2019-2020 年高中数学 第 2 章《圆锥曲线与方程》抛物线的简单几
何性质的应用导学案 1 苏教版选修 1-1
学习目标： 1.根据图象理解抛物线的对称性、顶点坐标和离心率并展开应用.
了解" p" 的意 义,会求简单的抛物线方程.
2.通过与双曲线、椭圆的类比,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 重点：抛物线的简单几何性质 难点：正确地根据方程讨论曲线的几何性质，并注意椭圆、双曲线、抛物线的
性质的联系与区别 课前预习:
某公园要建造一个 如图 1 的圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA,O 恰
在水面中心, OA ? 0.81米,安置在柱子顶端 A 处的喷头向 外喷水,水流在各个方向上沿形
状相同的抛物线路径落下,且在 过 OA的任一平面上抛物线路径如图 2 所示.为使水流形状
较为漂亮,设计成水流在与 OA距离为 1 米处达到距水面最大高度 2.25 米.

问题 1:如果不计其他因素,那么水池的半径至少要

米,

才能使喷出的水流不致落到池外.

问题 2:(1)范围:若 p ? 0 ,由 方程 y 2 ? 2 px 可知,这条抛物线上任意一点 M 的坐标 (x, y)

满足等式.所以这条抛物线在 y 轴的

侧 ;当 x 的值增大时, y 也

抛物线向右上 方和右下方无限延伸,它开口

.

,这说明

(2)对称性:以 ? y 代 y ,方程 y 2 ? 2 px( p ? 0) 不变,因此这条抛物线是以 x 轴为对称轴的

轴对称图形,抛物线的对称轴叫作抛物线的

.

(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的

.在方程

y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,当 y ? 0 时, x ? 0,因此这条抛物线的顶点

就是

.

(4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比,叫作抛物线

的

,用 e 表示,按照抛物线的定义, e =

.

(5)通径:过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦,称为抛物线

的

,通径长为

,且通径是所有过焦点的弦中的最短弦.

问题 3:抛物线

(填“能”或“不能”)看作双曲线的一支,抛物线与双曲线的一支

尽管从表面上看形状类似,但是它们的性质是完全不同的.

问题 4:常见的与抛物线有关的最值问题的题型及解题方法

(1)题型:求抛物线上一点到定直线的最小距离;求抛物线上一点到定点的最值问题.

(2)方法:以抛物线

y2

?

2 px( p

?

0) 为例,设 P(x0 , y0 ) 是

y2

?

2 px 上一点,则

x0

?

y02 2p

,

即 P 点坐标为

,由两点间的距离公 式、点到直线的距离公式表示出所求距离,

再用函数最值的方法求解. 课堂探究：

探究二 抛物线性质的应用
已知抛物线 y 2 ? 2x 的焦点是 F ，点 P 是抛物线上的动 点，又有点 A(3,2) ，求 PA? PF 的 最小值， 并求出取最小值时 点 P 的坐标
探究三： 某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水 面宽 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m，

载货后船露出水面上的部分高为34 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船开始不 能通航？

课堂检测:
1.设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,又抛物线上的点 (k,?2) 与 F 点的距离为 4,

则 k 的值是

.

5.抛物线拱桥的跨度为 20 m，拱高为 4 m，建桥时每隔 4 m 立一支柱，求最高的一条支柱长．