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2018版高考帮·数学-第8章第四讲 直线、平面平行的判定及其性质


目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升

考点1

考点2

考法1

考法2

专题

考情精解读

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考情精解读 1

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

考纲解读

考试大纲

命题规律

02

1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平 行,面面平行的有关性质与判定定理,并能够证明相关性质定理. 2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行

命题趋势

关系的简单命题.

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考情精解读 1

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

考纲解读

考点

2016全国

2015全国

2014全国

自主命题区域
2016江苏,16(1)

命题规律
直线与平面

2016四川,18(Ⅰ) 2016天津,17(Ⅰ) 全国 Ⅲ,19(Ⅰ) 全国 Ⅱ,18(Ⅰ)

命题趋势

平行的判定 与性质 【90%】

2015山东,17(Ⅰ)
2015天津,17(Ⅰ) 2015江苏,16(Ⅰ) 2014山东,17(Ⅰ)

2014北京,17(Ⅰ)
2014江苏,16(Ⅰ)

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考情精解读 3

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

考纲解读

考点
平面与平面 平行的判定

2016全国

2015全国

2014全国

自主命题区域

命题规律

与性质

【80%】

命题趋势

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考情精解读 4

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

考纲解读
1.热点预测 主要考查平行的判定与性质,其中

命题规律

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是 高考的热点.以选择题、填空题或解答题的一 问呈现,分值5~6分.

命题趋势

2.趋势分析 以柱体或锥体为载体,考查推理论
证能力和空间想象能力,关于平行中的存在性 与探索性问题在2018年高考复习时应引起重 视.

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知识全通关

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知识全通关 1

第四讲 考点一 直线与平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定及其性质

1.直线与平面平行的判定定理 自然语言:平面外一条直线与此 平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简称:线线平行,则线面平行. 图形语言:如图8-4-1所示.

图8-4-1
符号语言:a?α,b?α,且a∥b?a∥α.

【注意】
在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面内,直线b在平面内,且a∥b,否则会出现错误.

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知识全通关 2

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

2.直线与平面平行的性质定理
自然语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简称:线面平行,则线线平行. 图形语言:如图8-4-2所示.

图8-4-2

符号语言:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.

【注意】
一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一 条直线可能平行,也可能异面.

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第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【名师提醒】

1.a∥α的判定定理和性质定理使用的区别: 如果结论中有 a∥α,则要用判定定理,在α内找与a平行的直线; 若条件中有 a∥α, 则要用性质定理,找(或作)过a且与α相交的平面. 2.当直线与平面平行时,直线上任一点到平面的距离叫作直 线与平面的距离.

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第四讲 考点2 平面与平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定及其性质

1.平面与平面平行的判定定理 自然语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.简称: 线面平行,则面面平行. 图形语言:如图8-4-3所示.

图8-4-3 符号语言:a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β.

【说明】
(1)如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行,则这两个平面相交或平行. (2)要证面面平行需证线面平行,要证线面平行需证线线平行,因此“面面平行”问题最终 可转化为“线线平行”问题.

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第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

2.平面与平面平行的性质定理

自然语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
简称:面面平行,则线线平行. 图形语言:如图8-4-4所示.

图8-4-4 符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.

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第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【规律总结】 由两个平面平行的性质定理得到的重要结论
1.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另 一个平面. 2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. 3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 4.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 5.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互 相平行. 6.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条直线,那么这两个平面平行.

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题型全突破

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题型全突破 1

第四讲 考法1 线面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定及其性质

考法指导

证明直线与平面平行的常用方法:

(1)定义法:证明直线与平面没有公共点,通常要借助于反证法来证明. (2)判定定理法:在利用判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线,可先直 观判断题中是否存在这样的直线,若不存在,则需作出直线,常考虑利用三角形的中位 线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面,找其交线进行证明. (3)利用面面平行的性质定理:①直线在一平面内,由两平面平行,推得线面平行.

②直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一平面平行.

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题型全突破 2

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

考法示例1 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.

思路分析
思路一:构造平行四边形 →线线平行→ 线面平行 思路二:构造三角形 →线线平行 →线面平行

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题型全突破 3

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

解析
解法一 如图8-4-7所示.

作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN.
因为正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,所以AE=BD. 又AP=DQ,所以PE=QB.又PM∥AB∥QN,
PM PE QB QN 所以 ? ? ? AB AE BD DC PM QN 所以 ? AB DC

图8-4-7

所以PM与QN平行且相等,即四边形PMNQ为平行四边形. 所以PQ∥MN. 又MN?平面BCE,PQ?平面BCE, 所以PQ∥平面BCE.

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题型全突破 4

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
解法二 如图8-4-8,连接AQ并延长交BC的延长线于K,连接EK. 因为AE=BD,AP=DQ,所以PE=BQ. 所以 AP ? DQ
PE BQ

图8-4-8
BQ QK

又AD∥BK,所以 DQ ? AQ 所以PQ∥EK.

所以 AP ? AQ
PE QK

又PQ?平面BCE,EK?平面BCE,所以PQ∥平面BCE.

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题型全突破 5

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

考法示例2 四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是 棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH. (1)证明:GH∥EF; (2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.

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题型全突破 6

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
(1)因为BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,

所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC, 因此GH∥EF.

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题型全突破 7

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
(2) 如图8-4-10,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK. 因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.

又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.
又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH,所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH=GK, 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD, 从而GK⊥EF, 图8-4-10

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题型全突破 8

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
所以GK是梯形GEFH的高. 由AB=8,EB=2,得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,

从而KB1/2=1/2DB=OB,即K为OB的中点.
由PO∥GK,得GK= 2PO,即G是PB的中点,且GH=1/2BC=4. 由已知可得OB=4, PO ? PB 2 ? OB 2 ? 63 ? 32 ? 6 所以GK=3. 故四边形GEFH的面积S=· GK=×3=18.
1

图8-4-10

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题型全突破 9

第四讲 考法2 面面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定及其性质

考法指导

1.证明平面与平面平行常用的方法

(1)面面平行的定义,即证两个平面没有公共点(不常用); (2)面面平行的判定定理(主要方法); (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用); (4)利用平面平行的传递性,两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行(客观题可用). 2.空间平行关系之间的转化

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题型全突破 10

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

考法示例3 如图8-4-12,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG.

【思路分析】
思路一:公理4→线线平行→ 四点共面 思路二:线线平行→线面平行 →面面平行

图8-4-12

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题型全突破 11

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
(1)因为GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1. 又B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.

(2)因为E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG. 因为A1G与EB平行且相等, 所以四边形A1EBG是平行四边形.所以A1E∥GB.

因为A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.

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【点评】要证四点共面,只需证GH∥BC即可;要证面面平行,可证一个平面内的两条相交直
线和另一个平面平行,注意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化.

能力大提升

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能力大提升 1

第四讲 专题探究 线面位置关系中的探索性问题 一、条件追溯型问题

直线、平面平行的判定及其性质

【示例4】 如图8-4-13,已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,AD⊥DC,AB∥DC,DC=DD1=2AD=2AB=2. (1)求证:DB⊥平面B1BCC1; (2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使得D1E∥平面A1BD,并说明理由

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图8-4-13

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能力大提升 2

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
(1)因为AB∥DC,AD⊥DC,
所以AB⊥AD,在Rt△ABD中,AB=AD=1, 所以BD=,易求BC=, 因为CD=2,所以BD⊥BC.

又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,
所以BD⊥平面B1BCC1.

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能力大提升 3

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
(2)DC的中点为E点. 如图8-4-14,连接BE, 因为DE∥AB,DE=AB, 所以四边形ABED是平行四边形. 所以AD∥BE. 又AD∥A1D1,所以BE∥A1D1, 所以四边形A1D1EB是平行四边形,所以D1E∥A1B. 因为D1E?平面A1BD, 图8-4-14

所以D1E∥平面A1BD.

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能力大提升 4

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【方法探究】
立体几何中的条件追溯型问题的基本特征是:针对一个结论, 条件未知需探索,或条件增删需确定,或条件正误需判断.解 题策略一般是先假设结论成立,然后以该结论作为一个已知

条件,再结合题目的其他已知条件,逆推(即从后往前推),一步
一步地推出所要求的条件.此类问题的难点是如何应用“执 果索因”.在“执果索因”的过程中,常常会犯的一个错误是 不考虑推理过程的可逆与否,误将必要条件当作充分条件,应 引起注意。

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能力大提升 5

第四讲
线面位置关系中的探索性问题

直线、平面平行的判定及其性质

二、存在探索型问题
【示例5】 如图8-4-15,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点. (1)求证:DE∥平面BCP; (2)求证:四边形DEFG为矩形; (3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.

【思路分析】
(1)利用DE∥PC证明线面平行;
(2)利用平行关系和已知PC⊥AB证明DE⊥DG; (3)Q为EG中点. 图8-4-15

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能力大提升 6

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
(1)因为D,E分别是AP,AC的中点,所以DE∥PC.
又DE?平面BCP,所以DE∥平面BCP. (2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.

所以四边形DEFG为平行四边形.
又PC⊥AB,所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG为矩形.

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能力大提升 7

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【解析】
(3)存在点Q满足条件.理由如下: 连接DF,EG,如图8-4-16所示,设Q为EG的中点, 由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.

分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.
与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为 EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点. 图8-4-16

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能力大提升 8

第四讲

直线、平面平行的判定及其性质

【方法探究】
解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是:通常

假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下
进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设 成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相 矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在

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