5.求下列函数的导数: (1)y=ln(3x+1); π? ? (2)y=sin 2x+ . 3? ?

解:(1)函数 y=ln(3x+1)可以看作函数 y= ln u 和 u=3x+1 的复合函数,根据复合函数求 导法则有 yx′=yu′·ux′=(ln u)′·(3x+1)′ 1 3 = ·3= . u 3x+1

π ?? ? ? (2)y′=?sin?2x+ ? ?′= 3 ?? ? ? π? ? π? ? cos?2x+ ?·?2x+ ?′ 3? ? 3? ? π? ? = 2cos?2x+ ?. 3? ?

6.已知抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处与直

线y=x+1相切,求b,c的值.
解:令f(x)= x2+bx+c,则f?(x)=2x+b 又因为点(1,2)在抛物线上

?1 ? b+c=2, 所以 ? ? 2 ? b=1,

?b ? ?1, 所以 ? ? c ? 2.

7.如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行,

求切点坐标与切线方程.
解: 因为 切线与直线 y=4x+3 平行, 所以 切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y ' |x ? x ? ( x3 ? x ? 10)' |x ? x ? 3 x0 2 ? 1.
0 0

所以 3x02+1=4.所以 x0=?1. 当 x0=1 时, y0=-8;当 x0=-1 时, y0=-12. 所以 切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).

切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.

8.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?
1 4

1 4 t 4

解:(1)令s=0,即 t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解 得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) 因为s?(t ) ? t 3 ?12t 2 ? 32t , 令s?(t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.

1.求导法则

1.(u ? v) ' ? u '? v '
( f1 ? f2 ? ? fn )' ? f1 '? f2 '? ? fn '
2.(uv) ' ? u ' v ? uv '
u u ' v ? uv ' 3.( ) ' ? 2 v v
注意:

( uv ) ? ? u ?v ?,

? ? u ? u? ? ? ? ? ?v? v

2.复合函数的导数

复合函数y ? f ( g ( x))的导数和函数 y ? f (u ), u ? g ( x )的导数间的关系为 y x ' ? yu '? u x '

3.函数求导的基本步骤: (1)分析函数的结构和特征; (2)选择恰当的求导法则和导数公式;

(3)整理得到结果.

书山有路勤为径,学海无涯苦作舟.


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