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数学:11,21.2.3《二面角的有关概念》课件(新人教A版必修2)


2.3.2

平面与平面垂直的判定 第一课时

二面角的有关概念

问题提出

1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系,对于两个平面平行, 我们已作了全面的研究,对于两个 平面相交,我们应从理论上有进一 步的认识.

2.在铁路、公路旁,为防止山体滑坡, 常用石块修筑护坡斜面,并使护坡斜面 与水平面成适当的角度;修筑水坝时, 为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与 水平面成适当的角度,如何从数学的观 点认识这种现象?

公路

知识探究(一):二面角的有关概念

思考1:直线上的一点将直线分割成 两部分,每一部分都叫做射线. 平 面上的一条直线将平面分割成两部 分,每一部分叫什么名称?
射线 射线

半平面

半平面

思考2:将一条直线沿直线上一点折起, 得到的平面图形是一个角,将一个平 面沿平面上的一条直线折起,得到的 空间图形称为二面角,你能画一个二 面角的直观图吗?

思考3:在平面几何中,我们把角定 义为“从一点出发的两条射线所组 成的图形叫做角”,按照这种定义 方式,二面角的定义如何?

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角

思考4:下列两个二面角在摆放上有 什么不同?
β l l

α

α

β

思考5:一个二面角是由一条直线和 两个半平面组成,其中直线l叫做二 面角的棱,两个半平面α 、β 都叫 做二面角的面,二面角通常记作 “二面角α -l-β ”.那么两个相交平 面共组成几个二面角?
β



l

α

知识探究(二):二面角的平面角

思考1:把门打开,门和墙构成二面 角;把书打开,相邻两页书也构成 二面角.随着打开的程度不同,可得 到不同的二面角,这些二面角的区 别在哪里?

思考2:我们设想用一个平面角来反 映二面角的两个半平面的相对倾斜 度,那么平面角的顶点应选在何处? 角的两边在如何分布?
β

l

α

思考3:在二面角α -l-β 的棱上取一 点O,过点O分别在二面角的两个面 内任作两条射线OA,OB,能否用 ∠AOB来刻画二面角的张开程度?
β B l

O A

α

思考4:在上图中如何调整OA、OB的 位置,使∠AOB被二面角α -l-β 唯一 确定?这个角的大小是否与顶点O在 棱上的位置有关?
β B l

O
A

α B

β l α

O

A

思考5:上面所作的角叫做二面角的 平面角,你能给二面角的平面角下 个定义吗? β
B l O A α

以二面角的棱上任意一点为顶点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线,这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角.

思考6:二面角的大小可以用它的平 面角来度量,二面角的平面角是多 少度,就说二面角是多少度.平面角 是直角的二面角叫做直二面角. 当 二面角的两个面重合时,二面角的 大小为多少度?当二面角的两个面 合成一个平面时,二面角的大小为 多少度?一般地,二面角的平面角 的取值范围如何?

[0 ,180 ]

思考7:如图,过二面角α -l-β 一个 面内一点A,作另一个面的垂线,垂 足为B,过点B作棱的垂线,垂足为O, 连结AO,则∠AOB是二面角的平面角 吗?为什么?
A β

O

l

α
B

思考8:如图,平面γ 垂直于二面角 的棱l,分别与面α 、β 相交于OA、 OB,则∠AOB是二面角的平面角吗? 为什么?
l
O

B A

α

α

γ

β β

理论迁移

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求二面角B1-AC-B大小的正切值.
C1 B1 C D1

A1 D
O

B

A

知识探究(一):两个平面垂直的概念

思考1:空间两条直线垂直是怎样定 义的?直线与平面垂直是怎样定义 的?
思考2:什么叫直二面角?如果两个 相交平面所成的四个二面角中,有 一个是直二面角,那么其他三个二 面角的大小如何?

思考3:如果两个相交平面所成的二 面角是直二面角,则称这两个平面 互相垂直.在你的周围或空间几何体 中,有哪些实例反映出两个平面垂 直?

思考4:在图形上,符号上怎样表示 两个平面互相垂直?
β β

α

α

? ??

思考5:如果平面α ⊥平面β ,那么 平面α 内的任一条直线都与平面β 垂直吗?
α

β

知识探究(二):两个平面垂直的判定

思考1:根据定义判断两个平面是否 垂直需要解决什么问题? 思考2:如图,∠AOB为直二面角 Α -l-β 的平面角,那么直线AO与 平面α 的位置关系如何?
A β l O B α

思考3:在二面角α -l-β 中,直线m 在平面β 内,如果m⊥α ,那么二面 角α -l-β 是直二面角吗?
β m l

α
a

思考4:根据上述分析,可以得到两 个平面互相垂直的判定定理,用文 字语言如何表述这个定理?

如果一个平面经过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直.

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么 这两个平面互相垂直. 求证:α ⊥β . 证明:设a∩β =CD,则B∈CD. ∴AB⊥CD. β 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD, 则∠ABE是二面角α -CD-β 的平 面角,又AB⊥BE,即二面角α CD-β 是直二面角. ∴α ⊥β .
C

α

A
B D

E

特别注意:两个平面垂直的判定定理,不 仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且 是找出垂直于一个平面的另一个平面的依 据.如:建筑工人在砌墙时,常用一端系 有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平 面垂直,实际上,就是依据这个原理.另 外,这个定理说明要证明面面垂直,实质 上是转化为线面垂直来证明.

思考5:结合图形,两个平面垂直的 判定定理用符号语言怎样表述?
β
l α

l ? ?,l ? ? ? ? ? ?

思考6:过一点P可以作多少个平面与 平面α 垂直?过一条直线l可以作多 少个平面与平面α 垂直?
P l

l α

α

应用举例,强化所学
例1:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平
面,C是圆周一不同于A,B的任意一点,求证:平面 P PAC⊥平面PBC 证明:设⊙O所在平面为α , 由已知条件,有 C PA⊥α ,BC在α 内, 所以,PA⊥BC, A O 因为,点C是不同于A,B的任意 一点,AB为⊙O的直径, 所以,∠BCA=90°,即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线, 所以,BC⊥平面PAC, 探究:你还能发现哪些面互 又因为BC在平面PBC内, 相垂直? 所以,平面PAC⊥平面PBC。

B

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面 为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M 为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面 PCD.
P
F

E

D A M
B

C

例3 在四面体ABCD中,已知AC⊥BD, BAC=∠CAD=45°,∠BAD=60°, 求证:平面ABC⊥平面ACD.
D

C E A

B

课堂诊断:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的一条直线,则α⊥β.( ) × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的 × 两条直线,则α⊥β.( ) 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的 √ 两条 相交直线, 则α⊥β.( ) √ 4.若m⊥α,m β,则α⊥β.( ) 5.二面角指的是( B ) A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时,两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。

附:角与二面角之间的关系

角 定义
从平面内一点出 发的两条射线所 组成的图形. A 边 边 B

二面角
从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形. 面 ?

图形

顶点

O?


A




a

?

B

构成 射线
表示法

射线

半平面—棱—半平面

?AOB

?- a-? 二面角?-AB-?

运用反馈,深化巩固 1.指导完成课本P.69的探究问题 2.指导完成课本P.69的练习 小结归纳,整体认识 1.比较角与二面角之间的关系 2.二面角的度量; 3.两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线 与平面垂直的判定定理有何关系?

想一想:怎样求二面角?

例2 如图所示,河堤斜面与水平面 所成二面角为 60 ,堤面上有一条直 道CD,它与堤角的水平线AB的夹角 为30,沿这条直道从堤脚C向上行走 10m到达E处,此时人升高了多少m?
60

D E
O

A C

F

B

作业:
P73习题2.3 A组:4,7.


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