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年全国初中数学竞赛试题及参考答案


竞赛试卷 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分。 以下每道小题均给出了代号为 A,B, C, D 的四个选项, 其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。 不 填、多填或错填得零分) ?| x | ? y ? 12 1、方程组 ? 的解的个数为( ? x? | y |? 6 ) C 、3 D、4 A、1 答案:A B、 2 ? x ? y ? 12 解析:若 x ? 0 ,则 ? ,于是 | y | ? y ? ?6 ,显然不可能 ? x ? | y |? 6 ?? x ? y ? 12 若 x ? 0 ,则 ? ? x ? | y |? 6 于是 | y | ? y ? 18 ,解得 y ? 9 ,进而求得 x ? ?3 ? x ? ?3 所以,原方程组的解为 ? ,只有 1 个解. ?y ? 9 故选(A) . 2、口袋中有 20 个球,其中白球 9 个,红球 5 个,黑球 6 个.现从中任取 10 个球,使得白 球不少于 2 个但不多于 8 个,红球不少于 2 个,黑球不多于 3 个,那么上述取法的种数是( A、 14 答案:B 解析:用枚举法: 红球个数 5 4 3 2 故选(B) . 3、已知 ?ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点 B,C,且与边 AB,AC 分别相交于点 D,E. 若 ⊙O 的半径与 ?ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经过 ?ABC 的( A、内心 答案:B 解析: 如图,连接 BE ∵ ?ABC 为锐角三角形 B、外心 C、重心 ) D、垂心 白球个数 2,3,4,5 3,4,5,6 4,5,6,7 5,6,7,8 黑球个数 3,2,1,0 3,2,1,0 3,2,1,0 3,2,1,0 种 数 4 4 4 4 B、 16 C、18 D、20 ) 所以,共 16 种. 竞赛试卷 ∴ ?BAC , ?ABE 均为锐角 又∵⊙O 的半径与 ?ADE 的外接圆的半径相等,且 DE 为两圆的公共弦 ∴ ?BAC ? ?ABE ∴ ?BEC ? ?BAC ? ?ABE ? 2?BAC 若 ?ABC 的外心为 O1 则 ?BO1C ? 2?BAC ∴⊙O 一定过 ?ABC 的外心 故选(B) . 4、已知三个关于 x 的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 , bx 2 ? cx ? a ? 0 , cx 2 ? ax ? b ? 0 恰有 一个公共实数根,则 A、0 答案:D 解析:设 x0 是它们的一个公共实数根,则 ax 2 ? bx ? c ? 0 , bx 2 ? cx ? a ? 0 , cx 2 ? ax ? b ? 0 2 把上面三个式子相加,并整理得 ?a ? b ? c? x0 ? x0 ? 1 ? 0 a2 b2 c2 的值为( ? ? bc ca ab B、1 ) C、2 D、3 ? ? 1? 3 ? 2 ? x0 ? 1 ? ? x0 ? ? ? ? 0 因为 x 0 2? 4 ? 2 所以 a ? b ? c ? 0 于是 a b c a ?b ?c a ? b ? ?a ? b ? ? 3ab?a ? b ? ? ? ? ? ? ?3 bc ca ab abc abc abc 2 2 2 3 3 3 3 3 3 第 6 题答案图 故选(D) . 5、方程 x 3 ? 6x 2 ? 5x ? y 3 ? y ? 2 的整

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