伤城文章网 > 数学 > 高二第三次月考数学试卷

高二第三次月考数学试卷


高二第三次月考数学试卷(理科) 2016.01.09 一.选择题( 共 12 题,每题 5 分) .1.若对任意 x,有 f′(x)=4 x ,f(1)=-1,则此函数为( A.f(x)= C.f(x)= [答案] B 2.. 设 a∈R,函数 f(x)= e +a· e-x 的导函数是 f ′(x),且 f ′(x)是奇函数.若曲线 y= 3 f(x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为( 2 A.-ln2 ln2 C. 2 B.ln2 ln2 D.- 2 ) )
x

3

)

x4 x 4 +1

B.f(x)= D.f(x)=

x 4 -2

x 4 +2

[答案] B 3.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=( A.-e B.-1 C.1 D.e [答案] B 1 4. 已知函数 f(x)= 2 A.f(- a )≤f(-1)
2

x

3



2 x 2 -7 x,则 f(- a )与 f(-1)的大小关系为( 2

)

B.f(- a )<f(-1)
2 2

C.f(- a )≥f(-1) D.f(- a )与 f(-1)的大小关系不确定
2

[答案] A 3 7 1 7 [解析] 由题意可得 f′(x)= x2-2x- , 令 f′(x)= (3x-7)(x+1)=0, 得 x=-1 或 x= . 2 2 2 3 7 当 x<-1 时,f(x)为增函数;当-1<x< 时,f(x)为减函数. 3 所以 f(-1)是函数 f(x)在(-∞,0]上的最大值,又因为-a2≤0,所以 f(-a)2≤f(-1). 1 5. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f′(x)>0,且 f(0)=0,f(- )=0,则不等式 2 f(x)<0 的解集为( 1 A.{x|x< } 2 ) 1 B.{x|0<x< } 2

1 1 C.{x|x<- 或 0<x< } 2 2 [答案] C 6. 已知函数 y=

1 1 D.{x|- ≤x≤0 或 x≥ } 2 2

x

3

-3x+c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c=(

)

A.-3 或 1 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-2 或 2 [答案] D [解析] 本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用,要使函数图像与 x 轴有两 个不同的交点, 则需要满足极值中一个为零即可, 因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共 点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而 f′(x)=3x2-3=3(x -1)(x+1),当 x=± 1 时取得极值,由 f(1)=0 或 f(-1)=0 可得 c-2=0 或 c+2=0,即 c =± 2. x2 y2 x2 y2 7. 若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 16 5-k 16-k 5 )

A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 [答案] D [解析] ∵0<k<5,∴两方程都表示双曲线,由双曲线中 c2=a2+b2 得其焦距相等,选 D. 8. 已知直线 l1 :4x-3y+6=0 和直线 l2 :x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直 线 l2 的距离之和的最小值是( 3 5 A. B.2 5 11 C. 5 D.3 )

[答案] B [解析] 因为抛物线的方程为 y2=4x,所以焦点坐标 F(1,0),准线方程为 x=-1.所以设 P 到准线的距离为 PB,则 PB=PF.P 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离为 PA,

所以 PA+PB=PA+PF≥FD,其中 FD 为焦点到直线 4x-3y+6=0 的距离,又因为 FD= |4-0+6| 10 = =2, 32+42 5 所以距离之和最小值是 2,选 B. → → → 9. 以 O 为中心,F1,F2 为两个焦点的椭圆上存在一个点 M,满足|MF1|=2|MO|=2|MF2|, 则该椭圆的离心率为( )

A.

3 3

2 B. 3

C.

6 3

2 5 D. 5

[答案] C c → → → [解析] 过 M 作 x 轴的垂线, 交 x 轴于 N 点, 则 N 点坐标为( , 0), 并设|MF1|=2|MO|=2|MF2 2 6 3t → → → → |=2t,根据勾股定理可知,|MF1|2-|NF1|2=|MF2|2-|NF2|2,得到 c= t,而 a= ,则 e 2 2 c 6 = = .故选 C. a 3 10. 某几何体的三视图如图所示, 图中的四边形都是边长为 2 的正方形, 两条虚线互相垂直, 则该几何体的体积是( )

20 A. 3

16 π B. C.8- 3 6

π D.8- 3

[答案] A [解析] 由三视图知,原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为 2,正四 棱锥的底面边长为正方体的上底面,高为 1. 1 4 20 ∴原几何体的体积为 V=23- × 2× 2× 1=8- = ,选 A. 3 3 3 12. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1、F2 是一对相关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60° 时,这一对相关曲线 中双曲线的离心率是( ) A. 3 B. 2 2 3 C. D.2 3 [答案] A c c [解析] 设椭圆的半长轴为 a1,椭圆的离心率为 e1,则 e1= ,a1= .双曲线的实半轴为 a1 e1 c c a,双曲线的离心率为 e,e= ,a= .设|PF1|=x,|PF2|=y,(x>y>0), a e 则由余弦定理得 4c2=x2+y2-2xycos60° =x2+y2-xy,当点 P 看做是椭圆上的点时,有 4c2=(x+y)2-3xy=4a2 1-3xy, 当点 P 看做是双曲线上的点时,有 4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,

两式联立消去 xy 得 4c2=a2 1+3a2, c c 1 1 即 4c2=( )2+3( )2,所以( )2+3( )2=4, e1 e e1 e 1 3 又因为 =e,所以 e2+ =4,整理得 e4-4e2+3=0,解得 e2=3,所以 e= 3,即双曲 e1 e2 线的离心率为 3.选 A. 11. 已知函数 f(x)及其导数 f′(x),若存在 x0,使得 f(x0)=f′(x0),则称 x0 是 f(x)的一个“巧 值点”,下列函数中,有“巧值点”的函数的个数是( ) 1 ①f(x)=x2,②f(x)=e-x,③f(x)=lnx,④f(x)=tanx, ⑤f(x)=x+ x A.2 B.3 C.4 D.5 [答案] B [解析] ①中的函数 f(x)=x2,f′(x)=2x,要使 f(x)=f′(x),则 x2=2x,解得 x=0 或 2, 可见函数有巧值点;对于②中的函数,要使 f(x)=f′(x),则 e-x=-e-x,由对任意的 x, 有 e-x>0,可知方程无解,原函数没有巧值点;对于③中的函数,要使 f(x)=f′(x),则 lnx 1 1 = ,由函数 f(x)=lnx 与 y= 的图像它们有交点,因此方程有解,原函数有巧值点;对于④ x x 中的函数,要使 f(x)=f′(x),则 tanx= 1 ,即 sinxcosx=1,显然无解,原函数没有巧值 cos2x

1 1 点; 对于⑤中的函数, 要使 f(x)=f′(x), 则 x+ =1- , 即 x3-x2+x+1=0, 设函数 g(x) x x2 =x3-x2+x+1,g′(x)=3x2-2x+1>0 且 g(-1)<0,g(0)>0,显然函数 g(x)在(-1,0)上有 零点,原函数有巧值点,故①③⑤正确,选 C. 二.填空题(共 20 分, 每题 5 分) 13.曲线 f(x)=x(3lnx+1)在 x=1 处的切线方程为________. [答案] 4x-y-3=0 3 [解析] f′(x)=3lnx+1+x· =3lnx+4, x ∴f′(1)=4,又 f(1)=1,∴曲线 f(x)=x(3lnx+1)在 x=1 处的切线方程为 y-1=4(x-1), 整理得 4x-y-3=0. 14. 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体 积=底面积× 高)时,其高的值为( ) A.3 3 B.2 3 2 3 C. D. 3 3 [答案] B [分析] 根据正六棱柱和球的对称性,球心 O 必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点,作 出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、 高和球的半径的关系, 在这个关系下求函数取得最 值的条件即可求出所要求的量. [解析] 解法 1:以正六棱柱的最大对角面作截面,设球心为 O,正六棱柱的上下底面中心 分别为 O1,O2,则 O 是 O1,O2 的中点.设正六棱柱的底面边长为 a,高为 2h,则 a2+h2

3 3 3 3 3 =9.正六棱柱的体积为 V=6× a2× 2h,即 V= (9-h2)h,则 V′= (9-3h2),得极 4 2 2 值点 h= 3,不难知道这个极值点是极大值点,也是最大值点,故当正六棱柱的体积最大, 其高为 2 3. 3 3 解法 2: 求函数 V= (9-h2)h 的条件可以使用三个正数的均值不等式进行,即 2 V = 3 3 2 (9 - h2)h = 3 3 2 2 ?9-h2?· ?9-h2?· 2h2 ≤ 3 6 4

?9-h2?+?9-h2?+2h2 ? ?3,等号成立的条件是 9-h2=2h2,即 h= 3. 3 15. 函数 y=cos3x+sin2x-cosx 的最大值________. [答案] 32 27

[解析] ∵y=cos3x+sin2x-cosx=cos3x+(1-cos2x)-cosx=cos3x-cos2x-cosx+1,令 t= cosx,则-1≤t≤1,则 y=t3-t2-t+1,则 y′=3t2-2t-1=(3t+1)(t-1),令 y′=0,解 1 得 t=- 或 t=1,列表如下: 3 x y′ y 1 [-1,- ) 3 + 增 - 0 32 极大值 27 1 3 1 (- ,1] 3 - 减

1 32 故函数 y=t3-t2-t+1 在 x=- 取得极大值,亦即最大值,即 ymax= . 3 27 16. 在区间[-a,a](a>0)内图像不间断的函数 f(x)满足 f(-x)-f(x)=0,函数 g(x)=ex· f(x), 且 g(0)· g(a)<0,又当 0<x<a 时,有 f′(x)+f(x)>0,则函数 f(x)在区间[-a,a]内零点的个数 是________. [答案] 2 [解析] ∵f(-x)-f(x)=0,∴f(x)为偶函数, ∵g(x)=ex· f(x),∴g′(x)=ex[f′(x)+f(x)]>0, ∴g(x)在[0,a]上为单调增函数, 又∵g(0)· g(a)<0, ∴函数 g(x)=ex· f(x)在[0,a]上只有一个零点, x 又∵e ≠0, ∴f(x)在[0,a]上有且仅有一个零点, ∵f(x)是偶函数,且 f(0)≠0,∴f(x)在[-a,a]上有且仅有两个零点. 14. (本小题满分 12 分)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=2,AA1=3,D 为 C1B 的中 点,P 为 AB 边上的动点.

(1)当点 P 为 AB 的中点时,证明 DP∥平面 ACC1A1; (2)若 AP=3PB,求三棱锥 B-CDP 的体积. [解析] (1)连接 DP,AC1,

∵P 为 AB 中点,D 为 C1B 中点,∴DP∥AC1, 又∵AC1?平面 ACC1A1,DP? / 平面 ACC1A1, ∴DP∥平面 ACC1A1. 1 1 (2)由 AP=3PB,得 PB= AB= . 4 2 过点 D 作 DE⊥BC 于 E,则 DE 1 CC1, 2

又 CC1⊥平面 ABC,∴DE⊥平面 BCP, 3 又 CC1=3,∴DE= . 2 1 1 3 则 S△BCP= · 2· sin60° = , 2 2 4 1 33 3 ∴VB-CDP=VD-BCP= · · = . 3 4 2 8 17. 已知函数 f(x)=lnx-a,若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围。 [答案] [-1,+∞) [解析] ∵函数 f(x)=lnx-a,且 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立, ∴函数 f(x)=lnx-a<x2 在(1,+∞)上恒成立, 1 ∴a>lnx-x2,令 h(x)=lnx-x2,有 h′(x)= -2x, x

1 ∵x>1,∴ -2x<0,∴h(x)在(1,+∞)上为减函数, x ∴当 x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=-1,∴a≥-1. x2 y2 16 如图所示,椭圆 + =1(a>b>0)与过点 A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T, a2 b2 且椭圆的离心率 e= 3 ,则椭圆的方程是________. 2

[答案]

x2 y2 + =1 2 1 2

x [解析] 过 A、B 的直线方程为 +y=1. 2

?a2+b2=1 由题意得? 1 ?y=-2x+1

x2 y2

有唯一解,

1 即(b2+ a2)x2-a2x+a2-a2b2=0 有唯一解, 4 所以 Δ=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0), 故 a2+4b2-4=0. 又因为 e= a2-b2 3 3 ,即 = ,所以 a2=4b2. 2 a2 4

1 从而 a2=2,b2= . 2 x2 y2 ∴椭圆的方程为: + =1. 2 1 2 17 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)有极大值 5,其导函数 y=f′(x)的图像如图所示,求函 数 f(x)的解析式为

[答案] f(x)=2x3-9x2+12x [解析] f′(x)=3ax2+2bx+C. 由导函数 y=f′(x)的图像可知:当 x<1 时,f′(x)>0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在 x=1 时取得极大值 5,∴f(1)=5.

又由图像可知,x=1,2 是导函数 f′(x)的零点, f?1?=5, ? ? 可得?f′?1?=0, ? ?f′?2?=0, a+b+c=5, ? ? 即?3a+2b+c=0, ? ?12a+4b+c=0. a=2, ? ? 解得?b=-9, ? ?c=12.

∴所求函数的解析式为 f(x)=2x3-9x2+12x. 20. (本题 12 分如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC. → 1 → → (1)设 O,D 分别为 AC,AP 的中点,点 G 为△OAB 内一点,且满足OG= (OA+OB),求 3 证:DG∥平面 PBC; (3)若 AB=AC=2,PA=4,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

[解析] (1)因为 PA⊥平面 ABC,AC?平面 ABC, 所以 PA⊥AC. 又因为 AB⊥AC,且 PA∩AB=A, 所以 AC⊥平面 PAB. 又因为 PB?平面 PAB, 所以 AC⊥PB. (2)解法 1:因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥AB,PA⊥AC,又因为 AB⊥AC, 所以建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.

设 AC=2a,AB=b,PA=2c, 则 A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),D(0,0,c),O(a,0,0),P(0,0,2c) 2 b → 1 → → → 又因为OG= (OA+OB),所以OG=(- a, ,0). 3 3 3 a b ∴G( , ,0) 3 3

a b → 于是DG=( , ,-c), 3 3 → → BC=(2a,-b,0),PB=(0,b,-2c). 设平面 PBC 的一个法向量 → ? BC=0, ?n· n=(x0,y0,z0),则有? → ?n· PB=0, ?
? ?2ax0-by0=0, 即? ?by0-2cz0=0. ?

2c c 不妨设 z0=1,则有 y0= ,x0= , b a c 2c 所以 n=( , ,1). a b → 因为 n· DG c 2c a b c a 2c b =( , ,1)· ( , ,-c)= · + · +1· (-c)=0, a b 3 3 a3 b 3 → 所以 n⊥DG.又因为 DG? / 平面 PBC, 所以 DG∥平面 PBC. → 1 → → 解法 2:取 AB 中点 E,连接 OE,则OE= (OA+OB) 2 → 1 → → → 2 由已知OG= (OA+OB)可得OG= OE. 3 3

则点 G 在 OE 上.连接 AG 并延长交 CB 于 F,连接 PF 因为 O,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 OE∥BC,即 G 为 AF 的中点. 又因为 D 为线段 PA 的中点, 所以 DG∥PF. 又 DG? / 平面 PBC,PF?平面 PBC. 所以 DG∥平面 PBC. c 2c (3)由(2)可知平面 PBC 的一个法向量 n=( , ,1)=(2,2,1). a b

→ 又因为 AC⊥平面 PAB,所以平面 PAB 的一个法向量是AC=(2,0,0). → n· AC 4 2 → 又 cos<n· AC>= = = , → 3× 2 3 |n|· |AC| 由图可知,二面角 A-PB-C 为锐角, 2 所以二面角 A-PB-C 的余弦值为 . 3 18 设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图像与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2 求函数 f(x)的单调减区间. [解析] (1)f′(x)=3x2-6ax+3b, f(1)=1-3a+3b=-11, ① f′(1)=3-6a+3b=-12. ② 解由①、②组成的关于 a,b 的方程组,得 a=1,b=-3. (2)f(x)=x3-3x2-9x, f′(x)=3x2-6x-9. 由 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. ∴f(x)在(-∞,-1],[3,+∞)上是增函数,在(-1,3)上是减函数. 4 19.(本小题满分 12 分)若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数的解析式; (2)若 g(x)=f(x)-k 有三个零点,求实数 k 的取值范围. [解析] f′(x)=3ax2-b. 1 f′?2?=12a-b=0 ? ? ? ?a=3 1 (1)由题意得? ,故所求函数的解析式为 f(x)= x3 4 ,解得? 3 ? ? ?f?2?=8a-2b+4=-3 ?b=4 -4x+4. (2)由(1)可得 f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2), 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ? -2 0 28 3 (-2,2) - ? 2 0 4 - 3 (2,+∞) + ?

28 4 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 ,当 x=2 时,f(x)有极小值- , 3 3 4 28 故要使 g(x)=f(x)-k 有三个零点,实数 k 的取值范围为- <k< . 3 3 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax2-(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且 f(x1)+2x1<f(x2)+2x2 恒成立,求 a 的取值范围.

[解析] (1)当 a=1 时,f(x)=x2-3x+lnx, 1 f′(x)=2x-3+ . x 因为 f′(1)=0,f(1)=-2. 所以切线方程是 y=-2 (2)函数 f(x)=ax2-(a+2)x+lnx 的定义域是(0,+∞). 1 2ax ? (a ? 2) x ? 1 当 a>0 时,f′(x)=2ax-(a+2)+ = x x
2

(x>0),

2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 令 f′(x)=0,即 f′(x)= =0 , x
1 1 所以 x= 或 x= . 2 a 1 当 0< ≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增, a 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(1)=-2; 1 1 当 1< <e 时,f(x)在[1,e]上的最小值是 f( )<f(1)=-2,不合题意; a a 1 当 ≥e 时,f(x)在(1,e)上单调递减, a 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(e)<f(1)=-2,不合题意. 综上可知 a≥1. (3)设 g(x)=f(x)+2x,则 g(x)=ax2-ax+lnx, 只要 g(x)在(0,+∞)上单调递增即可. 1 2ax ? ax ? 1 而 g′(x)=2ax-a+ = . x x
2

1 当 a=0 时,g′(x)= >0,此时 g(x)在(0,+∞)上单调递增; x 当 a≠0 时,只需 g′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因为 x∈(0,+∞),只要 2ax2-ax+1≥0, 则需要 a>0, 1 对于函数 y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴 x= >0,只需 Δ=a2-8a≤0,即 0<a≤8. 4 综上 0≤a≤8.

21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2 ,且椭圆的虚轴长为 2. 3

x2 y 2 ? =1(a>b>0)的离心 a 2 b2

率 e=

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 不同的两点 A,B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的

面积;若不存在,请说明理由. [解析] (1)因为 e= a2-b2 2 c = = , 3 a a

所以 a2=3b2,即椭圆 C 的方程可写为 b=1 故所求椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? =1. 3b2 b2

x2 2 +y =1. 3

(2)存在点 M 满足要求,使△OAB 的面积最大. 假设存在满足条件的点 M,因为直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 1 A,B,则圆心 O 到 l 的距离 d= <1. m2+n2 m2 因为点 M(m,n)在椭圆 C 上,所以 +n2=1<m2+n2,于是 0<m2≤3. 3 因为|AB|=2 1-d2=2 m2+n2-1 , m2+n2

m2+n2-1 1 所以 S△OAB= · |AB|· d= 2 m2+n2 2 |m| 3 = ≤ 2 1+ m2 2 3 2 |m| 3 1 = 2 2 1· m2 3

2 3 当且仅当 1= m2 时等号成立,所以 m2= ∈(0,3] 3 2 6 2 因此当 m=± ,n=± 时等号成立, 2 2 所以满足要求的点 M 的坐标为( 6 2 6 2 6 2 6 2 , ),( ,- ),(- , )或(- ,- ),此时 2 2 2 2 2 2 2 2

1 对应的三角形的面积均达到最大值 . 2


搜索更多“高二第三次月考数学试卷”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com