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福建省三明市清流县第一中学2017届高三上学期第一阶段考试数学试题Word版含答案.doc


清流一中 2016-2017 学年第一学期高三文科数学 第一阶段考试卷 2016.10
年级 班级 座号 姓名 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A= {1, 2, 3} , B= {x | ( x+ 1)( x-2) ? 0,x ? Z},则 A ? B =( A. ?1? B. {1, 2} C. {0, 1,, 2 3} )

D. {- 1, 0, 1, 2, 3} ) D.0

2.已知向量 a =(1,m) , b=? m, 2 ? ,若 a ? b , 则实数 m=( A.- 2 B. 2 C.- 2或 2

?

?

? ?

3.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( ) A. y ? e? x B. y ? x C. y ? ln x D. y ? x ) 5 5 )

4.若角 ? 的终边经过点 P(1,m) ,且 tan?=-2 ,则 sin? =( A. 5 5 B.- 5 5 2 C. 5 5 2 D.-

5. 已 知 函 数 f A. ? 0,1?

? x? ?

6 ?log 2 x, 在 下 列 区 间 中 , 包 含 f ? x ? 零 点 的 区 间 是 ( x
B. ?1, 2 ? C. ? 2, 4 ? D. ? 4, ???

2 6.函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是 ( )

?

?

7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 11 , S12 ? 186, 则 a8 =( A. 18 B. 20 C. 21 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D. 22

)

8. “ sin?=cos? ”是“ cos2?=0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

9.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2? x ? A.函数 f ? x ? 的图象关于点 ?

? ?

??

? ?? ? 0 ? 的最小正周期为 4? ,则( ) 6?

?? ? , 0 ? 对称 ?6 ?

B.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? C.函数 f ? x ? 的图象在 ?

?
6

对称

?? ? , ? ? 上单调递减 ?2 ?
? ? ? 上单调递增 ,? ? ?2 ?

D.函数 f ? x ? 的图象在 ?

10.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n (n ? N*) ,则数列 ?an ? 的通项公式是( ) A. an ? 2n B. an ? 3n?1 C. an ? 2n?2 D. an ? 3n?2

11.在平面直角坐标系中, O 为原点, A(2, 0), B(0, 2), 动点 P 满足 | AP | =1, 则 | OP ? OB | 的最大值是( A. 2 2 ) B. 2 2 ? 1 C. 2 2 ? 2 D. 4 2 ? 1

??? ?

??? ? ??? ?

3 12.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时,f(x) ? x ?1 ; 当 ?1 ? x ? 1 时,f(-x) ? ?f ( x) ,

当x?

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f (x- ) .则 f(6) = ( ) 2 2 2
B.-1 C.0 D.2

A.-2

二.填空题(本题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 1-3i 13.i 是虚数单位,复数 =________. 1-i 14.已知 a =(2,-1), b =(λ,3),若 a与b垂直 ,则 λ 的值是________. 15.已知 a ? 0, b ? 0 ,且

?

?

?

?

1 1 ? ? 1 ,则 a ? 2b 的最小值是________. a b

16. 已知集合 ?a, b, c? ? ?0,1,2?,且下列三个关系:? a ? 2 ? b ? 2 ? c ? 0 有且只有一个正 确,则 100a ? 10b ? c等于 ________ .

三、简答题(本大题共六题,满分 70 分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设递增等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a3 ? 1, a4 是 a3 和 a7 的 等比中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

, c 分 别 是 △ ABC 内 角 A , B , C 的 对 边 , 18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a, b

sin 2 B=2sinAsinC
(1)若 a= b ,求 cosB ; (2)若 B=90? ,且 a= 2, 求△ABC 的面积.

1=0 有两个不相等的实根;命题 q:方程 19.(本小题满分 12 分)设命题 p:方程 x +2mx+

2

x2+2(m-2) x-3m+ 10=0 无实根.若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)设向量 a ? (sin x, 3sin x) , b ? (sin x, cos x) , x ? [0, (1)若| a |=| b |,求 x 的值;(2)设函数 f ( x) = a · b ,将 f ( x) 的图象向左平移 函数 g ( x) 的图象,求 g ( x) 的最大值及此时相应 x 值.

?

?

?
2

]

?

?

? ?

? 个单位得到 6

21.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, 数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 , n ? N ? . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

? ?

Sn ? ? 在直线 y ? 2 x ? 2 上, n?

1 1 ,数列 ?cn ?的前 n 项和为 An ,求证: An ? ; 3 ? an ?? an ? ? ? 1?? ? 1? ? 2 ?? 2 ?

22.(本题满分 12 分)已知函数

f ( x) ?

1 ? k ln x, k ? 0. x

(1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解,求实数 k 的取值范围.

2016-2017 学年上学期高三文科第一次月考 数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 C 6 A 7 B 8 A 9 D 10 A 11 B 12 D

二 填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 ? i 14.

3 2

15. 3 ? 2 2

16. 201

三 解答题(17 题 10 分,18、19、20、21、22 各 12 分) 17.解(1)? a3 , a4 , a7 成等比数列

? a4 2 ? a3 ? a7 ? a3 ? 1 ? a4 2 ? a7
? a1 ? 2d ? 1 ? a1 ? ?3 ?? 即 ? 2 ?d ? 2 ?( a1 ? 3d ) ? a1 ? 6d

?an ? 2n ? 5
(2) S n ? na1 ?

1 n(n ? 1)d ? n 2 ? 4n 2

18.解:(1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c. a2+c2-b2 1 由余弦定理可得 cosB= = . 2ac 4 (2)由(1)知,b2=2ac. 因为 B=90° ,由勾股定理,得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a= 2. 所以△ABC 的面积为 1. 19.解解:设方程 x2+2mx+1=0 的两根分别为 x1,x2,

1或m>1 . 由 ?1 ? 4m2 ? 4 ? 0 得 m<- 1或m>1 所以命题 p 为真时, m<-
由方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根, 可知 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3. 所以命题 q 为真时,-2<m<3.

由 p∨q 为真,p∧q 为假,可知命题 p,q 一真一假, 当 p 真 q 假时, ?

? m<-1或m>1 此时 m ? 3或m ? ?2 ? m ? 3或m ? -2

当 p 假 q 真时, ?

??1 ? m ? 1 此时 -1 ? m ? 1 ?-2<m<3

1 ? m ? 1或 ? 3 所以所求实数 m 的取值范围是 m ? -2,或-
20

21.解: (1)由题意,得 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4

Sn ? 2n ? 2 n

S n ? 2n 2 ? 2n ①
…………1 分

当 n ? 2 时, S n?1 ? 2(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ②

an ? S n ? S n?1 ? 4n
综上, an ? 4n , n ? N ? 又 ? Tn ? 2bn ? 3 ,?当n ? 1时,b1 ? 3 ,

…………2 分 …………3 分 …………4 分

当n ? 2时,Tn ?1 ? 2bn ?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn ?1 , (n ? 2) …………5 分
数列 ?bn ?为等比数列,? bn ? 3 ? 2n ?1 . …………6 分

(2) cn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? …………8 分 ? an ?? an ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? 1?? ? 1? ? 2 ?? 2 ?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? An ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? …………9 分 2? 3? 2? 3 5? 2? 5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 ? ? ?1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ?
…………10 分

? 数列 ? An ? 是递增数列, ? An 的最小值为 A1 ? ? An ?
1 3
1 ? ?) . ? k ln x 的定义域为 (0, x

…………11 分 …………12 分 ……………13 分 …………………………….1 分

1 3

22 解: (1)函数 f ( x) ?

f '( x) ? ?

1 k ? . x2 x 1 1 x ?1 ? ? 2 , x2 x x

…………………………….3 分

当 k ? 1 时, f '( x) ? ?

令 f '( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ,

…………………………….4 分

所以 f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(0,1)

1

(1, ??)

?
?

0
极小值

?
?

……………………………. 6 分 所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? 1 , 无极大值. ………………….7 分 ……………….8 分

f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ??) .
(2)因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解,

令 g ( x ) ? f ( x ) ? k ,则问题等价于函数 g ( x ) 存在零点, …………………….9 分

1 k kx ? 1 ? ? 2 . x2 x x 1 令 g '( x) ? 0 ,得 x ? . k
所以 g '( x) ? ?

…………………………….10 分

当 k ? 0 时, g '( x ) ? 0 对 (0, ?? ) 成立,函数 g ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减, 而 g (1) ? 1 ? k ? 0 , g (e
1? 1 k

)?

1 e
1? 1 k

1 1 1 ? k (1 ? ) ? k ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 0 , 1 ? k e e k

所以函数 g ( x ) 存在零点.

…………………………….11 分

当 k ? 0 时, g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
g '( x ) g ( x)
1 k

1 (0, ) k
?


1 k
0 极小值

1 ( , ??) k

+ ↗

所以 g ( ) ? k ? k ? k ln

1 ? ?k ln k 为函数 g ( x ) 的最小值, k

1 k 1 1 当 g ( ) ? 0 时,即 k ? 1 时,注意到 g (e) ? ? k ? k ? 0 , 所以函数 g ( x ) 存在零点. k e
当 g ( ) ? 0 时,即 0 ? k ? 1 时,函数 g ( x ) 没有零点, 综上,当 k ? 0 或 k ? 1 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解. 法二: 因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解, 所以问题等价于方程 1 ? kx(ln x ? 1) ? 0 有解, ………………………….9 分 令 g(x ) ? kx(ln x ? 1) ? 1 ,所以 g '( x ) ? k ln x , 令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? 1 当 k ? 0 时, g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表: ………………………….10 分 ………………….13 分

x

(0,1)
?


1
0 极大值

(1, ??)

g '( x)
g ( x)

?


所以函数 g(x ) 在 x ? 1 处取得最大值,而 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 0 .

g (e

1?

1 k

) ? 1 ? ke

1?

1 k

(1 ?

1 1? 1 ? 1) ? 1 ? e k ? 0 , k

所以函数 g ( x ) 存在零点.

…………………………….11 分

当 k ? 0 时, g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(0,1)
?


1

(1, ??)

g '( x) g ( x)

0
极小值

?


所以函数 g(x ) 在 x ? 1 处取得最小值,而 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k . 当 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k ? 0 时,即 0 ? k ? 1 时,函数 g ( x ) 不存在零点. 当 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k ? 0 ,即 k ? 1 时, 所以函数 g ( x ) 存在零点.

g ( e? ) k e ( l? n e ? 1 )? 1? 1

0

…………………………….13 分

综上,当 k ? 0 或 k ? 1 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解. 法三:因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解,

1 ? x(1 ? ln x) 有解, …………………………….9 分 k …………………………….10 分 设函数 g ( x ) ? x(1 ? ln x ) ,所以 g '( x ) ? ? ln x .
所以问题等价于方程 令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ,

g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(0,1)
?


1
0 极大值

(1, ??)

g '( x)
g ( x)

?


所以函数 g(x ) 在 x ? 1 处取得最大值,而 g(1) ? 1 , 又当 x ? 1 时, 1 ? ln x ? 0 , 所以 x(1 ? ln x ) ? 1 ? ln x , 所以函数 g(x ) 的值域为 ( ??,1] ,

…………………….11 分

…………………………….12 分

所以当 ? ( ??,1] 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解, 所以 k ? ( ??,0) ? [1, ??) . …………………………….13 分

1 k


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